第七章第三节不等式组与简单的线性规划
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
高考数学培优复习：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题新题培优练
[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116 C ．32D ．64解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32,故选C.3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32,所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D.4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜率的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重合时,MN 的斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y －8＝0，x ＋y ＝0，得B (2,－2)．MN 斜率的最大值为1＋23－2＝3.5．(2019·陕西省质量检测(一))若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y ＝1,x ＋y ＝0,x －y －2＝0,则边界的交点分别为(－1,1),(3,1),(1,－1),分别代入z ＝x －2y ,得对应的z 分别为－3,1,3,可得z 的最大值为3.法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线x －2y ＝0并平移,由图可知,当直线过点(1,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：36．(2019·广东茂名模拟)已知点A (1,2),点P (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点,则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分,作直线l 0：y ＝－12x ,当l 0移到过A (1,2)的l 的位置时,z 取得最大值,即z max ＝1＋2×2＝5.答案：57．(2019·石家庄市质量检测(二))设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．解析：作出可行域,如图中阴影部分所示,而y ＋1x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,－1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2－（－1）1－0＝3.答案：38．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)时z 取最小值－2,过C (1,0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ,y )∈D ,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ,y )∈D ,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A.通解 作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示,直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ,不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域,所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.优解 在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0),点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9,所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12,所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧綈q 正确．故选A.2．(2019·重庆六校联考)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D.画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示．令z ＝0,画出直线y ＝ax ,a ＝0显然不满足题意．当a <0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行,此时a ＝－1；当a >0时,要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行,此时a ＝2.综上,a ＝－1或2.3．(2019·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时．A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千克B ．360千克C ．400千克D ．440千克解析：选 B.设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润z 千元,则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ,作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x ＋y ＝0,平移该直线,当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ,y ∈N )时,z 取得最大值,为360.4．(综合型)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5,其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7,9),显然点B到直线x ＋2y －4＝0的距离最大,此时z max ＝21.答案：21。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件-2023届高三数学(文)一轮总复习
解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，
0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x
－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区
域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3
，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1
－(－3)＝4，dmax＝ −3 − 5 2
所以z的取值范围为[16，64].
+ 2 − 2 2 ＝8.
y
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝ ”改为“z＝|x＋y|”，如何
，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科
教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1
名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支
5
持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．
反思感悟
第三节 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范
围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔
也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，
主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数
最大值
最小值
最大值
在线性约束条件下求线性目标函数的________或
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.2简单的线性规划教师用书(PDF,含解析)
ｙ，ｂ
＝
ｘ
＋
ｙ，得
ｘ
＝
ａ３＋ｂ，ｙ
＝
２ｂ－ａ，代入原不 ３
{ａ－ｂ＋１≤０，
等式组并 整 理 得 ａ≥０， 此 时 问 题 转 化 为 实 数 ａ， ｂ 满 足 ａ＋ｂ≤３，
{ａ－ｂ＋１≤０， ａ≥０， 求点 Ｐ（ ａ，ｂ） 所在的区域面积问题． ａ＋ｂ≤３，
易知点 Ｐ 所在的平面区域为以 ａ－ｂ＋１ ＝ ０，ａ ＝ ０，ａ＋ｂ ＝ ３ 三条
§ ７．２ 简单的线性规划
第七章 不等式 ７ ７
考点一 区域问题
１．二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０ 在平面直角坐标系中
表示直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 某一侧所有点组成的平面区域．我们把直 线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不 等式 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≥０ 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，故把直线画成实线．
（１） 当 Ｃ≠０ 时，取原点（ ０，０） ，当原点坐标使 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≥０ 成立时，表示含原点的区域；不成立时，表示不含原点的区域．
（２） 当 Ｃ ＝ ０ 时，取（０，１） 或（ １，０） ，使不等式成立时，就是含
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
对应学生用书起始页码 Ｐ１３３ 所取点的一侧；不成立时，就是另一侧．
考点二 简单的线性规划
高频考点
线性规划 （１）二元一次不等式组是一组对变量 ｘ、ｙ 的约束条件，这组
约束条件都是关于 ｘ、ｙ 的一次不等式，所以又称为线性约束 条件．
不等式简单的线性规划
05
特殊情况的线性规划问题
无限制条件的线性规划问题
总结词
无限制条件的线性规划问题是一类经典的线性规划问题，其约束条件仅为等式约 束。
详细描述
在无限制条件的线性规划问题中，决策变量没有任何约束条件，决策变量的取值 范围是整个实数集。求解这类问题的关键是通过有限的资源安排，实现目标函数 的最大化或最小化。
设置求解器参数：根据问题的具体情况设置相 应的参数，例如容差、迭代次数等。
运行求解器：点击“求解”按钮，LP求解器将 输出最优解和
线性规划的应用还包括组合优化问题，例如 旅行商问题和车辆路径问题。
02
不等式的简单线性规划问题
不等式的简单线性规划问题的定义
1
不等式的简单线性规划问题是指在满足一系列 不等式约束条件下，求解线性规划问题。
2
不等式约束可以包括不等式约束和等式约束， 描述了对于决策变量的限制条件。
3
不等式约束条件下，目标函数是最小化或最大 化的线性规划问题，目标是求解最优解。
分支定界法
总结词
精确、高效、复杂
详细描述
分支定界法是一种较为复杂的线性规划求解方法，它是将可行域逐步缩小，并通过对可行域的划分和 边界的确定来寻找最优解。该方法通常适用于较为复杂的问题，如含有整数变量或多个目标函数的线 性规划问题。由于该方法的计算量和复杂度较高，需要借助计算机程序来实现。
04
不等式约束条件下的线性规 划问题
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种常用的线性规划求解方法，它是通过绘制图形来直观地求解问题。在平面直角坐标系上，将目标 函数和约束条件用图线表示出来，然后通过观察图形的交点或边界来确定最优解。该方法适用于小规模问题， 但对于大规模问题，由于计算量较大，不太适用。
第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故选 B. 答案：B 2．x＋y－1>0
数学
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第三节
二元一次不等式（组）及简单的线性规划
结束
[练一练] 解析：作出函数
xx≥0 y＝|x|＝ －xx＜0
数学
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第三节
二元一次不等式（组）及简单的线性规划
结束
(2)解析：记 z＝ax－y，注意到当 x＝0 时，y＝－z，即直线 z＝ax－y 在 y 轴上的截距是－z.在坐标平面 内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形 1 可知，满足题意的实数 a 的取值范围为 a<－ . 2
1 答案：－∞，－2
数学
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第三节
二元一次不等式（组）及简单的线性规划
结束
考点三
[典例] 解析：设租用 A 型车 x 辆，
B 型车 y 辆，目标函数为 z＝1 600x＋2 400y， 36x＋60y≥900， y－x≤7， 则约束条件为 y＋x≤21， x，y∈N， 作出可行域，如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点(5,12)时，有最小值 zmin＝36 800(元)． 答案：C
第三节
二元一次不等式（组）及简单的线性规划
结束
第三节 备考基础· 查清 1．边界直线 析式 一次 [试一试]
二元一次不等式（组）及简单的线性规划 公共部分 最大值 2.不等式(组) 最小值 一次 解
边界直线 (x， y) 集合
最大值
最小值
1．解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线 z＝2x－3y 过点 C 时，z 取得最小值．由
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
第十八页，共44页。
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
第二十八页，共44页。
(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
第十九页，共44页。
x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
返回
[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
返回
(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
返回
3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
返回
对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
返回
考法三 线性规划中的参数问题
不等式简单的线性规划
一元二次不等式的解法通常需要先求出二次方程的根，然后根据不等式的符号和根的性质确定不等式的解集。
不等式的解法
线性规划介绍
02
01
线性规划是数学优化技术中的一种，它是在一组线性不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。简单来说，线性规划就是求解一组线性方程，找到使目标函数达到最优解的解。
03
单纯形法是一种基于迭代的思想求解线性规划问题的方法。它通过不断迭代寻找更优的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法需要一定的计算能力，但适用于多元线性规划问题。
简单线性规划问题
03
简单线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最优解。通常，它包括两个要素：决策变量和目标函数。
案例三：某高校课程安排问题
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决策变量是我们可以选择的未知数，通常用x表示。
目标函数是我们要优化的函数，通常表示为f(x)，其中f(x) = ax1 + bx2 + ... + nxn。
简单线性规划问题的定义
简单线性规划问题的求解步骤
第二步
将约束条件转化为标准形式，即把不等式约束转化为等式约束。
第一步
确定决策变量和目标函数，以及约束条件。
第三步
根据线性规划问题的性质，选择一个合适的基可行解作为初始解。
第五步
根据终止条件判断是否得到最优解，若满足终止条件则停止迭代，否则返回第四步继续迭代。
第四步
使用迭代方法，如高斯-约旦消元法或单纯形法，逐步迭代求解。
简单线性规划问题的解的几何意义
在最优解点处，目标函数的值达到最大或最小。
对于三维线性规划问题，最优解通常在约束条件的曲面交点处取得。
2018数学理一轮课件：7-3 简单的线性规划 精品
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4 吨
1.2 万元 0.55 万元
韭菜 6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：
亩)分别为( )
A．50,0
B．30,20
C．20,30
D．0,50
[解析] (1)如图，
当 y＝2x 经过且只经过 x＋y－3＝0 和 x＝m 的交点时，m 取到最大值，此时点(m,2m)在直线 x＋y－3 ＝0 上，则 m＝1.
命题法 简单的线性规划问题
典例
(1)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件xx＋ －y2－y－3≤ 3≤0， 0， 则实数 m 的最大值为(
)
x≥m，
A．－1 3
C.2
B．1 D．2
(2)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭
菜的产量、成本和售价如下表：
高考数学·理
第七章 不等式
第3讲 简单的线性规划
考点 简单的线性规划
撬点·基础点 重难点
1 二元一次不等式(组)
含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 的不等式称为二元一次不等式．
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对构成的集合称为二 元一次不等式(组)的解集． 二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合．
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题
注意点 不等式中不含等号时的画法
当不等式中不含有等号时，它所表示的平面区域不包括边界，应把边界线画成虚线.
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
不等式简单线性规划课件
不等式简单线性规划课件理pptxx年xx月xx日•不等式的概念及分类•线性规划的概述•不等式与线性规划的联系•不等式简单线性规划问题的求解目•不等式简单线性规划的应用案例•不等式简单线性规划的发展趋势和展望录01不等式的概念及分类不等式是表示两个数或两个量之间关系的式子，用“<”(小于)、“>”(大于)、“≤”(小于等于)、“≥”(大于等于)、“≠”(不等于)等符号连接两个数或量不等式的定义根据不等式的具体内容和形式，不等式可以分为简单不等式和复杂不等式两大类。
简单不等式又可以分为线性不等式和非线性不等式不等式的分类不等式的定义简单不等式指只含有一个未知数的不等式，通常是一次不等式或二次不等式。
例如：$2x+3>5$，$x^{2}+1\leq7$复杂不等式指含有两个或更多未知数的不等式，未知数的次数可以是一次、二次或更高。
例如：$3x+2y\leq10$，$x^{2}+y^{2}\geq2$不等式的分类在数学中，不等式具有非常重要的地位。
它是数学分析、代数、几何等领域中不可或缺的一部分。
通过研究不等式，我们可以更好地理解数学概念、解决实际问题以及探索数学中的奥秘不等式在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在经济学、工程学、物理学等领域中，经常需要使用不等式来描述现实生活中的某些关系、规律和现象不等式的重要性02线性规划的概述线性规划是数学优化领域的一种方法，它通过建立线性不等式约束和目标函数，求解在满足约束条件下目标函数的最优解。
线性规划的应用范围广泛，包括生产计划、货物运输、资源分配、时间表制定等问题。
线性规划的定义线性规划的模型线性规划的模型通常由决策变量、目标函数和约束条件三部分组成。
目标函数是希望最大化的函数，例如利润、成本等。
决策变量是问题中需要决策的变量，例如生产计划中的产品数量、运输问题中的运输量等。
约束条件是限制决策变量的条件，例如资源限制、时间限制等。
线性规划被广泛应用于工业、商业、交通运输、金融等领域。
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的______________.我们把直线画成虚线以表示区域__________边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________.(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念3.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [难点正本 疑点清源]1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法. (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线.(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.2.线性规划是数形结合的体现(1)线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法.(2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围，不可将范围盲目扩大.1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________.2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足 不等式____________.3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成. 请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式 组是____________.5.(2011·上海)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？探究提高 本题主要考查不等式表示的平面区域、数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结合的方法和逻辑推理能力.(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计.满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，x ＋2y ＋3>0，5x ＋3y －5<0的区域中共有整点的个数为 ( )A.3B.4C.5D.6题型二 求目标函数的最值问题例2 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0，求4x －3y 的最大值和最小值.探究提高 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y 轴上的截距或其相反数.(2011·福建)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A.[－1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[－1,2]题型三 线性规划的简单应用例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？16.利用几何意义求解非线性目标函数的最值问题试题：(12分)变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围. 审题视角 (x ，y )是可行域内的点.(1)z ＝y －0x －0可以理解为点(x ，y )与点(0,0)连线的斜率.(2)x 2＋y 2可以理解为点(x ，y )与点(0,0)连线距离的平方.(3)x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2可以理解为点(x ，y )与(－3,2)的距离的平方.结合图形确定最值. 规范解答解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1).由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2). [4分](1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.[6分](2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.[9分](3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64.[12分]批阅笔记 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.(3)本题错误率较高.出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.方法与技巧1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面.由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等.2.转化：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值.3.实数最优解一定在顶点或边界取得；经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近.4.线性规划应用题建模的思路：一般以“资源——产品——收益”为主线；设元时将产品数量设为x 、y ，将收益多少设为z ，资源数量为常数a 、b 、c 等.这样z 与x 、y 之间的关系就是目标函数；而x 、y 与a 、b 、c 等之间的关系就是约束条件. 失误与防范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1.设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )2.(2011·安徽)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A.1，－1B.2，－2C.1，－2D.2，－13.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,34.(2011·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A.13B.15C.20D.28二、填空题5.(2011·陕西)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________.6.(2010·辽宁)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)7.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元. 三、解答题8.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？B 组 专项能力提升题组一、选择题1.(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A.(1,1＋2)B.(1＋2，＋∞)C.(1,3)D.(3，＋∞)2.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( )A.[1,3]B.[2，10]C.[2,9]D.[10，9]3.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称.对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285B.4C.125D.2二、填空题4.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为__________.5.(2011·课标全国)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________.6.已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________. 三、解答题7.画出2x －3<y ≤3表示的区域，并求出所有正整数解. 8.实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围.答案要点梳理1.(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号2.一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 基础自测1.－5<m <102.x ＋y －1>03.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N *y ∈N * 4.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤00≤y ≤12x －y ＋2≥05.52题型分类·深度剖析例1 解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合.x ＋y ≥0 表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合， x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合. 所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域如图所示. 结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3,8].(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z . 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个). 变式训练1 B例2 解 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0表示的区域如图所示.可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－6， 则A (－1，－6).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2.则B (－3,2)，因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18. 变式训练2 C例3 解 设需要预计满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22，z C ＝2.5×2＋4×5＝25，z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.变式训练3 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l过M 点时，目标函数取得最大值.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元).即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.课时规范训练A 组1.A2.B3.A4.A5.16.(3,8)7.278.解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域.将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大.这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元).∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.B 组1.A2.C3.B4.⎝⎛⎭⎫12，＋∞5.－66.[－3,3]7.解 先将所给不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧ y >2x －3，y ≤3.而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎩⎪⎨⎪⎧ y >2x －3y ≤3x ，y >0的整数解.所给不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ y >2x －3y ≤3.依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).对于2x －3<y ≤3的正整数解，再画出⎩⎪⎨⎪⎧ y >2x －3，y ≤3，x ，y >0表示的平面区域.如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.8.解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z ＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连 线的斜率，因此y x的取值范围为直线OB 的 斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝2，得B (1,2)， 则k OB ＝21＝2. ∴z max 不存在，z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞).(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0x ＝0，得A (0,1)， ∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z 的最大值为5，没有最小值.故z 的取值范围是(1,5].。
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第七章第三节不等式组与简单的线性规划第三节不等式组与简单的线性规划第一部分五年高考荟萃2009年高考题、选择题|3x - y - 6 _ 01. （2009山东卷理）设x ，y 满足约束条件 x - y • 2 _ 0答案 A过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （ a>0， b>0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 2+3== 13 + （匕+◎）兰 13+ 2 = 25 故选a b a b 66 a b 6 6 'A.【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题•要求能准确地画出不等式表示的平面区域 拼且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6,求2 3的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.a b积相等的两部分，则k 的值是7343A. B.- C.D.—3 7 3 4答案B■l -x _ 02. （ 2009安徽卷理）若不等式组 x . 3 y 4所表示的平面区域被直线3x y _ 4解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABCx _0,y _0若目标函数 z=ax+by （a>0， b>0）的疋最大值为 12,2 3则 的最小值为（）a b25 8 11A. 一B.—D. 463 3解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by= z （ a>0, b>0）AO4y=kx+—D 3由!x +3y =4得 A （ 1，1），又 B （ 0，4），c （ 0，4）3x y =4 3144二 S ^ABC = (4) 1 ，设 y =kx 与 3x y =4 的 23 3、 12 1父点为D ，则由S BCD S=ABC 知X D ， — y D西 2 3 2,5 1 4 7 -- k , k 选 2 2 3 33. (2009安徽卷文)不等式组 A. 3 2目标函数z =5x • 3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x = 3，y = 5时可获得最大利润为 27万元，故选D2x y _4x,y 满足 x-y — -1,则 z = x ' y x - 2y _ 2A.有最小值2,最大值3 C. 有最大值3，无最小值 答案 BB. 有最小值2，无最大值 D.既无最小值，也无最大值解析 画出可行域可知，当,+3『乏4所表示的平面区域的面积等于3x+y<A C.3D.#B.3解析 由 X 3y _4 =0 3x+y —4 =0C1可得 C(1,1)，故 S 阴=AB| x 4c -，选 Co3答案4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料3吨，BA 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5A 原料不超过13吨，万元，每吨乙产品可获得利润 3万元。
该企业在一个生产周期内消耗 B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12万元 答案 D解析设生产甲产品B. 20万元C. 25万元D. 27万元则有：X 吨，生产乙产品 甲产品x 吨 乙产品y 吨x >0y >0 3x y 汨 3 2x 3y -183Xy5. （2009宁夏海南卷理）设y 吨，则有关系:原学习必备欢迎下载^x y 过点（2，0）时，Z min二2，但无最大值。
选 B.2x y _4,6.（2009宁夏海南卷文） 设x, y 满足<x —y^1,则z = x + yx-2y<2,A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值答案 B解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z = x + y ,得y = — x +乙令z = 0,画出y=-x 的图象，当它的平行线经过 A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z = 2,无最大值，故选.BI x —2v 色0 227.（2009湖南卷理）已知D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 x y =4lx+3y 启0在区域D 内的弧长为答案 B解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率1 1分别是—，--，所以圆心角:即为两直线的所成夹角，所以2 3兀A .—4nB.—[B]1 1 已-（-1）1 tan ：二一231 ,1 11 ：（一 ；）丨2 幷4C.主D.主所以，而圆的半径是 2，所以弧长是，故选B 现。
42|x y _ 3 I 一8.（ 2009天津卷理）设变量 x ，y 满足约束条件：x 「y #:-1.则目标函数z=2x+3y 的最小值2x - y _3为 A.6 B.7C.8D.23答案 B【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
x y 亠3I解析 画出不等式 x - y _ -1表示的可行域，如右图，2x - y - 3一2 x z让目标函数表示直线 y在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解3 3（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用-4原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元C. 25万元D. 27万元答案D【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。
（同文10）解析 设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即方程组丿x y = 3 得(2,1)，所以 2x - y =3=4 - 3= 7，故选择B 。
f x = -x+3g x = x+1右 2：-3-2 x.qx=3 +7-1 5 -10 -5 10 159. A 原料3吨、Bzmin'3x + y 兰 13 2x +3y 兰 18已知约束条件，求目标函数z=5x 3y 的最大x>0 y-0x = 3值，可求出最优解为』 ，故z max = 15 +12 = 27，故选y = 4择D 。
x y _ 0i 『10. （2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组<x-1E0（ G 为常数）所表ax - y +1 兰 0示的平面区域内的面积等于 2,则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3答案 D 解析如图可得黄色即为满足x-1乞0与x ，y-1_ 0的可行域，而ax -y T=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封3闭区域，当a=1时，面积是1； a=2时，面积是当a=3时，面积恰好为2，故选D.二、填空题x y _2,11.（ 2009浙江理）若实数x, y 满足不等式组《 2x - y 兰4,则2x +3y 的最小值是 ___________x_y ^0,答案 4X y - 2,I y12.（2009浙江卷文）若实数 x,y 满足不等式组 2x-y 乞4,贝V 2x 3y 的最小x-y _0,【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要解析 通过画出其线性规划，可知直线y 「£x Z 过点2,0时，2x 3y 皿肿43求，也体现了线性目标函数最值求解的要求2解析通过画出其线性规划，可知直线y = ——x+Z过点（2,0 ）时，（2x + 3yh jn =4x y -2 _0,13. （2009北京文）若实数x, y满足*x兰4, 则s=x + y的最大值为___________x兰5,解析本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当x = 4, y = -2时,s = y -'X ~'2 ~4 = -6 为最小值.故应填-6.15.（2009山东卷理）不等式2x—1 - X —2 <0的解集为 __________答案{x | -1 ■- x :: 1}解析原不等式等价于不等式组①2^i x (x 22b ：o 或②21X ：11 或③一 2 不等式组①无解,由②得1:：: x ：：： 1,由③得-1：：：xJ,综2 2 _(2x -1) (x -2) ：：： 0上得-仁:x :: 1 ,所以原不等式的解集为{X| -1 ：：: X :：: 1}.16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类 产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产 A 类产品6件和B 类产品20件•已知设备 甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A 类产品50件,B 类产品140件，所需租赁费最少为 __________ 元• 答案 2300解析 设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该公司所需租赁费为 z 元，则_ __ x y=10作出不等式表示的平面区域，当z=200x+300y 对应的直线过两直线 <的交、x + 2y = 14点(4,5)时，目标函数z = 200x300 y 取得最低为2300元•【命题立意】：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关 系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题22 x -1 (x-：：：z =200x • 300y ，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示 产品A 类产品B 类产品 租赁费 设备 (件)(> 50)(件)(> 140)(元) 甲设备 5 10200 乙设备6 20300feel6 5x 6y _ 50x y _ 105则满足的关系为 10x 20y _140即： 7 7 x 2y -14x 2y - 14 x-0，y -。
x_0,y_0y _2xI已知实数x 、y 满足 y —「2x 则目标函数z=x-2y 的最小值是x _311解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：y x —乙画直线yx 及2 2其平行线，当此直线经过点 A 时，—z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6）,所以，z 的最小值为：3— 2 X 6=— 9。
2005--2008年高考题一、 选择题x 2y -19 一0,1、（2008山东）设二元一次不等式组 <x - y +8兰0,所表示的平面区域为 M 使函数y =2x y -14 乞 0a x （a > 0, a z 1）的图象过区域 M 的a 的取值范围是（）A .[1,3] B.[2,.10C.[2,9]D.[、10,9] 答案C解析本题考查线性规划与指数函数。