指数傅里叶级数公式

指数傅里叶级数公式
指数傅里叶级数公式是描述周期函数在复数域上展开的公式。

假设一个实周期函数f(x) 其周期为2π，f(x)在一个周期内可看
作是由一个基本频率ω₀的正弦函数和余弦函数叠加而成的，
那么该函数的指数傅里叶级数公式就是：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega_0x)+ b_n\sin(n\omega_0x))$
其中，a₀、aₙ、bₙ是展开系数，ω₀=2π/T是基本角频率，T
是一个周期的长度。

公式中，a₀是函数f(x)在一个周期内的平均值，aₙ和bₙ分别
是f(x)中n倍基本频率的正弦、余弦分量的系数。

指数傅里叶级数公式也可写成以下形式：
$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{in\omega_0x}$
其中，c₀、cₙ、c₋ₙ是展开系数，eⁱⁿω₀x是旋转因子，n为
整数。

指数傅里叶级数公式将周期函数展开成了基本频率ω₀的正弦、余弦分量的线性组合，或是复指数形式的展开，使得周期函数可以用有限项级数来逼近，为信号处理等领域提供了重要的工具。