绝对值的意义及应用
绝对值及有理数的大小比较知识点解读与提高
绝对值及有理数的大小比较（基础）要点一、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是 正数或0．要点二、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值．，-0.3，0， 1ab>a b >1a b =a b =1a b<a b <112-132⎛⎫-- ⎪⎝⎭两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于01．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；3．通过应用绝对值解决实际问题，体会，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．解：方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．因为到原点的距离是个单位长度，所以．方法2：因为，所以．因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0．3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0因为，所以．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.2009或-2009.根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．【变式1】已知一个数的绝对值是4，则这个数是．±4.【变式2】如果｜x｜＝2，那么x＝______ ；如果｜－x｜＝2，那么x＝______．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．；；1或3；或.类型二、绝对值非负性的应用. 若|x﹣2|与|y+3|互为相反数，则x+y= ．112132⎛⎫-- ⎪⎝⎭112-112111122-=132⎛⎫-- ⎪⎝⎭132113322⎛⎫--=⎪⎝⎭1102-<111111222⎛⎫-=--=⎪⎝⎭1302⎛⎫-->⎪⎝⎭113322⎛⎫--=⎪⎝⎭2-2+或2-2+或x>3x<-3求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜x﹣2｜≥0，｜y+3｜≥0，而它们的和为0．所以｜x﹣2｜＝0，|y+3|＝0．由此算出结果．-1.∵|x﹣2|与|y+3|互为相反数，∴|x﹣2|+|y+3|=0，∴x﹣2=0，y+3=0，解得x=2，y=﹣3，∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．故答案为：﹣1．类型三、有理数的大小比较．比较大小：﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．先化简，再比较大小，即可解答．＜．解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，∵1.75＜1.8，∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），故答案为：＜．【变式】比大小：______； -|-3.2|______-(+3.2)；0.0001______－1000； -1.38______－1.384；－π______－3.14．＞；=；＞；＞；＜.【巩固练习】一、选择题1．-3的绝对值是（）．A． 3 B．-3 C． D．2．下列判断中，正确的是( )．A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C.任何数的绝对值都是正数；D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.3．下列各式错误的是( )．A．B．C． D．653-763-1313-115533+=|8.1|8.1-=2233-=-1122--=-若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则：a＝b＝…＝m＝0．本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q5．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|6．若|a | + a ＝0，则a 是( )．A. 正数B. 负数C.正数或0D.负数或0二、填空题7．若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________． 8．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________． 9．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________．10.在﹣2.1，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是 ．11．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．12．已知，则x 的取值范围是________．三、解答题13．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．14．若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？15．比较3a-2与2a+1的大小．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A2.【答案】B【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.3．【答案】C【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C 是错误的．4.【答案】D【解析】解：∵点Q 到原点的距离最远，∴点Q 的绝对值最大． 故选：D ．5．【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大．6. 【答案】D【解析】若a 为正数，则不满足|a| + a ＝0；若a 为负数，则满足|a| + a ＝0；若a 为0，也满足|a| + a ＝0. 所以a ≤0，即a 为负数或0.二、填空题7. 【答案】=；m=±n【解析】若m ，n 互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来m ，n 绝对值相等，则它们相等或互为相反数.8. 【答案】 ±2，-54334x x -=-【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5.但由于x ＞y ，所以x=±2，y=-59. 【答案】±4, ±5【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.10.【答案】﹣2.1．【解析】根据有理数比较大小的方法，可得﹣2.1＜﹣2＜0＜1. 11．【答案】a-2【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2． 12．【答案】≤【解析】将看成整体，即，则≤0，故≤0，≤． 三、解答题 13.【解析】 ∵|x|=5， ∴x=±5， 又|y|=2， ∴y=±2，又∵|x+y|=x+y ， ∴x+y≥0， ∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x ﹣y=5﹣2=3，当x=5，y=﹣2时，x ﹣y=5﹣（﹣2）=7．14.【解析】解：∵|a+1.2|+|b ﹣1|=0，∴a+1.2=0，b ﹣1=0， ∴a=﹣1.2，b=1，∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．15．【解析】解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3 当a>3时，3a-2>2a+1; 当a=3时，3a-2=2a+1; 当a<3时，3a-2<2a+1.绝对值及有理数的大小比较（提高）要点一、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是x 3443x -a a a =-a 43x -x 341．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；3．理解并会熟练运用绝对值的非负性进正数或0．要点二、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4．求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．类型一、绝对值的概念. 如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【变式】下列说法正确的是（）A. 一个数的绝对值一定比0大B. 一个数的相反数一定比它本身小C. 绝对值等于它本身的数一定是正数D. 最小的正整数是1D．类型二、含有字母的绝对值的化简．若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是1ab>a b>1ab=a b=1ab<a b<两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．2x﹣3．解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：解：由图所示，可得．∴ ，，，∵．∴ 原式．类型三、绝对值非负性的应用．已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．由，，，可得∴【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】解：由题意得∴所以，类型四、有理数的大小比较．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|； (2)-(+3)与0；(2)与； (4)与．(3)30a c->122ba=45-34--π-| 3.14|--此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．解：(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．(4)化简得：-|-3．14|＝-3．14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3．14|＝3．14，而π＞3．14，所以-π＜-|-3．14|．【巩固练习】一、选择题1．以下选项中比|﹣|小的数是（）A．1 B．2 C． D.2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4.若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（）A. x﹣5＞0B. x﹣5＜0C. x﹣5≥0D. x﹣5≤06．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )．A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-bB． C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b6．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为,距离原点等于3.5的点的个数为,则．7．如果|a﹣2|+|b+1|=0，那么a+b等于．9.若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．10．绝对值不大于11的整数有个．11．式子|2x-1|+2取最小值时，x等于．12．若，则 0；若≥，则．3344--=-44165520-==33154420-==16152020>4354-<--mn3____m n-=1aa=-a a a a 在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的三、解答题13．若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求x+y的值．14．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．15．阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵|﹣|=，A、1＞，故本选项错误；B、2＞，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、﹣＜，故本选项正确；故选D．2．【答案】C【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C3．【答案】D【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．4.【答案】D.5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．二、填空题7．【答案】1【解析】由题意可知：，所以8．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣2=0，b+1=0，解得，a=2，b=﹣1，则a+b=1，故答案为：1．9.【答案】2a-610.【答案】23【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．11．【答案】【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2．12．【答案】＜；任意数三、解答题13．【解析】解：因为|x-y|≥0，所以y-x≥0，y≥x．由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=-3．（1）当y=2时，x+y=-1；（2）当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．14.【解析】解：由数轴得，a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]=﹣a+b+a+c﹣b+c=2c．15．【解析】解：①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x 的取值范围是-1≤x≤2．7,2m n==27321m n-=-⨯=1212。
绝对值的意义及应用(复习讲义)01
绝对值知识精讲绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6【例11】若|x+y|=y-x，则有（）A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|＞m，则m＜0；（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 都是正数时，M = ______； 当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】若42a b -=-+，则_______a b +=ca0b【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）分别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x++-【巩固】化简12x x+++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1. 若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2. 若|x|=-x，则x一定是（）A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数3. 如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥14. 若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45. 若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【家庭作业】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（ ）A.a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a ＜07. 若3230x y -++=，则y x的值是多少？。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义以“绝对值的代数意义和几何意义”为标题，写一篇3000字的中文文章绝对值是数学中比较常见而又重要的概念，在代数和几何中都有其重要的应用。
绝对值的代数意义和几何意义是本文的主要讨论，本文首先介绍两者的基本定义以及它们之间的关系，然后介绍绝对值的代数意义，以及它在几何学中的应用。
首先，说明绝对值的基本定义。
绝对值定义为实数的绝对大小，又称绝对量或绝对数。
绝对值通常表示为符号|x|，其中x是实数。
绝对值表达式可以理解为“实数x的绝对值”，也可以理解为“绝对值x”。
例如：|-5| = 5， |7| = 7。
不同于绝对值，绝对值的表达式可以使用复数的形式，例如：|2+3i|=√13。
它是组合形式的复数的模，表示为|z|=√a2+b2，其中z=a+bi，其中a,b均为实数。
绝对值的代数意义可以用来衡量一个数的大小，也可以用来判断它是否为零。
当一个数字的绝对值大于等于零时，该数字不是负数；反之，如果一个数字的绝对值小于零，则该数字是负数。
绝对值可以用来计算一个数字的绝对值差，它表明两个数字的大小之间的距离。
例如：|4-2|= |4|-|2|= 2，表示4和2之间的绝对值差是2。
绝对值在几何学中也有着重要的应用。
在几何中，绝对值可以用来衡量一个点到直线的距离，也可以用来衡量一个点到坐标原点的距离。
绝对值也可以用来求解一元一次方程，它表示从两边相减后的绝对值，即|a-b|= |a|-|b|。
此外，绝对值也可以用来计算多边形内角和外角之差，表示为|θ1-θ2|= |θ1|-|θ2|。
总之，绝对值在代数和几何中都具有重要的应用。
它可以在代数中用来衡量一个数字的大小或求解绝对值差，在几何中可以用来衡量一个点到直线或者坐标原点的距离，也可以用来求解一元一次方程或计算多边形内角和外角之差。
绝对值的理解和使用对数学中的许多问题都有着重要的意义。
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4【课堂检测2】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=，则x的值是多少？模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值在数学中的意义
绝对值在数学中的意义
绝对值是数学中一个非常重要的概念，它表示一个数与零的距离，也就是这个数的大小，而不考虑它的正负。
绝对值的符号是“| |”，例如，|3|表示3的绝对值，也就是3与0的距离，即3。
同样地，|-3|也表示3的绝对值，因为-3与0的距离也是3。
绝对值在数学中有着广泛的应用，它可以用来解决各种问题。
例如，在求解一元二次方程时，我们需要求出方程中的根，而这些根可能是正数、负数或零。
为了方便计算，我们可以先将方程中的每个项都取绝对值，然后再求解。
这样做的好处是，可以将负数转化为正数，从而避免了复杂的计算。
绝对值还可以用来表示误差。
在实际应用中，我们经常需要对测量结果进行误差分析，以确定测量的精度。
此时，我们可以将测量值与真实值之间的差值取绝对值，从而得到误差的大小。
例如，如果我们测量一条线段的长度为5.2厘米，而真实长度为5厘米，那么误差就是|5.2-5|=0.2厘米。
绝对值还可以用来表示距离。
在平面直角坐标系中，两个点之间的距离可以用勾股定理求解。
但是，如果我们只知道两个点的坐标，而不知道它们之间的连线是水平、垂直还是斜线，那么就无法直接使用勾股定理。
此时，我们可以将两个点的横坐标之差和纵坐标之差分别取绝对值，然后再使用勾股定理求解。
例如，如果点A的坐
标为(3,4)，点B的坐标为(1,2)，那么AB的距离就是√[(3-1)²+(4-2)²]=√8。
绝对值在数学中的应用非常广泛，它不仅可以用来解决各种问题，还可以帮助我们更好地理解数学概念。
因此，学习绝对值的概念和应用是非常重要的。
绝对值定义
绝对值定义：
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
绝对值的意义：
1、几何的意义：
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。
2、代数的意义：
非负数（正数和0,）
非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a|≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.
绝对值的有关性质：
①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；
②绝对值等于0的数只有一个，就是0；
③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；
④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：
绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号来确保整个值为正值，也就是当：
│a│=a (a为正值，即a≥0 时）
│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。
解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。
绝对值课件
06
总结与回顾
重点知识回顾
绝对值的定义
绝对值是一个数到原点的距离， 正数的绝对值是它本身，负数的 绝对值是它的相反数，0的绝对值
是0。
绝对值的性质
绝对值具有非负性，即|a| ≥ 0；正 数的绝对值是它本身，负数的绝对 值是它的相反数，0的绝对值是0。
绝对值的运算
两个正数的绝对值相等，两个负数 的绝对值也相等，但正数的绝对值 大于负数的绝对值。
04
绝对值的拓展知识
绝对值不等式
绝对值不等式的定义
如果用字母表示两个数，那么当$a \geq 0$时，$|a|=a$；当 $a<0$时，$|a|=-a$。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的性质包括对称性、传递性、加法单调性、乘法单调 性等。
绝对值不等式的解法
解绝对值不等式需要先去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式 ，然后求解。
绝对值的性质
任何数的绝对值都是非负数。例 如，|x|≥0，且|x|=0当且仅当 x=0。
互为相反数的两个数的绝对值相 等。例如，|-3|=|3|。
绝对值等于同一个正数的数有两 个，它们互为相反数。例如， |5|=5，|-5|=5。
绝对值的几何意义
从数轴上来看，一个数的绝对值就是 表示该数的点到原点的距离。例如， |-3|表示-3这个点到原点的距离，|5| 表示5这个点到原点的距离。
绝对值的性质及运用
知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4绝对值【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号⑤b+---．其中正确的有．（请填写番号）=+bacbca2-模块二 绝对值的非负性 1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或4【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜07.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。
绝对元素的几何意义及应用
绝对元素的几何意义及应用绝对值是一个常用的数学概念，它有着重要的几何意义和广泛的应用。
在几何学中，绝对值常常被用来表示一个数值与原点之间的距离，这种距离可以是一维、二维或者更高维空间中的。
首先，我们来看一维空间中的绝对值的几何意义。
在一维空间中，绝对值表示一个数与原点之间的距离。
对于任意的实数x，其绝对值x 表示x到原点的距离，也就是x与原点之间的线段的长度。
当x为正数时，x 等于x本身；当x为负数时，x 等于-x。
例如，对于实数x=3和x=-3，它们的绝对值分别为3和3，表示它们与原点之间的距离相等。
在一维空间中，绝对值还有一个重要的性质，即x+y ≤x + y ，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
这个性质在一维空间中的几何意义是，两个数的距离之和大于等于它们之间的距离。
接下来，我们来看二维空间中的绝对值的几何意义。
在二维空间中，绝对值表示一个复数或者一个向量与原点之间的距离。
对于一个复数z=a+bi，其绝对值z =√(a²+b²)表示它与原点之间的距离，也就是复平面上该复数所对应点与原点之间的距离。
在向量的理解上，绝对值表示一个向量的长度，即从向量的起点到终点之间的距离。
绝对值还有一个重要的性质，即z·w = z ·w ，即两个复数（或向量）的乘积的绝对值等于它们各自的绝对值的乘积。
这个性质在二维空间中的几何意义是，两个向量的乘积的长度等于它们各自长度的乘积。
在实际中，绝对值有着广泛的应用。
首先，它在几何学中的应用极为重要。
在测量和计算几何中，我们经常需要计算点之间的距离，而绝对值正是用来计算两点之间距离的关键。
例如，在平面几何中，我们可以利用绝对值来计算两点之间的直线距离，用来解决许多问题，比如直角三角形的斜边长度、直线段的长度等。
在向量运算中，绝对值也经常被用来计算向量的长度，从而求解向量的正交、平行等性质。
其次，在代数学中，绝对值也有重要的应用。
浅谈绝对值
浅谈绝对值子洲县第三中学王建绝对值是中学数学中一个非常重要的概念，不仅是有理数运算的基础，还可深化认识有理数。
它具有非负性，在数学中有着广泛的应用。
掌握绝对值的概念是掌握有理数的大小比较，及有理数混合运算的基础。
绝对值的概念初看不难，但要使七年级学生能够真正掌握，并会灵活应用确实不易。
为此，我认为可以按以下思路进行学习。
一、正确理解绝对值的意义1.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值，表示在数轴上这个数所对应的点与原点的距离。
数a的绝对值记为|a|。
例如，在数轴上表示-5的点与原点的距离是5，那么就说-5的绝对值是5，记作“|-5|=5”；同样，在数轴上表示0的点与原点的距离是0，所以说0的绝对值是0，即“|0|=0”。
该定义的实质是指数在数轴上的对应点到原点的距离。
所以，求数的绝对值时，首先想到的是数在数轴上的对应点；其次考虑该对应点与原点的距离。
2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，用字母表示为|a|=这就是说，数a的绝对值分三种情况进行讨论。
当a＞0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；a﹤0时，|a|=-a。
绝对值的代数意义可由它的几何意义总结得到：正数的对应点在原点的右侧，它到原点的距离就是本身的值；负数的对应点在原点的左侧，它到原点的距离是一个正数，这个正数就是它的相反数；而0的对应点是原点，他到原点的距离还是0。
数轴是联系“数”与“形”的桥梁，它将绝对值与数轴结合，直观体现绝对值的意义。
在数学里，“数”与“形”是密切联系的。
我们常用代数方法来处理几何问题，反过来也借助几何图形来解决代数问题，寻找解题思路，这种“数”与“形”之间的相互作用叫做“数形结合”，也是一种重要的数学思想。
二、熟练掌握绝对值的性质——非负性无论是几何意义，还是代数意义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性。
1.任何一个有理数的绝对值均为非负数，即无论a为任何有理数，均有|a|≥0。
绝对值总结 (1)
绝对值的总结绝对值一直都是初中数学考查的重要内容，无论是希望杯还是中考，对绝对值的考查都是很广泛。
今天的公开课只是对于一些关于绝对值的题型做了一个展示，由于时间关系没有进行系统的总结，下面将绝对值总结如下：对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
数据的绝对值和相对值
数据的绝对值和相对值
数据在我们日常生活和工作中扮演着极其重要的角色，我们必须对数
据本身的特性和表达方式有充分的了解。
其中，数据的绝对值和相对
值是两个重要的概念，在以下内容中，我们将详细介绍它们的意义和
应用。
一、绝对值
绝对值是一个数在不考虑其正负号的情况下的值。
例如，-3和3的绝
对值都是3。
对于数据的处理和比较，绝对值的概念是不可或缺的。
它可以用来评估数据的大小、差异和变化的速度。
在实际应用中，我们通常使用绝对值来计算数据之间的差距。
比如，
在商业环境中，分析数据的差异可以帮助我们了解市场趋势、客户需
求和产品销售情况。
此外，在物理学领域，绝对值可以用来计算速度、位置和加速度等数值。
二、相对值
相对值是一个数与其它数之间的比较结果。
相对值通常以百分比的形
式表示，用来表示一个数相对于其它数的变化程度。
例如，一个数从
10增加到20，其相对值为100%（即原值的增加倍数）。
相对值的应用十分广泛，尤其在金融和经济领域。
以股票市场为例，股票价格的变化可以通过计算相对值来解释。
此外，在工业领域，相对值还可以用来衡量生产效率的变化程度，以及评估产品的质量和稳定性等。
总结：
绝对值和相对值是两个重要的概念，它们不仅可以帮助我们更好地理解数据，还可以为我们提供更准确的数据分析结果。
在实际应用中，我们应该灵活运用这两个概念，以发现更多的数据价值。
(完整版)绝对值知识点
绝对值（一）【预习引领】两辆汽车从同一处O 出发 ,分别向东、西方行驶10km,抵达 A 、B 两处．（ 1）它们的行驶路线同样吗？（ 2）它们行驶行程的远近同样吗？答 : （ 1）不同样； (2) 同样 .【重点梳理】知识点一 :绝对值的意义1. 绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 a ，读作： a 的绝对值 .例 1利用数轴求以下各数的绝对值.（ 1） 2， 1， 3.5；5（ 2）0； （3）5 ， 3.2， 21.3答:(1)2 =2; 1 = 1; 3.5 =3.5；5 5(2)0 =0;(3)5 =5;3.2 =3.2;21 =21. 3 32. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.例 2直接写出以下各数的绝对值 .6， 8， 3.9， 5，10，0，26 ， 8， 3.9， 5 10，2答 :6 =6,8 =8,3.9 =3.9,5 =5; 10 =10; 0 =0;226 =6, 8 =8, 3.9 =3.9,5 = 5 ; 10 =10; 0 =0;2 2小结： （ 1）对任一个有理数，绝对值只好为正数或 0，不行能为负数，即a0 .（ 2）两个互为相反数的绝对值，绝对值相等的两个数.（ 3）绝对值为正数的有理数有类，它们 ；绝对值为 0 的有理数是.答 :(2) 相等 , 相等或互为相反数 .(3) 两，正数与负数； 0；例 3判断以下说法哪些是正确的：（ 1）符号相反的数互为相反数；（ 2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数； （ 3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （ 4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；（ 5）绝对值最小的有理数是 0． 答案：（ 2）（ 5）知识点二：绝对值的求法a,a 0a0, a 0 a,a 0例 4 求以下各数的绝对值：6 1， 1 3 ，3，2．2 2 5答案： 611； 13 3 1 ；3 3； 2 =2;= 6 2 2 25 52例5 填空：（ 1）绝对值小于 4 的正整数有 .（ 2）绝对值大于 2 而小于 5 的全部整数是（ 3）假如一个数的绝对值是13，那么这个数是.．（ 4）若xx ，则x 为数 .答案：（ 1） 3，2， 1；（ 2）± 3，± 4；（ 3）± 13；（ 4）负数与 0； 例 6 计算以下各式：⑴ 52⑵ 0.77 234答：（ 1）原式 =5－ 2=3；（ 2）原式 =0.77 ÷ 2 3=0.28 ；4☆例 8 ⑴若 a b 0 ，则 a，b .⑵若 x 73 y 12 0，则 x， y.答案：（ 1） 0，0；（ 2） 7，4；【讲堂演练】1.5 1的绝对值是 ， 0 的绝对值是，绝对值为 2 的数是.2 1.5 1， 0，± 2；2.2, 10 = ,1.5 =2 =,2.5=.， 10， 2，－ 2.5；3. ⑴一个数的绝对值和相反数都是它自己，这个数是；⑵绝对值小于 3.2 的整数有；⑶ 21的相反数是，绝对值是；3⑷ 使 x 5 建立的 x 的值是. 3.（ 1） 0；（ 2） 3， 2， 1， 0，－ 1，－ 2，－ 3；（ 3） 4. 在数轴上到数 3 所表示的点距离为 5 的点所表示的数是. 4.8 或－ 2；5. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为 6，则这两个数为.5．3 与－ 3；6. 若 m0 ，则 m m = ； 若 m 0 ，则 m m =；若 m0 ，则 m m =.6． 2m ， 0， 0；37. （ 2011 北京市， 1， 4 的绝对值是 ( )分）4A ．4 B ．4C ．3 D ．333 447.D8．（ 2011 浙江丽水， 4，3 分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450 克 )为基数，超出的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，此中表示实质克数 最靠近标准克数的是（）A ．＋ 2B ．－ 3C ．＋ 3D ．＋48.Aa 1 ，则 a （）9. 若aA ．是正数或负数；B ．是正数；C ．是有理数；D ．是正整数 .9． B10. 计算以下各题 :⑴21 6;⑵2008 2008 .10．（ 1）原式 =21+6=27；（ 2）原式 =2008－2008=0；☆11．若x7 3 y 120 ，求x、 y 的值.11．由题意可知， x－ 7=0，3y－ 12=0，解得： x=7； y=4；12. 某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取 6 件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录以下表：123456+0.4－+0.10－－0.20.20.3（1）找出哪个些部件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解说.（2）若规定与标准直径相差不超出0.2mm 为合格品，则 6 件产品中有几件是不合格品？12．（ 1）第 4 个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越靠近；（2）第 1 个与第 5 个不合格，所以共有 2 件是不合格的产品；1.（2011浙江省舟山，1，3分）－【课后清点】6 的绝对值是（）A .－ 6B . 6 C.1D.－1 661． B2.一个有理数的相反数与自己的绝对值的和（）A ．可能是负数；C．必为非负数；B．必是正数；D．必为 0.2． C3．式子 3 等于（）A ．3B． 3 C.3 D ．33． C4. 某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步状况记录以下：（向东为正，单位：米）1000，－ 1200， 1100，－ 800， 1400，则该运动员跑步的总行程为（）A ．1500 米B． 5500 米C ． 4500 米D ． 3700 米4． B5．绝对值等于自己的数是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数5． C6．以下结论中，正确的选项是 （）A ． a 必定是正数B ．a 和 a 必定不相等 C ． a 和 a 互为相反数D ．a 和 a 必定相等 6． C7．代数式 x3 3的最小值是（）A ． 0B ． 2C.3D ． 57． C8．以下结论中，正确的选项是（）A ． a 0B ．若 ab ，则 a bC. aa D ．若 a 、b 互为相反数，则1b8． B9. 若 a a ，则 a 为 数； 若 a a ，则 a 为 数 .9．非负数；非正数；10. 当 a4 时， a4 =.10． 4－ a ；11. （ 2011 湖南常德， 1， 3 分） 2 ______. 11． 212. 若 x5 3 ，则 x = ； 若m4 ，则 m =；12． 8 或 2；4 或－ 4；13．若 a 1 ，则 a 1 =， 2a 1 = ；若 a1 ，则 a 1 = ，a 1 = .13． a － 1， 2a － 1； 1－ a ， a － 1； 14. 若 a1b 10 ，则 a b = .14． 0； 15. 计算：⑴2293⑵3 174815．（ 1）原式 = 229=24；（ 2）原式 =3 17= 2 ；34 8 516. 已知 x 30 ， y4 ，求 x 3 y .16． x 3 y =30－ 3× 4=18；17. 已知 a2 b3 c4 0 ，求 a2b 3c 的值 .17．由题意可得， a=2， b=3， c=4，则 a 2b 3c =2+2× 3+3× 4=20；18. 正式的足球竞赛， 对所用足球的质量有严格规定，下边是 6 个足球的检测结果 . （用正数 记超出规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）－25， +10，－ 20， +30， +15，－ 40请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原由 .18．第二个。
绝对值专题 讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
初一上绝对值的几何意义及应用
初一上绝对值的几何意义及应用
初一上绝对值的几何意义及应用如下：
1. 绝对值的几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。
2. 绝对值在数学上的意义是：绝对值表示的是一个数的点到原点的距离，所以在几何意义上绝对值可以看作是长度。
3. 绝对值的代换应用：代数式中出现的绝对值，其运算规律为：取绝对值后通常先去括号，再合并同类项；而方程中出现的绝对值，一般会使方程更简单。
综上，绝对值在数轴上表示点到原点的距离，几何意义中长度为绝对值代换后的结果。
在数学运算中绝对值具有便捷性，是解决某些方程式和代数问题的重要工具。
绝对值PPT教学课件
绝对值不等式
若a和b为实数，则有|a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立。
绝对值的几何意义
数轴上的绝对值
在数轴上，一个数到原点的距离等于该点与原点之间的距离。例如，点A表 示的数为-3，则点A到原点的距离为3，即|-3|=3。
绝对值的几何解释
绝对值还可以理解为在数轴上，一个点到任意一个点之间的距离。例如，点B 表示的数为x，点C表示的数为y，则|x-y|表示点B到点C的距离。
对于形如“|x| > a”或“|x| < a”的 不等式，可以通过去掉绝对值符号， 将不等式转化为若干个不等式组来解 决。
要点三
绝对值不等式的应用
绝对值不等式可以用来解决一些实际 问题，例如在物理、化学、生物等领 域中，常常需要使用绝对值不等式来 解决一些限制条件或优化问题。
在函数中的应用
绝对值函数的定义
3. 根据以上两点，进行 化简求值。
习题二：绝对值的比较大小
详细描述
2. 比较两个负数的绝对值大小： 先取它们的相反数，再比较大小 。
总结词：掌握比较两个数的绝对 值大小的方法，能够根据两个数 的绝对值判断它们的大小关系。
1. 比较两个正数的绝对值大小： 直接比较它们的绝对值即可。
3. 比较两个数的绝对值大小：先 分别求出它们的绝对值，再比较 大小。
3
绝对值的定义也可以理解为：一个数a的绝对值 就是a和0之间的距离。
绝对值的意义
01
绝对值的意义在于它反映了数在数轴上的位置离原点的远近程 度。
02
对于任何有理数a，它都有一个对应的绝对值|a|，这个绝对值
表示了a离原点的距离。
通过比较两个数的绝对值大小，我们可以知道它们在数轴上的
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绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0以0，2为分界点，分为三段讨论：(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为03. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤24. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
所以原式的解为x ≤-1五. 有关绝对值知识的应用1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.例6. 设x ，y ，a 是实数，并且|x|＝1-a ，|y|＝(1-a)(a-1-a 2)，试求|x|+y+a 2+1的值等于______．解：显然|x|≥0，|y|≥0，∴由|x|≥0得1-a ≥0，由|y|≥0得1-a ≤0，∴1-a ＝0，从而x ＝0，y ＝0，a ＝1∴原式＝|0|+0+12+1＝22. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。
讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨论。
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b 的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴ a ＝3或-3，b ＝2或-2因此a ，b 的取值应分四种情况：a ＝3，b ＝2或a ＝3，b ＝-2或a ＝-3，b ＝2或a ＝-3，b ＝-2，从而易求a+b 的值分别为5，1，-1，-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。
(2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．解：由031=-x 和021=+x 得两个零点：31=x 和21-=x ，这两个点把数轴分成三部分：（1）当21-<x 时，031>-x ，021<+x ∴ 原式;5)]21([)31(x x x -=+-+-=（2）当3121<≤-x 时，031>-x ，021≥+x ∴ 原式x x x -=++-=2)21()31(；（3）当31≥x 时，031≤-x ，021>+x ， ∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x ．3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x 到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x 到点 a 的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k 的解是x ＝a+k 或 x ＝a-k(k ≥0)例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P ，使AP+BP+PC 为最小，显然，当P 与B 重合，即x ＝2时，其和有最小值2，故应选(B)4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。
在运用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”联用。
例10. 若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m 2003-n 4＝______．六. 绝对值化简与求值的基本方法例11. 若a 、b 互为相反数，cd 互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中数学竞赛)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1，则|a+b+cd|＝|0-1|＝1例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy 的负倒数是________．(95年希望杯邀请赛初一培训题)解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0 解得21-=x ，23=y ，43-=xy ∴其负倒数是34 例13. 已知a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的2倍，则x 3+abcdx+a-bcd 的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1．又x 的绝对值等于它的相反数的2倍，∴x ＝0，∴原式＝03+0+a-b ·(-1)＝a+b ＝0例14. 化简|x+1|+|x-2|令x +1＝0，x-2＝0，得x ＝-1与x ＝2，故可分段定正负再去符号．(1)当x ＜-1时，原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；(2)当-1≤x ＜2时，原式＝(x+1)-(x-2)＝3；(3)当x ≥2时，原式＝x+1+(x-2)＝2x-1说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。
例15. 设x 是实数，y ＝|x-1|+|x+1|。
下列四个结论：Ⅰ.y 没有最小值；Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ.有有限多个x(不只一个)使y 取到最小值；Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值。
其中正确的是( )．A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ(1993年全国初中数学竞赛试题)解：原问题可转化为求x 取哪些值时，数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。
从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x 到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y ＝|x-1|+|x+1|当-1≤x ≤1时，取得最小值2，故选(D)七. 绝对值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。
当我们说x 是一个非负数时，用数学符号表示就是x ≥0.值得注意的是，有的同学们往往用x ＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。
我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。
即对任意有理数x 有|x|≥0，这一点至关重要。
只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。
例16. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. aa 1> D. 01>+a 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。
如此就很容易淘汰掉A 、B ，而C 需从a 的取值范围来讨论，如21=a ，则C 不对，至于D 有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。
例17. 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解：分析这个题目的关键是确定a+c 、b+c 、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。