北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《函数的单调性和最值》课标解读
北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 3 函数的单调性和最值
3.若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是
函数的最大值,否则不是.
4.函数
A.0
C.2
f(x)= -x
解析:因为函数
在区间[1,2]上的最大值为(
B.1
D.-
f(x)=-x
在区间[1,2]上单调递减,
函数y=f(x)在区间I上单调递增.这时,区间I叫作函数y=f(x)的
单调递增区间.
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就称
函数y=f(x)在区间I上单调递减.这时,区间I叫作函数y=f(x)的
单调递减区间.
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函
故实数a的取值范围是[2,+∞).
1.若函数f(x)=ax2-2x+2在区间(-∞,4)上单调递减,求实数a的取
值范围.
解:当 a=0 时,f(x)=-2x+2 在区间(-∞,4)上单调递减,故成立.
> ,
当 a≠0 时,要使 f(x)在区间(-∞,4)上单调递减,需
≥
,
解得
0<a≤ .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调,导致解题错
误.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴
为直线x=1-a,
所以有1-a=4,即a=-3.
答案:a=-3
认真审题,对题目逐字逐句审读,弄清题目含义,然后解题.
2.3 函数的单调性和最值(第一课时)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
（３）函数单调性的证明步骤。 取值 作差变形 定号
下结论
（４）“ 数形结合”的数学思想。
作业
习题2—3
2、4、5
变化趋势？上升？下降？（2）当自变量x增大时 函数值y如何变化.
y
y=xy=ຫໍສະໝຸດ 2xx任务二:如图在[a,b]上任取x1<x2,则f(x1),f(x2)的大小关系如何？
y
y f(x)
y
y f(x)
f (x 2 )
f (x1 )
a O
x1
x2 b x
f (x1) f(x2)
O a x1 x2
bx
在函数y=f(x)的定义域内的一个 区间Ａ上,如果对于任意两个数 x1,x2 ∈A, 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说y=f(x)在 区间Ａ上是增加的 (递增的).
如果函数y=f(x)在区间A上是增函数或减函数,那么就称 函数y=f(x)在区间A上是单调函数，或称函数y=f(x)在区间A 上具有单调性.此时，区间A为函数y=f(x)的单调区间.
问题1：
如果函数y=x2在区间[-3,3]内存在-1<2,恰有 f(-1)＜ f (2),那 么函数y=f(x)在该区间上一定是单调递增的吗？
新课引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，
这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中 事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性”，变 化中的规律性。所以研究函数性质，就是要学会在 运动变化中发现规律。
2024/11/9
任务一：1.观察下列各个函数的图象，回答：（1）图像的
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(2 ,4)
北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
2023学年高一数学(北师大版2019必修第一册)+2.3函数的单调性和最值(第1课时)+课件
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、函数的单调性的应用
2，函数单调性应用的易错点：函数 = 在区间和区间上的分别
为增函数(或减函数)，并不能说明函数 = 在区间 ∪ 上也为增函
数(或减函数).
1
例如：试说明函数 = 在其定义域内的单调性.
1
的定义域为
进行初步判断;
2，数形结合的思想方法，结
合函数图象，可以直观地观
察出函数的单调性和最值.
3，动轴定区间题型；定轴动
区间题型.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
课后作业
作业1：课本P65 A组T2
作业2：课本P65 A组T4.
谢谢聆听！
小
值是()，求()并画出
解：
画出函数 = 2 − =
2()的图象.
− 1的图象，如图，抛物线对称轴为 = 1，
①当 + 1 < 1时（ < 0），函数在区间[, + 1]上
单调递减， = = + 1 = 2 − 2；
②当 ≤ 1且 + 1 ≥ 1时（0 ≤ ≤ 1），函数在区间
最小值 = 0 = 2 =0.
No
Image
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P63练习
教材P63练习
练习4：某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程 (单位:)是行
驶速度(单位:/ℎ)的函数.由实验可知，这一函数关系是
= −0.01 2 + 1.2 − 5.8.
就称函数 = 在区间上是减函数，特别地，当是定义域上的一
个区间时，也称函数 = 在区间上单调递减.
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
3函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
3 函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案课程目标本课程的主要目标是让学生了解函数的单调性和最值的概念，并能够运用所学知识解决实际问题。
具体目标包括：1.掌握函数单调性的定义和判别方法；2.掌握函数最值的概念和求解方法；3.能够应用函数的单调性和最值解决实际问题。
课程内容一、函数的单调性1.函数的单调性概念：如果一个函数在其定义域上任意两点的函数值的大小关系都相同，那么这个函数就是单调的。
2.单调性判定方法：可以通过研究函数的导数或者函数的一阶差分值来判断一个函数的单调性。
3.单调性的应用：函数的单调性可以应用于最值的求解、不等式的证明等问题中。
二、函数的最值1.函数最大值和最小值的概念：在函数定义域内，函数值最大的数就叫做函数的最大值；函数值最小的数就叫做函数的最小值。
2.最值的求解方法：可以通过求解导数或者利用单调性来确定函数的最值。
3.最值的应用：最值可以应用于最优化问题、优化设计等方面。
教学方法1.讲解法：通过案例分析，教师介绍单调性和最值的概念和判定方法。
2.组合式教学：学生分组协作，通过完成练习题来深化对单调性和最值的认识。
3.实践教学：通过实际问题的解决，来锻炼学生应用所学知识解决实际问题的能力。
教学设计一、引入教师通过实际生活中的例子，引导学生认识单调性和最值，并且让学生思考，如果需要求解最优解，我们应该怎么办？二、知识点讲解1.函数的单调性概念、判定方法和应用；2.函数的最值的概念、求解方法和应用。
三、分组练习教师组织学生进行分组协作练习，通过练习题来复习和深化所学知识。
四、实践应用教师通过实际问题的讨论，让学生应用所学知识解决实际问题。
总结通过本课程的学习，学生将会掌握函数单调性和最值的概念和应用，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
同时，本课程也将为学生今后的学习打下坚实的基础。
23函数的单调性和最值(第1课时)课件高一上学期数学北师大版
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
三、强化新知
（1）
单调性推论
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
三、强化新知
例2:如图是定义在闭区间[-6，9]上的函数 y=f(x) 的图象，根据图象说出 y=f(x) 的单调区间，以及 在每一单调区间上，函数 y=f(x) 是单调递增还是单调递减。
判号 下结论
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
三、强化新知
证明函数单调性的步骤：
1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；
3.判号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论.
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
三、强化新知
y 随 x 的增大的而 减小
在区间(0, +∞)上，
y 随 x 的增大的而增大
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
二、探索新知，形成概念
问3：如何用数学符号语言描述图象
从左往右呈现上升趋势？
追问①：在不计算具体数值的情况下，比较下列大小关系？
<
>
追问②：随着自变量 x 取值增大，与之对应的函数值怎么变化？
解:单调区间： [-5,-2)，[1,3)， [4.5,7)， [8,9]， [-6,-5)， [-2,1)， [3,4.5)， [7,8) 其中 f(x) 在区间[-5,-2)，[1,3)， [4.5,7)， [8,9]上是单调递减， 在区间[-6,-5)， [-2,1)，[3,4.5)， [7,8)上是单调递增。
高中数学北师大2019版必修一第二章函数
三、强化新知
y
例3. 探究、画出反比例
北师大版(2019)数学必修第一册：2.3 函数的单调性和最值 教案
函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。
同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。
思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。
（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。
提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。
2.3+函数的单调性和最值课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调
递减的函数例子吗？
y=x+2
2024/4/22
y=x2-2
注意：单调性是对定义域内某个区间而言的，是
函数的“局部性质”。所以我们在描述函数单调性时，
要说哪个函数，在哪个区间，单调性怎样。
允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间
3 函数的单调性和最值
新课引入
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，
这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中
事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性”，变
化中的规律性。所以研究函数性质，就是要学会在
运动变化中发现规律。
2024/4/22
2024/4/22
图象直观判断它的单调性
解：依题意知函数 + 3 =
其图象是函数 =
1
(
+3
< −3)，
1
的图象向左平移
3个单位得到，
如图，该函数在区间(−∞, −3)上单调
递减.
应用探索
例3 根据函数图象直观判断 = | − 1|的单调性.
解：依 题 意 函 数 = | − 1| =
1− ≤1
二、由形入数 、 提出问题
8
观察下列函数，你能发现他们有那些特征吗？
6
4
2
15
10
5
5
10
15
2
4
6
y=x+2
2024/4/22
y=-x+1
8
y=x2
1
y
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《函数的单调性和最值》课标解读
教材分析
本节的主要内容是函数的单调性和最值.函数的单调性把自变量的变化和函数值的变化定性地联系在一起，起着承前启后的作用，函数的单调性与函数的概念和函数的表示法有着密切的联系，函数的单调性和后面要学习的函数的奇偶性合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数的理论基础.
函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，本节通过对具体函数图象的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中在判断函数的增减性时，既有从图象上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图象得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系.
函数的单调性和最值有着广泛的实际应用，在解决函数值域、定义域、最值、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性.
高考中主要考查函数单调性的判断、求函数的单调区间、函数单调性的应用.
本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等.
学情分析
学生在初中阶段通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势.学生具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.
学生学习本节内容的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱这些都容易产生思维障碍.
教学建议
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其是抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.
教学中为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，可以采取以下形式组织学习材料:
1.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示，在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.
2.在“创设情境”阶段，观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数的单调性，明确相关概念.
3.在“引导探索”阶段，首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.
4.在“学以致用”阶段，首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识，然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法，接着请学生板演实践.
学科核心素养
目标与素养
1结合初中已学习的函数图象，通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，抽象概括出增函数和减函数的定义，达到数学抽象核心素养水平一的要求.
2.会利用单调性的定义判断和证明函数的单调性，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.
3.会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养水平一的要求.
情境与问题
案例一通过回顾初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的函数值()
f x 随自变量x的变化情况，结合某天气温随时间的变化曲线，引入本节内容的教学.
案例二通过系列问题的设计，复习函数的概念，引发学生回忆思考，通过回顾初中学习的一次函数的图象与性质，在已有知识基础上去探求新知识，引入课题.
内容与节点
函数的单调性是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后续学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等，在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.
过程与方法
通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到
整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量，引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点难点
重点
函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.
难点
函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.。