解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题
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解析几何中的定值问题
作者：席明闰
来源：《校本教研》2012年第02期
解决定值问题的主要方法有三种，即推证法、解析法和参数法.下面分类举例来研究和探
讨解析几何中定值问题的规律．
1．定点坐标问题
定点坐标问题的解题步骤可归纳为：第一步,选择参变量.需要选择过定点的的动直线随某个变量的变化而变化，可选择这个量为参变量.第二步,求出动直线的方程.求出只含上述参变量的动直线方程，并由其它辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线方程的系数中只含有一个参变量.第三步,求出定点坐标.可以设动直线方程中所含的参变量为λ，把直线方程可以写成形如的形式，然后解关于x、y的方程组，得到定点坐标.
2．定长度问题
解析法解决解析几何中的长度问题的一般步骤是：第一，恰当地选择坐标系,使题中某些
点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式；第二，根据题目要求,求出有关点的坐标、直线
或圆的方程；第三，从已知条件出发,以求解或求证的结论为目标,通过运算、推理出要求解或求证的结果．
例2：已知半径为6的⊙O的圆心O到直线l的距离为12，过O作OH⊥l，垂足为H，过l上任一点M向⊙O作切线MP和MQ，切点分别为P和Q,直线PQ交OH于N，求证ON的
长度为定值．
3.定面积问题
定面积问题的解题关键是选定一个适合题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理、点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理得出结果．
例3：经过双曲线上任一点，作两条分别平行于两条渐近线的直线。
求证这两条直线和两条渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．
（作者单位：郑州市电子信息工程学校）。
专题04 解析几何中的定值问题 (解析版)
专题04 解析几何中的定值问题常见考点考点一 定值问题典例1．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,4P x 是抛物线C 上一点，6PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过()0,4Q 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求证：2211||||AQ BQ +为定值． 【答案】(1)28x y = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由6PF =，根据抛物线的定义得到462p+=，求得4p =，即可求得抛物线的方程； （2）设直线l 的方程为4y kx =+，联立方程组利用韦达定理12128,32x x k x x +==-，结合两点距离公式，化简21212222212()2111||||1()x x x x AQ BQ k x x +-+=⋅+，代入即可求解. (1)解：因为点()0,4P x 在抛物线2:2C x py =上，且6PF =， 由抛物线的定义可得462pPF =+=，解得4p =， 所以抛物线的方程为28x y =. (2)解：设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为4y kx =+， 联立方程组248y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28320x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2(8)4(32)0k ∆=-⨯->且12128,32x x k x x +==-， 由222222222211221122111111||||(4)(4)(44)(44)AQ BQ x y x y x kx x kx +=+=++-+-++-++- 22212121222222222121212()21111(1)(1)1()1()x x x x x x k x k x k x x k x x ++-=+=⋅=⋅++++ 222221(8)2(32)1111(32)11616k k k k -⨯-+=⋅=⋅=+-+.变式1-1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2设点()(),00,M m m m a ≠≠±是x 轴上的定点，直线l ：222a mx m+=，设过点M 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，A 、B 在l 上的射影分别为A '、B '． (1)求椭圆C 的方程；(2)判断AA BB '⋅'是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)是定值，定值为222(4)4m m -.【解析】 【分析】(1)根据题意列方程得出a ，b 的值即可得出椭圆方程；(2)求出当直线AB 斜率为0时AA BB '⋅'的值，再求当直线AB 斜率不为零或不存在时AA BB '⋅'的值.当直线AB 斜率不为零或不存在时，设直线AB 方程为x ky m =+，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算AA BB '⋅'.由此即可得出结论． (1)由题意可知1b =，ca=又222a c b -=，2a ∴=，1b =，c∴椭圆的标准方程为：2214x y +=；(2)当直线AB 斜率为0时，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，A '、B '均为22,02a m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则222244222222222222()(4)22444a m a m a m a m a m m AA BB a a a m m m m m ++++--'⋅'=-⋅+=-==，当直线AB 斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ky m =+，联立方程组2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得：2222(4)8440k x mx m k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则0∆>时，12284mx x k +=+，22122444m k x x k -=+，222221212122444(4)()2224m m m m AA BB x x x x x x m m m m ++++''∴⋅=-⋅-=-++222222(4)(4)444m m m m +-=-+=．综上，AA BB '⋅'为定值222(4)4m m -．变式1-2．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，点P （1，32）在椭圆上，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右焦点为F ，过B （4，0）的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得12c a=，然后将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求解即可；（2）设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，然后联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，然后可算出FD FE k k +为定值. (1)由题意知，12c e a ==，所以a =2c ，22b a =-2c =23c ， 故椭圆的方程为2222143x y c c+=，又点P （1，32）在椭圆上，代入解得21c = 所以2a =4， 23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则0∆>，解得2k <14，∴21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+， FDFE k k +=()121212*********(1)(1)k x x x x y y x x x x ⎡⎤-++⎣⎦+=----()()()()22222222121264123212824160243225834343401111k k k k k k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---++⨯-⨯+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭===---- 所以直线FD 与直线FE 斜率之和为0.变式1-3．如图，已知圆22:4O x y +=，点(1,0)B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线:4l x =，3(1,)2Q ，过点B 的直线1l 与C 交于,M N 两点，与直线l 交于点K ，记,,QM QN QK 的斜率分别为123,,k k k ，问：1223k k k k --是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，证明见解析，2- 【解析】 【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可. (1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接,OP PQ ， 取B 关于y 轴的对称点D ，则2BD = ，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴=2AD OP ，故=2222AB AD OP PB OP PQ ++=+()242OP PB BD =+=>=.所以点A 的轨迹是以,B D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=；(2)由第一问，作图如下：设1122(,),(,),M x y N x y 依题意，直线1l 的斜率必定存在， 设1:1(0)l x my m =+≠，将其与椭圆方程联立：221(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， 由韦达定理，得：12122269,3434m y y y y m m --+==++ 易得点3(4,)K m ，33311232m k m -==-111113322,1y y k x my --==-22232y k my -= 133213122323231k k k k k k k k k k k k k k -+---==---- 而121213122231212112311()()3223113()()22y y m y y k k my y y m k k my y y y y m y y m -----==-----……① 由12122269,3434m y y y y m m --+==++得：12123()2y y y y m =+， 代入①得：1312223121313k k my y y k k my y y --==---，得1332131223232312k k k k k k k kk k k k k k -+---==-=----故答案为：22143x y +=，是定值，理由见解析，-2.典例2．已知椭圆1C：(22216x y a a +=>，1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，1C 的离2C，点E 在2C 上，过点E 和1F ，2F 分别作直线交椭圆1C 于F ，G 和M ，N 点，如图.(1)求1C ，2C 的方程；(2)求证：直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值； (3)求证：11FG MN +为定值.【答案】(1)1C ：221186x y+=；1C ：221x y -=(2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线1C 的方程，再求曲线2C 的方程； （2）首先设()00,E x y ，表示直线1EF 和2EF 的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线1EF (1y k x =+与1C 方程联立消y ，利用韦达定理表示弦长FG ，以及利用直线1EF 和2EF 的斜率关系121k k =，表示弦长MN ，并证明11FG MN +为定值. (1)由题设知，椭圆1C =解得218a =∴()1F -，()2F∵椭圆1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点， ∴设双曲线2C ：()2221012x y n n -=>∴2C =212n =.∴1C ：221186x y+=2C ：2212x y -=；(2)证明：∵点E 在2C 上 ∴设()00,E x y则220012y x =-，∴122020112EF EFy k k x ⋅==-. ∴直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值1； (3)证明：设直线1EF 和2EF 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k = 设()11,F x y ，()22,G x y1EF：(1y k x =+与1C 方程联立消y 得()()22221113118210kx x k +++-=“*”则1x ，2x 是“*”的二根则()121211221182131x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩则FG =)2121131k k ++ 同理))2222112221211111131331k k k MN k k k ⎫+⎪++⎝⎭===++⋅+∴2211FG MN+== 变式2-1．已知()2222:10x y C a ba b +=>>左、右顶点分为A ，B 点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()4,0M -作直线PQ 交椭圆C 于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），若直线AP 和BQ 的交点为N .求证：MB AN ⋅为定值.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意和离心率求出2a =，b(2)设设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程，联立椭圆方程并消去x ，利用韦达定理表示出1212y y y y +、，根据直线的点斜式方程求出直线AP 、BQ ，结合平面向量的坐标表示化简计算即可. (1)由题意得：c e a =12242b c ⋅=，即a ，2bc =，又222a b c =+，则有2a =，b =则椭圆C 的标准方程为：22142x y +=.(2)由题意知：直线PQ 的斜率不为0， 设直线:4PQ x my =-， 由224,24,x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2228120m y my +-+=， 设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21660m ∆=->，12282m y y m +=+，122122y y m =+. 因为()2,0A -，()2,0B ，则0612MB AN x ⋅=+.则()1212212322m my y y y m ==++①， 直线()11:22y AP y x x =++②，直线()22:22y BQ y x x =--③， 由②③得：()()1200122222y yx x x x +=-+-， 则()()()()221210212210121212112222222662y y x y my x x my y y y x y x y my my y y x +-+--====----+④ 将①代入④得：()()122001213221232362y y y x x y y y+-+==--+-，则01x =-， 则06126MB AN x ⋅=+=-.变式2-2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点到焦点的最大距离为方程2610x x -+=的根，离心率e 满足228a e =． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AB 的垂直平分线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：2169m k -为定值．【答案】(1)2219x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于a c +的等式，结合离心率c e a=，228a e =，222a b c =+，求出a ，b 的值，即得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用根与系数的关系求12x x +，12y y +的表达式，进而得到AB 的中点M 的坐标，利用直线1PM l k k ⋅=-即可证明2169m k -为定值．(1)因为方程2610x x -+=的实数根为3±①若3a c +=+228a e =，所以28c =，即c =3a =．因为222a b c =+，所以1b =，此时椭圆C 的方程为2219x y +=；②若3a c +=-228a e =，所以28c =，即c =所以30a =-<，不符合题意，所以椭圆C 的方程为2219x y +=；(2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221,9,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2221918990k x mkx m +++-=．因为直线y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以()()2222324419990m k k m ∆=-⨯+⨯->，即2291m k <+，由韦达定理知1221819mk x x k +=-+，122219my y k +=+， 所以AB 的中点229,1919mkm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭．又因为AB 的中垂线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k ≠，所以22119219019m k k mk k ++⋅=---+， ()2222191919219m k k k mk k ⎛⎫+++⋅-⋅=- ⎪+⎝⎭，221918m k m ++=，所以21691m k -=， 所以2169m k -为定值．变式2-3．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知点()1,P m 在抛物线C 上，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：MN 的斜率为定值. 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差法求得p ，由此求得抛物线C 的标准方程.（2）求得P 点的坐标，设出直线,PM PN 的方程，通过联立方程求得,M N 两点的坐标，进而判断MN 的斜率为定值. (1)设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=， 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24p p ==， 所以抛物线方程为24y x =. (2)当1x =时，2414,2y y =⨯==±，所以()1,2P ±. 不妨设()1,2P ，依题意可知直线,PM PN 的斜率存在、不为0且互为相反数，设直线PM 的斜率为k ，则直线PN 的斜率为k -， 直线PM 的方程为()21,2y k x y kx k -=-=+-， 直线PN 的方程为()21,2y k x y kx k -=--=-++，224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，解得24441,2M k k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 同理可求得24441,2N k k k ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率为224482218444411k k k k k k kk ⎛⎫-----⎪⎝⎭==-⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭，是定值.巩固练习练习一 定值问题1．已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A B ､两点，与圆22:20N x y y +-=交于C D ､两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：AC DB ⋅是定值. 【答案】(1)24x y = (2)1 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明. (1)解：由题意，得动圆的圆心M 到点()0,1F 的距离等于到直线1y =-的距离，所以M 的轨迹是以点()0,1F 为焦点的抛物线，其轨迹方程为2:4E x y =；(2)解：设经过焦点F 的直线为:1l y kx =+， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=； 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2=16(1)0k ∆，且124x x k +=，124x x =-；因为圆22:20N x y y +-=的圆心为()0,1N （即抛物线的焦点），半径为1， 由抛物线的定义，得1||1AF y =+，2||1BF y =+， 则1||||1AC AF y =-=，2||||1BD BF y =-=， 所以1212(1)(1)AC DB y y kx kx ⋅==++2221212()14411k x x k x x k k =+++=-++=，即AC DB ⋅是定值，定值是1.2．已知椭圆22:14x C y +=，下顶点为A ，不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P ，Q 两点．(1)若线段PQ 的中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭R ，求直线l 的斜率；(2)若l 与y 轴交于点(0,2)B ，直线,AP AQ 分别交x 轴于点M ，N ，求证：M ，N 的横坐标乘积为定值．【答案】(1)12； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，应用点差法可得121212124()y y x xx x y y -+=--+，结合PQ 的中点R 有12122,1x x y y +=-+=，即可求直线l 的斜率；（2）设直线:2l y kx =+，联立椭圆方程应用韦达定理求12x x +、12x x ，由判别式求k 的范围，进而写出直线,AP AQ 并求M ，N 坐标，化简M N x x 即可证明结论. (1)设1122(,),(,)P x y Q x y ，由,P Q 在椭圆C 上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，即121212124()y y x x x x y y -+=--+，又PQ 的中点R11,2且R 在椭圆C 内，则12122,1x x y y +=-+=，所以直线l 的斜率为121212y yx x -=-．(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)16120k x kx +++=． 由22(16)48(14)0k k ∆=-+>得：234k >，即k <或k >1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+.直线AP 为1111y y x x +=-，令0y =得：111x x y =+，则11,01x M y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得22,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以121212212121212(1)(1)(3)(3)3()9M N x xx xx xy y kx kx k x x x x k x x ===+++++++22212412489(14)3k k k ==-++，所以,M N 的横坐标乘积为定值43．3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，1F ，2F 为E 的左､右焦点，M 为E 上一动点，当12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b.(1)求E 的标准方程：(2)过点1F 作斜率之和为3的两条直线1l ，2l ，1l 与E 交于点A ，B ，2l 与E 交于点C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ，过点1F 作1F H PQ ⊥，垂足为H .试问：是否存在定点T ，使得线段TH 的长度为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在11,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，TH 为定值，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据内切圆的半径表示出三角形的面积，结合长轴的定义即可求出a 、b ，进而求得椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为y kx m =+，直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由直线PQ 和直线AB 的方程求出点P 的横坐标，直线AB 联立椭圆方程，利用韦达定理，结合题意即可求出当T 为1F G 的中点时，TH 为定值. (1)设椭圆的焦距为2c ，由12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b ， 得112(22)223b c b a c ⨯⨯=+⨯，化简，得12c a=， 又24a =，所以21a c ==，，所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，PQ x ⊥轴，点P 与点Q 关于x 轴对称， 则120k k +=，与题意中的123k k +=矛盾，不符合题意； 设直线PQ 的方程为y kx m =+，则直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由1(1)y k x y kx m=+⎧⎨=+⎩，得11P m k x k k -=-，由122(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111(34)84120k x k x k +++-=，设()()1122,,A x y B x y ，，则2121214234P x x k x k +==-+， 所以2121434k k -=+11m k k k --，化简得2114()330k m k k m -+-=， 同理，2224()330k m k k m -+-=，所以12k k 、为方程24()330k m x x m -+-=的两个根， 有1234()k k k m +=--，又123k k +=，所以14k m =-，所以直线PQ 的方程为111()()(1)444y m x m m x =-+=-++，得直线PQ 过定点1(1,)4G -，又1(1,0)F -，1F H PQ ⊥，所以1F H HG ⊥， 则点H 在以1F G 为直径、以1(1,)8T -为圆心的圆上， 故点H 到圆心1(1,)8T -的距离恒为定值，即存在点1(1,)8T -为1F G 的中点时，TH 为定值.4．如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，双曲若点A 为双曲线右支上一点，且12AF AF -=直线2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长,AD BD ，分别与双曲线Γ交于,P Q 两点.(1)若()()1122,,,A x y B x y ，求证：()1221212x y x y y y -=-； (2)若直线,AB PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k .试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，7 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线联立得111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1) 证明：由双曲线离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2222,2,4a b c ===，所以双曲线方程为22122x y -=，2(2,0)F .当直线AB 的斜率不存在时，122x x ==，()12212121222x y x y y y y y -=-=-，直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121222y yx x =--，整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0， 设直线AD 的方程为()1111y y x x =++， 代入双曲线222x y -=并化简得：()()()2222211111210x x y x x +-+-+=，①由于22112x y -=，则22112y x =-代入①并化简得：()()22211112322340x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则2111013423x x x x x --=+，211100112(2)342323x x x x x x x ---+=⇒=++，代入()1111y y x x =++，得10123yy x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++ ()()()212121112124377y y y y y yk x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于A ，B 两点且△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，在x 轴上是否存在一点P 使得直线l 变动时，总有直线P A 的斜率与PB 的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不能，请说明理由. 【答案】(1)24y x =(2)存在，定值1-或7-，()0,0P 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，利用点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切列方程即可求解； （2）设直线AB 的方程为x ty m =+,根据△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，可以求出m 的值，利用韦达定理求出PA PB k k ⋅的值，由PA PB k k ⋅为定值即可判断出点P 的坐标，进而求出定值.(1)设(,)M x y ，则MF 的中点为G ,其坐标为1,22x y G +⎛⎫⎪⎝⎭，MF =G 到y 轴的距离为12x +， 则由题意可知，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，则|1|2x +=24y x =； (2)设直线AB 的方程为x ty m =+，由△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍可知，点O 到直线AB 的距离是点F 到直线AB 的距离的43倍，4m =或47=m ， 可知直线AB 过点(4,0)且斜率不为0, 设()()()01122,0,,,,P x A x y B x y ，则()121221020120120PA PB y y y yk k x x x x x x x x x x =⨯=---++⋅，将直线方程与抛物线方程2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩联立得2440y ty m --=， 则124y y t +=，124y y m =-，即()21212242x x t y y m t m +=++=+，()21221216y y x x m ==，故()22200442PA PB mm k t x x k m -⋅-++=，由此可知，只有当00x =时，PA PB k k ⋅才是定值， 即4PA PB k k m=-⋅， 当4m =时，1PA PB k k ⋅=-，当47=m 时，7PA PB k k =-⋅，故定点()0,0P ，定值为1-或7-. 6．已知圆1C ：()22125x y ++=，圆2C ：()2211x y -+=，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程(2)点()1,P t （0t >）为轨迹E 上的点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于AB 两点，直线P A ，PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为12. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即得；（2）由题可得直线P A 的方程，联立椭圆方程可得点A 、B 横坐标，进而利用斜率公式即得.(1)由题意得()11,0C -，()21,0C .设动圆圆心C 的坐标为(),x y ，半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =-. 从而()121244CC CC C C +=>.∴动圆圆心C 的轨迹E 是焦点为()11,0C -，()21,0C ，长轴长等于4的椭圆，且1c =，2a =. 又222a b c =+，得b =∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为22143x y +=.(2)由（1）可得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.设直线P A 的方程为()()3102y k x k -=-≠ 则直线PB 的方程为()312y k x -=--. 设()11,A x y ，()22,B x y .由()22312143y k x x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得()()22223412841230k x k k x k k ++-+--=， 则212412334P k k x x k --=+，即212412334k k x k--=+.（1） 同理可得222412334k k x k +-=+.（2） ∴()()()1212121212123311222ABk x k x k x x k y y kx x x x x x ⎡⎤⎡⎤+----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦===---. 将（1）（2）代入上式，化简得12AB k =. 故直线AB 的斜率为定值12.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的淮线的距离为72． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值． 【答案】(1)24y x =； (2)2. 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列出等式472pp ++=，即可求出答案； （2）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB k k -=，当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程为y kx b =+即点,A B 的坐标，把直线AB 与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线AB 的距离等于半径2，找到k 与b 之间的关系式，在计算OA ，OB 的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案. (1)根据题意可列4722pp p ++=⇒= 故抛物线C 的方程为24y x =. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为4x =，(4,4),(4,4)A B -，1,1,2OA OB OA OB k k k k =-=-=. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，故设直线AB 的方程为y kx b =+， 圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B两点，故2214b d kb ==⇒=- 设(,),(,)A A B B A x y B x y把直线AB 的方程与抛物线进行联立2222(24)04y kx bk x kb x b y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩ 22242,A B A B kb b x x x x k k -+=⋅=.,A B OA OB A B y y k k x x ==B A A B A B A BOA OBA B A B A Bb x x y y y x x y k k x x x x x x ---=-===22bb=====.综上所述：,OA OB的斜率之差的绝对值为定值为2.8．已知双曲线2222:1Γ-=x ya b（0a>，0b>）的左、右顶点分别为()11,0A-、()21,0A，离心率为2，过点()2,0F斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线1A P、2A Q的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值．【答案】(1)y=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）讨论l的斜率：当l k不存在求P、Q的坐标，进而可得1213kk=-；当lk存在，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证1230k k+=是否成立即可. (1)设双曲线Γ的半焦距为c，由题设，1a=，2cea==，2223b c a=-=双曲线Γ的方程为2213yx-=，故渐近线方程为y=．(2)当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为()2,3和()2,3-，所以，当11k=时有23k=-；当11k=-时有23k=，此时1213kk=-，当l的斜率k存在时，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，将直线l代入双曲线方程得()222234430--++=k x k x k，所以212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()()1212121212322331111k x k x y y k k x x x x --+=+=++-+-()()()()()()()1212123211211--++-=+-k x x x x x x ()()()()()12121212123222211--++-+-=+-k x x x x x x x x x x ()()()()12121245411-++=+-k x x x x x x因为()()()22212122443204345403+-+--++==-k k k x x x x k ，所以1230k k +=，即1213kk =-，综上，12k k 为定值，得证．。
解析几何中的定值问题
类型二 角度定值
核心突破——形成解题思路
考点一 线段长度、比值定值问题
例（1 16Ⅰ文T 20节选）在直角坐标系xOy中，直线l : y t(t 0) 交y轴与点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交 C于点H。 (1)证明：OH 为定值
ON
核心突破——形成解题思路
例（2 17ⅢT 20改编）已知抛物线C：y2 2x,过点(2,0)的直线l 与C交于A, B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. (2)证明：AOB为定值.
解法总结：从特殊位置入手，求出定值，再证明 这个值与变量无关.
与角度有关的问题，常常借助于向量、斜率来进 行处理。
应用模型——以不变应万变
三定值：把得到的函数化简，消去变量得到定 值。
核心突破——形成解题思路
考点二 角度定值问题
变式(17Ⅲ20节选)已知抛物线C : y2 2x,过点(2,0)的直线l 与C交于A, B两点，圆M是以线段AB为直线的圆， 证明：坐标原点O在圆M上.
核心突破——形成解题思路
考点二 角度定值问题
重难点
(1)解题思路的获取 (2)解题方法的选择 (3)数学工具的应用
感悟真题——明确考向 （18ⅠT19节选）设椭圆C : x2 y2 1的右焦点为F，
2 过F的直线l与C交于A, B两点，M (2,0).设O为坐标原点， 证明：OMA OMB.
（18ⅢT 20节选）已知斜率为k的直线l与椭圆C : x2 y2 1交于A, B两点， 43
考点一 线段长度、比值定值问题
（变式（) 16ⅠT 20节选）设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A，直线l过 点B(1,0),且与x轴不重合，l与圆A交于C, D两点，过点B作AC 的平行线交AD于点E， (1)求证：EA EB为定值.
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则 y1＋y2＝－m22＋m 4， y1y2＝－m23＋4， 直线 A1P 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 直线 A2Q 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 由yy＝＝xx12yy＋－12 22xx＋ －22， ，
得x1y＋1 2(x＋2)＝x2y－2 2(x－2)， 即 x＝2·yy22xx11＋ ＋22＋ －yy11xx22－ －22 ＝2·yy22mmyy11＋ ＋33＋ －yy11mmyy22－ －11 ＝2·2my13yy2＋2＋3yy12－y1 ＝2·2m·m－23＋·3m4－＋2＋23m4m－ －2＋2y1m4＋－yy11－y1 ＝4。 所以当 m 变化时，点 S 恒在定直线 x＝4 上。
所以△AOB 的面积为定值 1。
综上，△AOB 的面积为定值 1。
类型五 数量积为定值 【例 5】 已知圆 C：x2＋(y－3)2＝4，一条动直线 l 过点 A(－1,0)与圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 的中点，l 与直线 m：x＋3y＋6＝0 相交于 N，探索A→M·A→N是否与直线 l 的 倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
所以a42＋b12＝1，ac＝ 23。 又因为 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8，b2＝2， 所以椭圆 C 的方程为x82＋y22＝1。 设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，直线 PA 的斜率 kPA＝xy11－－21，直线 QA 的斜率 kQA＝xy22－－21。 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x＝2 对称。
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提分攻略十 解析几何中的7种定值问题
例谈解析几何中的定值问题
㊀㊀㊀例谈解析几何中的定值问题◉福建省莆田第六中学㊀苏雪晶㊀㊀摘要:定值问题是解析几何中的常见问题,因其涉及的题型多,灵活性强,对运算能力要求高,所以为了促进学生的深度学习,本文中选例做到活而不空㊁深而不偏,以研究定值问题常见题型的解题策略．关键词:定值;定点;深度学习;解题１引言定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型．本研究重点探究定值问题中如何转化,优化运算,提高解题效率等问题．定值问题一般涉及与曲线上的动点㊁线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长㊁面积㊁横(纵)坐标㊁长度比值,掌握了定值求值规律和技巧,会更好地解决这一类问题,做到由此及彼㊁触类旁通．２定值问题题型分析解题过程中,要总结解题方法,理解解题策略,通过有效的方法来分析,达到掌握通性通法,面对相关问题都可以轻松应对．在解题时要引入核心变量,将所求表达式用核心变量表示,通过推理㊁计算,消去变量,从而得到定值．定值的确定是解题的根本,也是解题的最终目标．当然实践是检验真理的唯一标准,我们要深入掌握这类题型的解题方法,必须勤加练习,积累解题经验,优化解题过程,不断调整解题策略,下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀．２．１题型一:斜率定值问题例１㊀已知抛物线C:y２＝a x(a＞０)上一点P t,１２æèçöø÷到焦点F的距离为２t．(１)求抛物线C的方程;(２)抛物线C上一点A的纵坐标为１,过点Q(３,－１)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,A N的斜率分别为k１,k２,求证:k１k２为定值．解析:(１)抛物线C的方程为y２＝x．(过程略)(２)因为点A在抛物线C上,且纵坐标y A＝１,所以A(１,１)．设过点Q(３,－１)的直线方程为x－３＝m(y＋１),即x＝m y＋m＋３．①式①代入y２＝x,得y２－m y－m－３＝０．设M(x１,y１),N(x２,y２),由韦达定理得y１＋y２＝m,y１y２＝－m－３．所以k１k２＝y１－１x１－１y２－１x２－１＝y１y２－(y１＋y２)＋１m２y１y２＋m(m＋２)(y１＋y２)＋(m＋２)２＝－１２．因此,k１k２为定值．反思:解答时要明确解答的思路,这点并不困难,难点在于联立方程后结合条件化简运算．在解题时,不仅要明确题目中的已知数据和要求,还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算,提高计算能力,掌握计算技巧．２．２题型二:面积定值问题例２㊀已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,O为坐标原点．(１)求双曲线C的方程;(２)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,证明:әO MN的面积为定值,并求出该定值．解析:(１)由双曲线C的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,得c＝３,ba＝２２,a２＋b２＝c２,ìîíïïïï解得a２＝１,b２＝８．{因此,双曲线C的方程为x２－y２８＝１．(２)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在且不为０．设直线l的方程为y＝k x＋m,因为双曲线两条渐近线倾斜角的正切值分别为２２,－２２,所以kʂʃ２２．直线l与x轴正半轴相交于一点D,则mʂ０．由y＝k x＋m,x２－y２８＝１{消去y,得６５复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀(８－k ２)x ２－２k m x －m ２－８＝０．由直线与双曲线右支相切得,Δ＝４k ２m ２－４(８－k ２)(－m ２－８)＝０,即８－k ２＝－m ２．由于直线l 与x 轴正半轴交于一点D ,令y ＝０,代入直线l 的方程得x ＝－m k ,即|O D |＝－mk．所以S әM O N ＝S әM O D ＋S әN O D ＝１２|O D | |y M －y N |＝－m２k|k | |x M －x N |．双曲线两条渐近线方程为y ＝ʃ２２x ,联立y ＝２２x ,y ＝k x ＋m ,{可得M m ２２－k ,２２m ２２－k æèçöø÷．同理,易得N －m ２２＋k ,２２m ２２＋k æèçöø÷．S әM O N ＝－m２k |k | m ２２－k ＋m ２２＋k＝１２|－m | ４２m ８－k ２＝－２２m ２８－k２＝２２．故әO MN 的面积为定值２２．反思:本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题．解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式．本题需要选择表示三角形面积的最佳路径,从而将面积转化为坐标关系继而解答,化简整理时,运算比较繁杂,要十分细心．２．３题型三:相关比值定值问题例３㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的离心率是１２,A ,B 分别为椭圆C 的左㊁右顶点,F 是右焦点,过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,当直线l 垂直于x 轴时,四边形A P B Q 面积是６．(１)求椭圆C 的方程;(２)若直线l 的斜率为k (k ʂ０),线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M ,求证:|M F ||P Q |为定值．解析:(１)由x ２a ２＋y ２b２＝１,令x ＝c ,得y ＝ʃb ２a ,所以,当l 垂直x 轴时,|P Q |＝２b２a．于是S 四边形A P B Q ＝１２|A B | |P Q |＝１２ˑ２a ˑ２b ２a＝２b ２＝６,得b ２＝３．又因为e ＝c a ＝１２,a ２＝b ２＋c２,所以a ２＝４．所以,椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１．(２)证明:由题意可知,F (１,０),直线l 的方程为y ＝k (x －１)．由x ２４＋y ２３＝１,y ＝k (x －１){消去y ,得(４k ２＋３)x ２－８k ２x ＋４k ２－１２＝０．设P (x １,y １),Q (x ２,y ２),则x １＋x ２＝８k ２４k ２＋３,x １x ２＝４k ２－１２４k ２＋３,y １＋y ２＝k (x １＋x ２)－２k ＝－６k４k ２＋３．设P Q 的中点为N ,则N ４k ２４k ２＋３,－３k ４k ２＋３æèçöø÷．于是直线MN 的方程为y ＋３k ４k ２＋３＝－１k x －４k ２４k ２＋３æèçöø÷．令y ＝０,得M k ２４k ２＋３,０æèçöø÷．所以|M F |＝３(k ２＋１)４k ２＋３．又|P Q |＝１＋k ２ (x １＋x ２)２－４x １x ２＝１＋k ２８k ２４k ２＋３æèçöø÷２－４(４k ２－１２)４k ２＋３＝１２(k ２＋１)４k ２＋３．所以|M F ||P Q |＝１４为定值．反思:解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想．认真审题,分析解题用到的数学思想方法,学会借助韦达定理来表示每一条线段长．当解题思路明晰时,会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值．分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息,判断不同数据之间的逻辑关系,在推理中把握联系,形成客观性认识,明确思路,快速解题．３总结以上几种思维策略是高中数学中常用方法,对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为０)或者对称关系求出定值,进而给后面一般情形指明方向;运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入,设而不求,简化运算．要想在高考中运用自如,需要在平常的解题过程中多加实践,不断理清思路,积累经验,提升逻辑思维能力和运算能力,最终达到对此类题型熟能生巧㊁胸有成竹．７５２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解析几何中的定点定值问题
my 2 4x
a
y2
4my
4a
0
16m2 16a 0
y1 y1
y2
y2
4m 4a
k1k2
1
y1 2 x1 1
y2 x2
2 1
1
4 y1 2
4 y2 2
1
y1y2 2( y1 y2 ) 12 0
4a 8m 12 0 a 2m 3
EF : x my 2m 3过定点(3,2)
B
AB:
y
2 px y1 y2
4 p2 y02 y1 y2
y0
y
y0
2 px 4 p2 2 px0 y1 y2
2 p(x 2 p x0 ) y1 y2
AB过定点(x0 2 p, y0 )
思路2：设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
A
P
k1k2=-1统一字母
O
代直线AB方程(1字母）
(二)椭圆类
例3、椭圆 x2 y2 1
4
（1）以左顶点 A 为直角顶点的 RtAMN 的顶点都在
椭圆上，则斜边 MN 过定点
M
A N
思路1：特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母) M 猜测得定点坐标再证明 A
N
解析：A(2,0), 取AM : y x 2
解析：小题猜测：极端性，当 PA水平时 A
此时 A 在无穷远处，B(x0 , y0 ) ，直线 AB : y y0 所以定点纵坐标为 y0
P
当 AB 竖直时，设为 x t ，
O
代入抛物线方程，A(t, 2pt ),B(t, 2pt )
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
解析几何中的定值问题分类解析
且 ｐ （ 一１ ） ［ （ ２＋ ） （ 一１ ） ＋４＋２ √ ２ ｋ ］＝
０＇ ． ． ． ＝ 一 啪 ： 一
点， 过点 Ｐ作实轴的平行线交两渐近线于
Ｑ、 Ｒ 两点 ， 试证 明 Ｉ Ｐ Ｑ １ ．Ｉ Ｐ Ｒ Ｉ 为定 值 ．
证 明 ： 设Ｐ （ Ｘ ０ ， ｙ ｏ ） 是 双 曲 线 一 号＝
河北理 科教 学研 究
问题 讨论
曲线 Ｃ的两个 焦点 ， 直 线 ： ４是 双 曲线 Ｃ
例４ （ ２ ０ ０ ５年 高考 全 国卷 工）已知 椭
圆的中心 为坐 标 原 点 ０， 焦点 在 轴 上 ， 斜
的右准线 ， ， 是双 曲线 Ｃ 的两 个 顶点 ， 点 Ｐ是 双 曲线 Ｃ的右支 上异 于 Ａ 的一个动 点， 直线 。 Ｐ， Ａ Ｐ交 双 曲线 Ｃ的右 准 线分 别于 Ｍ、 Ｎ两点 ， （ １ ） 求 双 曲线 Ｃ的方 程 ； （ ２ ）
Ｂ（ ｚ ， ， ， ｚ ） ． 贝 ０
２ ２ ２ ，２
，
＋ｘ ２＝
— — — — — — — — — —＋
— ，
：＝
１＋
Ａｌ Ｐ＝ （ ０＋２ ， Ｙ ０ ） ， Ａ ２ Ｐ＝ （ ０—２ ， Ｙ ０ ） ，
：
由Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ＝ （ １＋
０ ＋ Ｄ
（
） ，
＝（ 一 ２
．
・
Ｙ ｚ ） 与 ０＝ （ ３ ， 一１ ） 共 线得 ３ （ Ｙ ＋Ｙ ） ＋（
２ 弦 的斜 率 的定值 问题 例２ 已知射 线 Ｙ ＝ （ ≥Ｏ ） 交椭
云
’ 一 ｃ — —
，
一 — — — 一
＝ ＝
高考解析几何中的定点定值问题
一、解析几何中的定点问题
解析几何中定点问题的两种解法:
(1)引进参数法：引进动点坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A,B, 且OA⊥OB,则直线AB过定点为______. A
k 2 y k(x 2 p) y 0
AB过定点(2 p,0)
例 2.椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过 点 P1，32且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不
是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点， 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
y1
y2
2 pa
0
a
0
OA OB x1x2 y1y2 0 (my1 a)(my1 a) By1y2 0
(m2 1)(2 pa) am(2 pm) a2 0 a 2 p
AB : x my 2 p过定点(2 p,0)
思路2：设直线OA，OB
A
代入抛物线解得A,B点 O
B
得直线AB方程
O B
思路1：设直线AB方程 代入抛物线得关键方程 OA⊥OB 得定点
法1：设AB : x my a( AB水平显然不适合）A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
x y
my a 2 2 px
y2
2
pmy
2
pa
ห้องสมุดไป่ตู้
0
高考数学解析几何中的定点定值定线问题
◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。
（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。
解析几何复习专题六 定点定值问题
专题六 定点、定值问题知识点一、直线和曲线过定点直线或曲线方程中一定含有参数，既然过定点，那么这个方程就要对参数取任意值均成立。
所以把方程一端化为0，分离参数，化成λλ(,0),(),(=+y x g y x f 为参数）⎩⎨⎧==⇒0),(0),(y x g y x f ，解这个方程组，这个方程组的解所确定点就是直线或曲线所经过的定点。
注意：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手确定定点（定直线）然后证明即先猜后证；（2）遇到含有参数方程时，清楚方程为哪一类曲线（直线），从而观察曲线是否过定点，尤其含参方法（1（2例13。
（1线MA例2（145=，例3、椭圆方程为：13422=+y x ，其短轴端点为M 、N ，直线l 过点P （0，1）交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的纵坐标为定值。
练习1、椭圆方程为：13422=+y x ，其长轴端点为M 、N ，直线l 过右焦点交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的轨迹为定直线.1:1-y x l （1例4（1）点P （2）点2倍，例5、椭圆方程为：13422=+y x ，过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，证明：过AB 和CD 中点的直线过定点。
归纳：椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ， ①过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点)0,(222ba c a +。
②过点M （)0,m 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点,m (222b a a +例6，证明：直线AB例7m 交例8,,21k k （1）求证：4121-=⋅k k ；（2）试探求⊿OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由。
解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)
专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。
例谈解析几何中定点和定值问题的解法
众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题。
求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
例题1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
（1） 求椭圆的离心率；（2） 设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值。
例题2 已知，椭圆C过点A（1，3），两个焦点为（-1,0），（1,0）2（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
同步练习：1. 已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若'F 为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足'||||MF e MF =，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2,0）为定点。
（1）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；（2）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y 轴的两个交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。
解析几何中定点定值问题
O
2
2
Q
A
x
Q'
y
P' M
P
O
Q
A
x
Q'
由题意， P(－a,0),Q(a,0),设 M(x0,y0),直线 PM、 MQ y0 y0 y02 的斜率分别为 k1，k2,k1k2= . = 2 2,（*） x0+a x0－a x0 －a x0 y0 x0 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝1,∴y0 =b (1－ 2 ),代入（*）化简得: a b a b k1k2=－ 2． a
策略二
设直线PM和MQ方程
（斜率k1， k2）
求点P′、Q′坐标
写出圆C方程
寻找定点
解：设直线 PM、MQ 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝－1， 直线 PM 的方程为 y＝k1(x＋1)，令 x＝3，则点 P′(3，4k1)， 直线 MQ 的方程为 y＝k2(x－1)，令 x＝3，则点 Q′(3，2k2)， 以 P′Q′为直径的圆的方程为: (x－3)(x－3)＋(y－4k1)(y－2k2)＝0， 1 即(x－3) ＋y －8－2(2k1－ )y＝0. k2
2 2
令 y＝0， 得 x＝3± 2 2， 所以圆 C 经过定点，定点坐标为(3± 2 2，0).
探究一
4t 2t 解法一：P′(3， ),Q′(3， ), s＋ 1 s－ 1 解法二：P′(3，4k1)，Q′(3，2k2).
4t 2t 8t2 y1 y2= = 2 =－8. s＋ 1 s－ 1 s － 1
题意分析
（1）“动因”是什么？ （2）“恒成立”的式 子是什么？ （3）如何寻找定点？
制定策略
设点M坐标
写出直线PM和MQ方程
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题
在几何中，定值问题的概念可以说是比较复杂的，即让学生得出正确的结果，必须要综合运用几何中的相关规则，同时考虑到当前就件事物的特殊因素，就是找到合适的方法来应对定值问题。
通常情况下，定值问题应用程序能够帮助学生们更好地理解几何要素，例如形状、大小、位置、形状变换，以及复杂变化中相互联系的因素之间的关系。
比如：三角形中角度的和是180°，一个正三角形的边长之和两倍角的内锥角的余弦。
此外，如果学生了解几何概念的相关例子，他们可以学习到如何应用它们来解决定值问题。
此外，高级学生可以使用形式化几何学方法来解决定值问题，比如用符号表示变量和方程组，利用形式推理证明定值问题的结论，以及计算和联系多个变量的结果的方法。
总的来说，解决定值问题取决于学生的专业能力，只有具备了相应的几何知识和技巧，才有可能在学习定值问题的过程中取得成功。
当然，学生在尝试解决定值问题时，也可以借助一些常用解决方法，如试探法和排除法等。
此外，学生可以通过分析几何规定，应用化简、变换和复合算法等解决定值问题。
因此，几何定值问题不仅需要学生具备几何知识，而且还需要有一定的创新能力，以帮助学生在运用固定的解决方案之外，能够尝试发挥独特的想象力，实现几何知识的拓展与应用，实现几何定值问题的极致解决。
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题定值问题是解析几何常见题型，是备受关注的焦点之一，它体现了动与静的完美统一，其内容丰富，综合性较强，因而趣味性也较强。
下举例谈谈这类问题的常见类型及求解策略。
一、弦长比值型 例 1：双曲线222222b a y a x b =-的离心率为 e （e>0），PQ 为过焦点 F 而不垂直于 F 所在的对称轴的弦，且 PQ 的中垂线交 x 轴于 R ，求证：||||FR PQ 为定值。
证明:设F （－c ，0）为双曲线方程的一个焦点，弦 PQ 过 F 且中点为 M ，设 P ，Q 两点坐标分别为),(),,(2211y x y x PQ 所在直线方程为 y=k(x+c)。
联立方程222222ba ya xb =-及y=k(x+c)消去y 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=+⇒=----222222222122222212222222222222022)(k a b b a c k a x x k a b ck a x x ba c k a cx k a x k ab ,从而弦PQ 的中点M 的坐标为),(222222222ka b kc b ka b c k a --,直线MR 的方程为:222322222222220)(1ka b ck x ，y ka b c k a x kka b kc b y R -==---=--得，令。
故||)1(2||1||,||)1(||||222222122222222232ka b k ak x x kPQ k a b k c k c ka b ck FR -+=-+=-+=+-=因此ec a k c k k a k FR PQ 22)1()1(2||||2222==++=。
即证：||||FR PQ 为定值e2点评：一般地，圆锥曲线的离心率为 e （e>0），PQ 为过焦点 F 而不垂直于 F 所在的对称轴的弦，且 PQ 的中垂线交 x 轴于 R ，则必有eFR PQ 2||||=。
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1、已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，和到直线5
8
y =-
距离相等的点的轨迹. l 是过点(10)Q -，
的直线，M 是C 上(不在l 上)的动点;A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C 的方程； (Ⅱ）求出直线l 的方程,使得
2
QB
QA
为常数．
（Ⅰ)解:设()N x y ，为C 上的点,则
||NP =
N 到直线5
8
y =-的距离为58y +.
58y =+.
化简,得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =
+. (Ⅱ)设22x x M x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，,直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而
||1|QB x +．
过Q (1
0)-，垂直于l 的直线11
:(1)l y x k
=-+. 因为||||QA MH =，所以2
||1
QA k
=
+，
2||1
2||QB x QA x
k
+=+.
当2k =时,
2
||||
QB QA =
从而所求直线l 方程为220x y -+=.
y
2=4y
２、设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨迹为曲线C ．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2)设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当M 运动时,弦长EG 是否为定值？为什么?
解：（１）依题意知,动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离,曲线C 是以
原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分
∵
12
p
= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2
4x y =………４分
(２)设圆的圆心为(,)M a b ,∵圆M 过A (0,2),
∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- 分 令0y =得：2
2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x
方法１：不妨设12
x x >,由求根公式得
1
x =2
x =…………………………１０分
∴12x x -=
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x
y =上，∴2
4a b =,
∴ 124x x -=，即EG ＝4－-－－-----－-－--－----－---－---－---－--－-----－---－－－-－-－---－－１３分
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=,1244x x b ⋅=- ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2
4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=
∴当M 运动时,弦长EG 为定值4〕
3、设12,F F 分别是椭圆C:22
221(0)x y a b
b +=>>的左右焦点
（1）设椭圆C 上的点到12,F F 两点距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐
标
（2)设Ｋ是（1)中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程 (3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M,N 两点,当直线PM ,PN
的斜率都存在,并记为,
PM PN k K 试探究
PM PN k K ⋅的值是否与点Ｐ及直线Ｌ有关，并证明
你的结论。
［解]：
(
１）由于点22
21b += ----－-1分 2a ＝4, ---－--2分
椭圆C 的方程为 22
143
x y +=－-－----－3分
焦点坐标分别为（－1，0) ，(1,0)－－---－--－－-4分
（２)设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +--－-－-－-6分
把Ｋ的坐标代入椭圆22
1
43x y +=中得22
(21)(2)1
43
x y ++=－-－--８分
线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2
21()132
4
y x ++=--－-----－-10分
(３）过原点的直线Ｌ与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称
设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----1１分
,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程,得2222
00222211x y x y a b a b
+=+=，------１2分
00
PM
PN
y y y y k K x x x x -+=
=-+--------－--－---－－--１3分 PM
PN k K ⋅=22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a
--－-----－---15分
故:PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关,同时与直线Ｌ无关,－－-－-１６分
4、已知抛物线D 的顶点是椭圆13
42
2=+y x 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. （1)求抛物线D 的方程;
(2)已知动直线l 过点()0,4P ,交抛物线D 于A 、B 两点．
()i 若直线l 的斜率为1,求AB 的长;
()ii 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存
在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.
解:(1）由题意，可设抛物线方程为()022
>=p px y ． …………1分
由1342
2=-=-b a ,得1=c . …………２分
∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . (3)
分
∴抛物线D 的方程为x y 42=． (4)
分
(2）设()11,y x A ,()22,y x B . …………５分
()i 直线l 的方程为:4-=x y ,
…………６分
联立⎩⎨⎧=-=x
y x y 442,整理得:016122
=+-x x …………７分
AB ∴=()212
2124[)11(x x x x -++104=．…………９分。