解析几何中的定值问题

1、已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，和到直线5

8

y =-

距离相等的点的轨迹. l 是过点(10)Q -，

的直线，M 是C 上(不在l 上)的动点;A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．

（Ⅰ）求曲线C 的方程； (Ⅱ）求出直线l 的方程,使得

2

QB

QA

为常数．

（Ⅰ)解:设()N x y ，为C 上的点,则

||NP =

N 到直线5

8

y =-的距离为58y +.

58y =+.

化简,得曲线C 的方程为2

1()2

y x x =

+. (Ⅱ)设22x x M x ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭，,直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而

||1|QB x +．

过Q (1

0)-，垂直于l 的直线11

:(1)l y x k

=-+. 因为||||QA MH =，所以2

||1

QA k

=

+，

2||1

2||QB x QA x

k

+=+.

当2k =时,

2

||||

QB QA =

从而所求直线l 方程为220x y -+=.

y

2=4y

２、设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨迹为曲线C ．

（1）求点P 的轨迹方程；

（2)设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当M 运动时,弦长EG 是否为定值？为什么?

解：（１）依题意知,动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离,曲线C 是以

原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分

∵

12

p

= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2

4x y =………４分

(２)设圆的圆心为(,)M a b ,∵圆M 过A (0,2),

∴圆的方程为 2

2

2

2

()()(2)x a y b a b -+-=+- 分 令0y =得：2

2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x

方法１：不妨设12

x x >,由求根公式得

1

x =2

x =…………………………１０分

∴12x x -=

又∵点(,)M a b 在抛物线2

4x

y =上，∴2

4a b =,

∴ 124x x -=，即EG ＝4－-－－-----－-－--－----－---－---－---－--－-----－---－－－-－-－---－－１３分

∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=,1244x x b ⋅=- ∴

22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2

4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=

∴当M 运动时,弦长EG 为定值4〕

3、设12,F F 分别是椭圆C:22

221(0)x y a b

b +=>>的左右焦点

（1）设椭圆C 上的点到12,F F 两点距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐

标

（2)设Ｋ是（1)中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程 (3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M,N 两点,当直线PM ,PN

的斜率都存在,并记为,

PM PN k K 试探究

PM PN k K ⋅的值是否与点Ｐ及直线Ｌ有关，并证明

你的结论。

［解]：

(

１）由于点22

21b += ----－-1分 2a ＝4, ---－--2分

椭圆C 的方程为 22

143

x y +=－-－----－3分

焦点坐标分别为（－1，0) ，(1,0)－－---－--－－-4分

（２)设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +--－-－-－-6分

把Ｋ的坐标代入椭圆22

1

43x y +=中得22

(21)(2)1

43

x y ++=－-－--８分

线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2

21()132

4

y x ++=--－-----－-10分

(３）过原点的直线Ｌ与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称

设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----1１分

,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程,得2222

00222211x y x y a b a b

+=+=，------１2分

00

PM

PN

y y y y k K x x x x -+=

=-+--------－--－---－－--１3分 PM

PN k K ⋅=22

00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a

--－-----－---15分

故:PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关,同时与直线Ｌ无关,－－-－-１６分