理论力学第五章1
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n
2、广义力
n个质点,i=1,2,…n, s个自由度, q1,q2,…,q , =1,2,…s n ri Q Fi 广义力 q i 1
xi yi zi 或, Q Fix q Fiy q Fiz q i 1
n
s n s r i ri δW Fi δq Fi δqa qa i 1 1 q 1 i 1 广义力 n s ri Q Fi δW Q δq q i 1 1
V xi V yi V zi Q x q y q z q i 1 i i i
n
1,2,..., s
V Q q
1,2,..., s
这就是有势系广义力的表达式.
§5-3 虚功原理
A
圆锥自转角由确定
s 4
O
B
x
例、长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上, 确定 其自由度. y B z 刚体, s=6. xA,yA,zA,,, 法 一 细杆, 无绕轴自转, A点被限制在平面上, s=4. 法 A,B两点确定,细杆位臵确定, O 二 s 6 x A , y A , z A , xB , y B , z B 2个约束方程:
第五章
牛顿力学的困难
分析力学
对复杂的约束系统，约束越多，约束力就越多，方程数随之增加， 使用牛顿力学的方法会显得繁杂累赘。 十八世纪，欧洲出现工业革命，结构复杂的机器的研制对牛顿力 学提出了新的挑战，正是在这种形势下，分析力学的奠基人拉格 朗日于1788年出版了《分析力学》一书，建立了拉格朗日方程， 首先有效地解决了牛顿力学存在的困难。 1834年，哈密顿成功地将数学的变分法运用到分析力学中，建 立了哈密顿原理，继而还建立了哈密顿正则方程。 分析力学是在牛顿力学的基础上发展起来的，但又有别于牛顿力 学，它是经典力学的一种新的理论体系，是经典力学理论发展的 最高阶段，也是近代物理发展的理论基础。
i 1,2,, n
i 1,2,...n
如果选择xA , y A , ,为广义坐标，
则坐标变换方程为
xA xA
yA yA zA 0 xB xA l sin cos yB y A l sin sin z l cos
非定常约束
y
m
OM为柔软不可伸长轻绳
x2 y 2 z 2 l 2 0
x vt
定常约束
2 2
单侧约束
2 2
y z l 0
单侧约束
完整约束
非定常约束
积分 yc 0 xc R 0
yc R x c R 0
z A 0 ( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 ( z A z B ) 2 l 2
A
x
s 62 4
四、广义坐标
1、广义坐标 在给定的约束条件下，能够完全确定力学系统位臵 的一组相互独立的变量称为系统的广义坐标. •在完整系中, 广义坐标的数目与自由度数目相等.
理想约束：
如：光滑面、光滑曲线、光滑铰链、 Ri δri 0
n i 1
刚性杆、不可伸长的绳
一、虚功原理
受有完整约束、理想约束、 定常约束的力学系统, 保持静平衡的充要条件是作用于该系统的全部主动 力的虚功之和为零. n Fi δri 0
i 1
在直角坐标系中, 上式写成
( F δx
i 1 ix
n
i
Fiy δyi Fiz δz i ) 0
分析力学的变分原理
微分变分原理：将力学系统在约束条件下的某状态附近
的可能运动状态和真实运动状态进行比较，用特定的方 法，将真实运动状态从可能运动状态中挑选出来。本章 的虚功原理属于微分变分原理。
积分变分原理： 在一定的时间间隔中，用变分学中求 泛函极值的方法，将系统的真实运动从一切可能运动中 挑选出来，本章的哈密顿原理属于积分变分原理。
则约束方程为 f ( xi , yi , zi , xi , yi , zi , t ) 0
（1）球面摆的约束，OM为刚性轻杆
设O点为直角坐标原点，则质 点m的坐标方程满足 2 2 2 2 x y z l 0
z
O
l
x
m
若O点不固定，在x方向有一恒 定速率v，t＝0时O点处于坐标原点， 则约束方程为
质点的虚位移位于质点所在位臵 的曲面的切平面上.
t1
对于非定常约束, 虚位移所满足的方程和实位移所 满足的方程是根本不同的.
定常约束中,实位移是所有虚位移中的一个.
二、虚功和广义力
1、虚功 定义：作用在质点上的 F与质点任一虚位移 r 的标积， 力 称为此力在虚位移 r 上的 虚功
本章重点：
虚位移和虚功 虚功原理
• 哈密顿原理
• 拉格朗日方程
• 哈密顿正则方程
§5-1 约束的分类 一、 约束方程
x
广义坐标
由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束.
O
y
限制：x 0
限制包括对位臵和对速度的限制.
设系统由n个质点组成, 以xi, yi, zi 表示第i个质点的坐标,
y
y2 z 2 l 2 0 若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸 长），则约束方程为 2 2 2 2 O点固定 x y z l 0
2
x vt
O点不固定 x vt 2 y 2 z 2 l 2 0
（2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为
只受完整约束的系统称为完整系
本教材只研究
OM为刚性轻杆
O点固定
z
2 2 2 2
x y z l 0
O
l
x
M
完整约束
O点不固定
x vt
2
y2 z 2 l 2 0
完整约束
OM为柔软不可伸长轻绳 O点固定 完整约束 O点不固定
y
x2 y 2 z 2 l 2 0
2、坐标变换方程 广义坐标与直角坐标的变换关系——坐标变换方程.
ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
或写成分量形式
xi xi (q1 , q 2 , , q s , t ) y i y i (q1 , q 2 , , q s , t ) z z (q , q , , q , t ) i 1 2 s i
m
x vt
2
y z l 0
2 2 2
完整约束
积分 yc 0 xc R 0
yc R x c R 0
完整约束
xc cot yc
dxc cotdyc
非完整约束
2. 定常约束(稳定约束)和非定常约束(非稳定约束) 约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束 约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束 3. 双侧约束(不可解约束)和单侧约束(可解约束) 若约束方程是等式, 这种约束就是双侧约束. 若约
2、虚位移 定义：质点在满足当时约束条件下一切可能的无限 小位移, 称为该时刻质点的虚位移. •“当时”，在某时刻讨论问题.即虚位移是在一确 定时刻发生的，是不需要时间的. •“一切可能”，虚位移包括一切可能的无限小位移, 故有多个甚至无穷多个 .
•“无限小”，虚位移是一级无穷小位移 . •虚位移通常用δr 表示, 在直角坐标系中 , δr δxi δyj δzk δx, δy, δz是δr 在坐标轴上的投影 称为坐标的变分 ,
yc 0 xc R 0
在一定初始条件下积分可得
yc R x c R 0
两组约束方程分别表明了地面对车轮的位臵和速 度的限制.
(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰 刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着 冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc, yc和转 角作为冰刀的位臵坐标, 则 冰刀的约束方程为
δW F δr
•虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系. •虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能. 在分析力学中, 通常将相互作用力分为主动力和约 束力. 因此就存在着主动力的虚功和约束力的虚功. 主动力的虚功:
设系统由n质点组成, 对于第i个质点, Fi 表示第i个质点 受到的主动力之和, ri 表示第i个质点的虚位移, 则系统 所有主动力的虚功之和为
完整约束 定常约束 双侧约束
xc cot yc
dxc cotdyc
非完整约束 定常约束
双侧约束
三、自由度
对于完整系, 确定系统位臵所需要的独立坐标的数目, 称为该系统的自由度, 用s表示. s3 一个自由质点 s 3N N个自由质点 质点被约束在平面上 s 3 1 2 约束方程数
B
广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的 广义速度, 写成 qa dqa dt
5.2
虚位移和虚功
分析力学——把约束条件下的各种可能运动进行 比较, 从中找出真实运动满足的条件.
一、虚位移
1、实位移 ＝位移
•满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件 •满足约束条件
•经过时间间隔dt才能有位移dr d •在dt内质点的真实位移 r 只有一个 • 真实位移可以是有限大 r ，也可以是无限小 r d
3、有势系下的广义力 主动力均为有势力的力学系统称为有势系. 体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的 负梯度 F V (i 1y xi z i yi 将Fix,Fiy,Fiz代入广义力的定义式中
束方程含有不等式, 就称为单侧约束.
4. 理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分)
OM为刚性轻杆
O点固定 x y z l 0
2 2 2 2
z
O
l
x
M
完整约束
O点不固定
定常约束
双侧约束
2 2 2
x vt
2
y z l 0
双侧约束
完整约束
O点固定 完整约束 O点不固定
质点被约束在直线上
推广：
s 3 2 1
s 3n k n个质点，受k个完整约束 n个质点，m个刚体，受k个完整约束 s 3n 6m k
s ? 是做任何一道题目的第 一步
例、一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触 点可以滑动）. y 解： A点的位臵由坐标(x,y)表示 对称轴方位可由接触 线AB与x轴夹角确定
•对于一个给定的系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
xA , y A , z A , zB xA , y A , xB , yB xA , y A , ,
? ?
不可以
可以 最佳
?
广义坐标一般用符号q表示, 如果系统有s个自由度, 就 需要s个广义坐标q1,q2,…,qs.也可缩写成q, =1,2,…,s.
δW Fi δri
n i 1
直角坐标的3n个坐标 不一定是独立的,而s个 广义坐标是独立的
ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
等时变分, t 0
ri δri δq 1 q
s
i 1,2,...,n
i 1,2,...,n
xc cot yc
由于cot与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分.
二、约束的分类
1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束） 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束. 如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对
时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之
转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束.
2、广义力
n个质点,i=1,2,…n, s个自由度, q1,q2,…,q , =1,2,…s n ri Q Fi 广义力 q i 1
xi yi zi 或, Q Fix q Fiy q Fiz q i 1
n
s n s r i ri δW Fi δq Fi δqa qa i 1 1 q 1 i 1 广义力 n s ri Q Fi δW Q δq q i 1 1
V xi V yi V zi Q x q y q z q i 1 i i i
n
1,2,..., s
V Q q
1,2,..., s
这就是有势系广义力的表达式.
§5-3 虚功原理
A
圆锥自转角由确定
s 4
O
B
x
例、长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上, 确定 其自由度. y B z 刚体, s=6. xA,yA,zA,,, 法 一 细杆, 无绕轴自转, A点被限制在平面上, s=4. 法 A,B两点确定,细杆位臵确定, O 二 s 6 x A , y A , z A , xB , y B , z B 2个约束方程:
第五章
牛顿力学的困难
分析力学
对复杂的约束系统，约束越多，约束力就越多，方程数随之增加， 使用牛顿力学的方法会显得繁杂累赘。 十八世纪，欧洲出现工业革命，结构复杂的机器的研制对牛顿力 学提出了新的挑战，正是在这种形势下，分析力学的奠基人拉格 朗日于1788年出版了《分析力学》一书，建立了拉格朗日方程， 首先有效地解决了牛顿力学存在的困难。 1834年，哈密顿成功地将数学的变分法运用到分析力学中，建 立了哈密顿原理，继而还建立了哈密顿正则方程。 分析力学是在牛顿力学的基础上发展起来的，但又有别于牛顿力 学，它是经典力学的一种新的理论体系，是经典力学理论发展的 最高阶段，也是近代物理发展的理论基础。
i 1,2,, n
i 1,2,...n
如果选择xA , y A , ,为广义坐标，
则坐标变换方程为
xA xA
yA yA zA 0 xB xA l sin cos yB y A l sin sin z l cos
非定常约束
y
m
OM为柔软不可伸长轻绳
x2 y 2 z 2 l 2 0
x vt
定常约束
2 2
单侧约束
2 2
y z l 0
单侧约束
完整约束
非定常约束
积分 yc 0 xc R 0
yc R x c R 0
z A 0 ( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 ( z A z B ) 2 l 2
A
x
s 62 4
四、广义坐标
1、广义坐标 在给定的约束条件下，能够完全确定力学系统位臵 的一组相互独立的变量称为系统的广义坐标. •在完整系中, 广义坐标的数目与自由度数目相等.
理想约束：
如：光滑面、光滑曲线、光滑铰链、 Ri δri 0
n i 1
刚性杆、不可伸长的绳
一、虚功原理
受有完整约束、理想约束、 定常约束的力学系统, 保持静平衡的充要条件是作用于该系统的全部主动 力的虚功之和为零. n Fi δri 0
i 1
在直角坐标系中, 上式写成
( F δx
i 1 ix
n
i
Fiy δyi Fiz δz i ) 0
分析力学的变分原理
微分变分原理：将力学系统在约束条件下的某状态附近
的可能运动状态和真实运动状态进行比较，用特定的方 法，将真实运动状态从可能运动状态中挑选出来。本章 的虚功原理属于微分变分原理。
积分变分原理： 在一定的时间间隔中，用变分学中求 泛函极值的方法，将系统的真实运动从一切可能运动中 挑选出来，本章的哈密顿原理属于积分变分原理。
则约束方程为 f ( xi , yi , zi , xi , yi , zi , t ) 0
（1）球面摆的约束，OM为刚性轻杆
设O点为直角坐标原点，则质 点m的坐标方程满足 2 2 2 2 x y z l 0
z
O
l
x
m
若O点不固定，在x方向有一恒 定速率v，t＝0时O点处于坐标原点， 则约束方程为
质点的虚位移位于质点所在位臵 的曲面的切平面上.
t1
对于非定常约束, 虚位移所满足的方程和实位移所 满足的方程是根本不同的.
定常约束中,实位移是所有虚位移中的一个.
二、虚功和广义力
1、虚功 定义：作用在质点上的 F与质点任一虚位移 r 的标积， 力 称为此力在虚位移 r 上的 虚功
本章重点：
虚位移和虚功 虚功原理
• 哈密顿原理
• 拉格朗日方程
• 哈密顿正则方程
§5-1 约束的分类 一、 约束方程
x
广义坐标
由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束.
O
y
限制：x 0
限制包括对位臵和对速度的限制.
设系统由n个质点组成, 以xi, yi, zi 表示第i个质点的坐标,
y
y2 z 2 l 2 0 若刚性轻杆换成柔软轻绳（绳长仍为l，不可伸 长），则约束方程为 2 2 2 2 O点固定 x y z l 0
2
x vt
O点不固定 x vt 2 y 2 z 2 l 2 0
（2）半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为
只受完整约束的系统称为完整系
本教材只研究
OM为刚性轻杆
O点固定
z
2 2 2 2
x y z l 0
O
l
x
M
完整约束
O点不固定
x vt
2
y2 z 2 l 2 0
完整约束
OM为柔软不可伸长轻绳 O点固定 完整约束 O点不固定
y
x2 y 2 z 2 l 2 0
2、坐标变换方程 广义坐标与直角坐标的变换关系——坐标变换方程.
ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
或写成分量形式
xi xi (q1 , q 2 , , q s , t ) y i y i (q1 , q 2 , , q s , t ) z z (q , q , , q , t ) i 1 2 s i
m
x vt
2
y z l 0
2 2 2
完整约束
积分 yc 0 xc R 0
yc R x c R 0
完整约束
xc cot yc
dxc cotdyc
非完整约束
2. 定常约束(稳定约束)和非定常约束(非稳定约束) 约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束 约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束 3. 双侧约束(不可解约束)和单侧约束(可解约束) 若约束方程是等式, 这种约束就是双侧约束. 若约
2、虚位移 定义：质点在满足当时约束条件下一切可能的无限 小位移, 称为该时刻质点的虚位移. •“当时”，在某时刻讨论问题.即虚位移是在一确 定时刻发生的，是不需要时间的. •“一切可能”，虚位移包括一切可能的无限小位移, 故有多个甚至无穷多个 .
•“无限小”，虚位移是一级无穷小位移 . •虚位移通常用δr 表示, 在直角坐标系中 , δr δxi δyj δzk δx, δy, δz是δr 在坐标轴上的投影 称为坐标的变分 ,
yc 0 xc R 0
在一定初始条件下积分可得
yc R x c R 0
两组约束方程分别表明了地面对车轮的位臵和速 度的限制.
(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰 刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着 冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc, yc和转 角作为冰刀的位臵坐标, 则 冰刀的约束方程为
δW F δr
•虚功有功的量纲，但没有能量转化过程与之联系. •虚位移的多种可能导致虚功也有多种可能. 在分析力学中, 通常将相互作用力分为主动力和约 束力. 因此就存在着主动力的虚功和约束力的虚功. 主动力的虚功:
设系统由n质点组成, 对于第i个质点, Fi 表示第i个质点 受到的主动力之和, ri 表示第i个质点的虚位移, 则系统 所有主动力的虚功之和为
完整约束 定常约束 双侧约束
xc cot yc
dxc cotdyc
非完整约束 定常约束
双侧约束
三、自由度
对于完整系, 确定系统位臵所需要的独立坐标的数目, 称为该系统的自由度, 用s表示. s3 一个自由质点 s 3N N个自由质点 质点被约束在平面上 s 3 1 2 约束方程数
B
广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的 广义速度, 写成 qa dqa dt
5.2
虚位移和虚功
分析力学——把约束条件下的各种可能运动进行 比较, 从中找出真实运动满足的条件.
一、虚位移
1、实位移 ＝位移
•满足动力学方程（牛顿第二定律）和初始条件 •满足约束条件
•经过时间间隔dt才能有位移dr d •在dt内质点的真实位移 r 只有一个 • 真实位移可以是有限大 r ，也可以是无限小 r d
3、有势系下的广义力 主动力均为有势力的力学系统称为有势系. 体系所有主动力都可表示成此势函数对相应坐标的 负梯度 F V (i 1y xi z i yi 将Fix,Fiy,Fiz代入广义力的定义式中
束方程含有不等式, 就称为单侧约束.
4. 理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分)
OM为刚性轻杆
O点固定 x y z l 0
2 2 2 2
z
O
l
x
M
完整约束
O点不固定
定常约束
双侧约束
2 2 2
x vt
2
y z l 0
双侧约束
完整约束
O点固定 完整约束 O点不固定
质点被约束在直线上
推广：
s 3 2 1
s 3n k n个质点，受k个完整约束 n个质点，m个刚体，受k个完整约束 s 3n 6m k
s ? 是做任何一道题目的第 一步
例、一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触 点可以滑动）. y 解： A点的位臵由坐标(x,y)表示 对称轴方位可由接触 线AB与x轴夹角确定
•对于一个给定的系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
xA , y A , z A , zB xA , y A , xB , yB xA , y A , ,
? ?
不可以
可以 最佳
?
广义坐标一般用符号q表示, 如果系统有s个自由度, 就 需要s个广义坐标q1,q2,…,qs.也可缩写成q, =1,2,…,s.
δW Fi δri
n i 1
直角坐标的3n个坐标 不一定是独立的,而s个 广义坐标是独立的
ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
等时变分, t 0
ri δri δq 1 q
s
i 1,2,...,n
i 1,2,...,n
xc cot yc
由于cot与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分.
二、约束的分类
1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束） 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束. 如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对
时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之
转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束.