五年级奥数学练习试卷思维培训资料 抽屉原理 提高班 教师版

第九讲 抽屉原理

1、 典型抽屉原理的巩固和提高。

2、

熟练掌握最不利原则的应用。

3、 学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。那么，这一讲我就来巩固学习抽屉原则以及它的典型应用。

抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。

抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

例：有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于

m+1。

例：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简

单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪

只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

分析：拿球配组的方式为抽屉，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9

种情况，即有9个抽屉，则：66÷9＝7……3，7＋1＝8，至少有8名同学所拿球的种类是一样的。

教学目标 知识说明

想

挑

战

吗

？ 体育用品的仓库里有许多足球，排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？

专题精讲

Ⅰ、抽屉原理的典型应用

解题思路：做抽屉问题关键是确定“抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：至少有一

个抽屉里有（商＋1）个苹果。

【例1】（★★）下面的题看看谁解释的最清楚：

（1）奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有367名1996年出生的同学，试说明：这些同学中至少有2名同学是在同一天出生的。

（2）某班32名同学是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？

（3）班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于3本书？

分析：（1）1996年是闰年，这一年应该有366天，学生数＞天数，把366天看作366个抽屉，将367名同学看作367个苹果。这样，把367个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果。因此至少有2名同学的是同一天出生。

（2）5月有31天，学生数＞天数，把31天看作31个抽屉，将32名同学看作32个苹果。这样，把32个苹果放进31个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果。因此至少有2名同学的是同一天出生。（3）反用抽屉原理，求“苹果”即要保证至少有一个小朋友能得到不少于3本书，最少拿：50×（3－1）＋1＝101（本），所以至少要拿101本书。

【例2】（★★★）证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？

分析：（1）把12种属相看作12个抽屉，28÷12＝2……4，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。

（2）要保证有至少4个人的属相相同，总人数最少为：3×12＋1＝37（人）

【拓展】在例题的基础上老师可以补充：要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？

分析：要保证有至少5个人的属相相同，总人数最少为：4×12＋1＝49（人），不能保证有6个人属相相同的最多人数为：5×12＝60（人），所以总人数应该在49人到60人的范围内。

Ⅱ、最不利原则

解题思路：有些题目中没有明显的“苹果”与“抽屉”，在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手，才能满足题目的要求。

【例3】（★★★）一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（1）至少有5张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃。

分析：一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌，共54张。

（1）为了“保证”5张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌.把四种花色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一抽屉，只需再摸出4×4+1＝17（张），也就是共摸出19张牌.即至少摸出19张牌，才能保证其中有5张牌的花色相同。

（2）因为每种花色有13张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了2张王牌和三种花色的所有牌共计13×3＋2=41（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。

（3）最坏的情形是先摸出了2张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计13×3＋2=41张，只剩红桃牌.这时只需再摸3张，就保证有3张牌是红桃了.即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。

【拓展】在例题的基础上老师可以补充：（1）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。（2）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张牌的数码（或字母）相同。

分析：（1）因为每种花色有13张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出2张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌共计：13×2＋2=28，然后是摸出所有的梅花和3张红桃（想想若摸出所有的红桃和2张梅花，是最坏的情况么？），共计：28＋13＋3=44张；（2）16

【前铺】一副扑克牌有54张，最少要抽取多少张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

分析：最“坏”的情况把大小王和点数为1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）的牌各取1张，在在这15张牌中没有两张牌的点数相同，这样如果在任取一张，它的点数必为1到13中的一个，所以最少要取16张牌方能使其中至少有2张牌有相同的点数。

【例4】（★★★）奥数网竞赛班选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校。”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？

分析：本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学学校都只有9同学参加，则人数最多为：（1123－10）÷9＝123……6，因此这个班最多有：123＋1＝124（人）（处理余数很关键，如果有125人则不能保证至少有10名同学来自同一个学校）。

【巩固】把125本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

分析：本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则人数最多为：（125－4）÷3＝40……1，因此这个班最多有：40＋1＝41（人）（处理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书）