(完整版)基本不等式均值定理练习题
高二数学均值定理试题答案及解析
高二数学均值定理试题答案及解析1.下列不等式正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴A正确；∵，∴B错误；【考点】基本不等式．2.若实数，满足，则的最小值是A．18B．6C．D．【答案】B【解析】因为，所以当且仅当时“＝”成立.故选B.【考点】1、基本不等式2、指数式的运算.3.已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为【答案】【解析】因为∠F1PF2＝90°，所以,因为，且，可解的。
因为，整理的，即，所以【考点】椭圆的概念和离心率问题，基本不等式4.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．5.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.6.设的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】本题主要考查的是均值不等式。
由条件可知，所以。
又，所以，。
应选D。
7.设、、都是正实数，则，，这三个数（）A．都不小于2B．都不大于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略8.设为正实数，求证：【答案】证明：因为为正实数,由平均不等式可得,即．所以而所以【解析】略9.设x,y∈R，a＞1，b＞1，若ax="by=3," a+b=2，则的最大值A．2B．C．1D．【答案】C【解析】略10.已知且,则的最小值为【答案】9【解析】略11.（本小题满分12分）已知、，且。
求证：。
【答案】略【解析】解法一：欲证原不等式成立，只要证：，即证：，由知………………………（4分）只要证：只要证：即证：……………………………………………………（8分）即证：即证：上式显然成立，故原不等式成立。
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
基本不等式均值定理练习题(可编辑修改word版)
b 3 3 3 3 3 基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1. 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为( ) ①ab≤1;② + ≤ 2; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ 1 + 1 ≥ 2. a b(A)1 (B)2(C)3 (D)4 2. 已知m = a + 1 （a > 2）, n = 2b 2 a - 2 b ≠ 0）, 则 m 、n 之间的大小关系是( )(A)m>n(B)m<n (C)m=n (D)不确定 3. 设m = 1 log x, n = log 1+ x , p = log 2x , 其中 0＜a ＜1,x ＞0 且 x≠1,则下列结论正确的是( ) 2 a a 2 a 1+ x （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m 4. 已知不等式（x + y)( 1 + a ) ≥ 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) x y (A)8 (B)6 (C)4(D)2 5. 设 a>0,b>0,若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 1 + 1 的最小值为()a b (A)8(B)4 (C)1 (D)146. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 - 2 3，则 2a+b+c 的最小值为() (A ) -1(B ) +1(C ) 2 + 2 (D ) 2 - 2 7. 设 x>y>z,n∈N *,且1 + 1 ≥ n 恒成立，则 n 的最大值是( ) x - y y - z x - z(A)2(B)3 (C)4 (D)5 二、填空题1. 在 4×+9×=60 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和. 2. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 .3. 若对任意 x>0, a ≥ x x 2 + 3x +1恒成立，则 a 的取值范围是 . 4. 函数 y=log a (x+3)-1(a ＞0 且 a≠1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn ＞0，则 1 + 2 的最小值为.m n 5. 若实数满足a + b = 2 ，则3a + 3b 的最小值是 .a2 三、解答题 1. 若log 4 x + log 4 y = 2 ，求 1 + 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y2. 若 x , y ∈ R + 且2x + y = 1，求 1 + 1 的最小值x yy 2 3. 已知 x ，y 为正实数，且 x 2＋＝1，求 x 2 1＋y 2的最大值.4. 已知 a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求 a ＋b 的最小值。
均值不等式知识点讲解及习题
第三节：基本不等式1、基本不等式：（1）如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等三个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练）例2、（跟踪训练）例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值例4、若正数a,b满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。
（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。
例5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0, 则的最小值为_________.（跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆的周长，则的最小值为_________.例6、已知a、b都是正实数，且满足求4a+b的最小值（跟踪训练）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值（利用均值不等式判断不等式的成立）例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )。
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
一、选择题
1 在下列各函数中， 最小值等于 2 的函数是 ( )
1 A ． y＝ x＋ x
1
π
B． y＝ cosx＋ cosx 0<x<2
x2＋ 3 C． y＝ x2＋ 2
D ． y＝ex＋ e4x－ 2
2 已知 x>0， y>0， 且 2x ＋ 1y＝ 1， 若 x＋ 2y>m2＋ 2m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是 (
)
1
A. 2
B．1
C．2
D． 3
二、填空题
11 已知 b>0， 直线 b2x＋ y＋ 1＝ 0 与 ax－ (b2＋4)y＋ 2＝ 0 互相垂直， 则 ab 的最小值为
________ ．
14 设 M 是△ ABC 内一点，
且
→ AB
→ ·AC
＝
2
3， ∠ BAC＝ 30°， 定义 f(M )＝ (m，
)
A ． m≥ 4 或 m≤－ 2 B ．m≥ 2 或 m≤－ 4 C．－ 2<m<4 D ．－ 4<m<2
1 (理 )已知正项等比数列 { an} 满足： a7 ＝ a6＋ 2a5， 若存在两项 am， an 使得 aman＝ 4a1， 则m
＋4n的最小值为 (
)A. 3 2
B.5 3
C.25 6
9 已知全集 R ， 集合 E＝ { x|b<x< 2 } ， F ＝ { x| ab<x<a} ， M ＝ { x|b<x≤ ab} ， 若 a>b>0， 则集合 M 等于 ( )A ． E∩ F B ．E∪ F C． E∩ (?RF) D．( ?RE)∩ F
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
完整版均值不等式练习题.docx
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值（3）已知2>x ，求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ，求xx y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是2-6. 12,33y x x x =+>-7.12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1）已知210<<x ，求()x x y 2121-=的最大值（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值变式训练： 1.已知310<<x ，求函数()x x y 31-=的最大值 2.当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4.已知01x <<，求函数y =.；5.203x <<，求函数y =6.若21x y +=，则24xy+的最小值是______7.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练：1.231,(0)x x y x x ++=>2.设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4. 2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
均值不等式讲解及习题(供参考)
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学平均值不等式练习题含答案
高中数学平均值不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a>0，若y=3a2+a+9a3，则下列说法正确的序号是（）①y有最小值9√3；②y有最小值9；③y有最大值9．A.①B.②C.③D.以上都不正确2. 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A.18B.6C.2√3D.2√343. 若n>0，则n+32n2的最小值为（）A.2B.4C.6D.84. 已知x，y∈R+，且满足x2y=32，则x+y的最小值为（）A.1B.2C.6D.45. “a>b>0”是“ab<a2+b22”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=5x+20x2(x>0)的最小值为（）A.10B.15C.20D.257. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（）A.√39B.√33C.1D.√38. 在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+2b2=3c2，a=6sin A，则c的最大值为( )A.2√7B.√7C.3D.49. 定义函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．已知f(x)=lg x，x∈[10, 100]，则函数f(x)=lg x在x∈[10, 100]上的均值为（）．A.3 2B.34C.710D.1010. 设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则1a +1b+1c的最小值为（）A.9B.12C.6+2√2D.6+4√211. 已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得√f(x1)⋅f(x2)=M成立，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M．已知函数g(x)= 3x+1(x∈[0, 1])，则g(x)在区间[0, 1]上的几何平均数为________．12. 若a>−2，则a+16a+2的最小值为________.13. 设x>0，则函数y=2x+1x2+3的最小值是________．14. A（不等式选做题）若x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y的取值范围是________．B（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于________．C（坐标系与参数方程选做题）曲线{x=2+cosθy=−1+sinθ（θ为参数）上一点P，过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L，则点P到直线L距离的最小值为________．15. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为________．16. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点（a, f(a)），（b, −f(b)）的直线与x轴的交点为(c, 0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a, b)，例如，当f(x)=1(x>0)时，可得M f(a, b)=c=a+b2，即M f(a, b)为a，b的算术平均数．（1）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数；（2）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）17. 若x2+y2=2，设z=1x2+2yx，则z的最小值为________．18. 函数f(x)=3x+12x2(x>0)的最小值为________．19. 已知实数a1，a2，a3不全为零，(I)则a1a2+2a2a3a12+a22+a32的最大值为________；(II)设正数x，y满足x+y=2，令xa1a2+ya2a3a12+a22+a32的最大值为M，则M的最小值为________．20. 设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为________．21. 求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9．22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2c−ba =cos Bcos A.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求b+c的最大值．23. 若a>0，b>0，且1a +1b=√ab．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．24. 设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+1abc≥2√3．25. （1）已知矩阵M =[2a21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)(I)求实数a 的值；(II)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 25.（2）在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2+y 2−8x cos θ−6y sin θ+7cos 2θ+8=0(a ∈R)的圆心为P(x 0, y 0)，求2x 0−y 0的取值范围． 25.（3）已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0． ①求证：a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214；②求实数m 的取值范围．26. 已知函数f (x )=|x −1|+|x +3|． (1)解不等式：f (x )≤6；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c =f (x )min ，证明：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．28. 设a >0，b >0，已知函数f(x)=ax+b x+1．(Ⅰ)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当x >0时，称f(x)为a 、b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(√ba )，f(ba )是否成等比数列，并证明f(ba )≤f(√ba )； (ii)a 、b 的几何平均数记为G ．称2ab a+b为a 、b 的调和平均数，记为H ．若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．29. 已知x >0，y >0，z >0，且xyz =1，求证：x 3+y 3+z 3≥xy +yz +xz ．30. 已知关于x 的不等式|x −m|+2x ≤0的解集为(−∞,−1]，其中m >0． (1)求m 的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=m，求证：b2a +c2b+a2c≥1．31. 已知P为单位圆上一动点，A(0, 2)，B(0, −1)，求|AP|×|BP|2的最大值．32. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B=b sin B+C2.(1)求A；(2)若b+c=2，求a取最小值时△ABC的面积S.33. 已知a，b∈R，且a>b，求证：2a+1a2−2ab+b2≥2b+3．34. 已知a，b，c均为正数，且满足√a2b2c23+ab+bc+ca=4.证明：(1)ab+bc+ca≥3；(2)a+b+c≥3．35. 已知函数f(x)=m−|x+2|，m∈R，且f(x−2)≥0的解集为[−3, 3].(1)求m的值；(2)若a，b，c都是正实数，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3.36. 已知函数f(x)=|2x−2|+|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)若函数y=f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2(m>0)的最小值.37. 选修4−5：不等式选讲．若a，b，c均为正数，且a+b+c=6，√2a+√2b+1+√2c+3≤|x−2|+|x−m|对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．38. 写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）39. 选做题：不等式选讲．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a+b2−√aba+b+c3−√abc3≤32，并指出等号成立的条件．40. （1）选修4−4：坐标系与参数方程已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．(I)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 40.（2）选修4−5：不等式选讲，设x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值．参考答案与试题解析高中数学平均值不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】根据函数的特点结合基本不等式进行判断即可．【解答】解：当a=1时，y=3+1+9=13，故；①y有最小值9√3错误．③y有最大值9错误．当a>0，若y=3a2+a+9a3≥3√3a2⋅a⋅9a33=3⋅√273=3×3=9，当且仅当3a2=a=9a3时取等号，此时方程无解，即y=3a2+a+9a3>9，故②y有最小值9，错误，故选：D．2.【答案】B【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】3a+3b≥2√3a⋅3b=2√3a+b=6，当且仅当a=b=1时取等号．故3a+3b的最小值是6；点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件．3.【答案】C【考点】平均值不等式【解析】利用题设中的等式，把n+32n2的表达式转化成n2+n2+32n2后，利用平均值不等式求得最小值．【解答】解：∵n+32n =n2+n2+32n∴n+32n2=n2+n2+32n2≥3√n2×n2×32n23=6（当且仅当n=4时等号成立）故选C【答案】 C【考点】 平均值不等式 【解析】由x 2y =32，可得y =32x 2，又x ，y ∈R +，利用均值不等式可得x +y =x +32x 2=x2+x2+32x 2≥3√x 2⋅x 2⋅32x 23即可得出． 【解答】解：∵ x 2y =32，∴ y =32x 2， 又∵ x ，y ∈R +，∴ x +y =x +32x =x 2+x 2+32x ≥3√x 2⋅x 2⋅32x 3=6，当且仅当x =2√23时取等号．∴ x +y 的最小值为6． 故选C ． 5. 【答案】 A【考点】 平均值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】a 2+b 2≥2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数．均值不等式满足a+b 2≥√ab,(a >0,b >0)．点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件． 6.【答案】 B【考点】 平均值不等式 【解析】 函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2，利用基本不等式可得结论．【解答】解：函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2≥3√2.5x ⋅2.5x ⋅20x 23=15， 当且仅当2.5x =20x 2，即x =2时，函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为15． 故选：B ． 7. 【答案】【考点】 平均值不等式 【解析】 由题意可得13=ab+bc+ca3≥√(abc)23(abc)2≤127，由此求得abc 的最大值．【解答】解：∵ a ，b ，c 是正实数， 且ab +bc +ac =1， ∴ 13=ab+bc+ca3≥√(abc)23，∴ (abc)2≤127， ∴ abc ≤√39， 即 abc 的最大值为 √39， 故选A ．8. 【答案】 A 【考点】 余弦定理 正弦定理 平均值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a 2+2b 2=3c 2，又c 2=a 2+b 2−2ab cos C ，∴ a 2+b 2−2ab cos C =13a 2+23b 2，即2ab cos C =23a 2+13b 2≥2√23ab ，∴ cos C ≥√23.又sin 2C =1−cos 2C ≤1−29=79，∴ 0<sin C ≤√73，∵csin C=a sin A=6，∴ c =6sin C ≤2√7.故选A . 9.【答案】 A【考点】 平均值不等式 【解析】根据定义，函数y =f(x)，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=C ，则称函数f(x)在D 上的均值为C ．充分利用题中给出的常数10，100．当x 1∈【10，100】时，选定x 2=1000x 1∈【10，100】容易算出．【解答】解：根据定义，函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．令x1⋅x2=10×100=1000当x1∈【10，100】时，选定x2=1000x1∈【10，100】可得：C=lg(x1x2)2=32故选A．10.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】先利用a+2b+c=1与1a +1b+1c相乘，然后展开利用均值不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，∴1a +1b+1c=(a+2b+c)(1a+1b+1c)=4+2ba +ab+ca+ac+cb+2bc≥4+2 √2+2+2√2=6+4√2，当且仅当a=c=√2b时等号成立．∴1a +1b+1c的最小值是6+4√2．故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】平均值不等式【解析】我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g(x)=x，D=[0, 1]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数g(x)在D上的几何平均数为C的定义，结合g(x)=3x+1在区间[0, 1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C=√1×4=2，故答案为：2．12.【答案】6【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：a+16a+2=(a+2)+16a+2−2≥2√(a+2)×16a+2−2=6(当且仅当a=2时，等号成立)故答案为：6.13.【答案】6【考点】平均值不等式基本不等式【解析】首先对函数式进行整理，把2x变成x+x，这样凑成符合均值不等式的形式，利用均值不等式写出最小值，且等号能够成立．【解答】解：∵x>0，∴函数y=2x+1x2+3=x+x+1x2+3≥3√x⋅x⋅1x23+3=6当且仅当x=1x2，即x=1时，等号成立．故答案为614.【答案】[3+2√2, +∞),3,5√22−1【考点】平均值不等式点到直线的距离公式与圆有关的比例线段参数方程与普通方程的互化【解析】A根据x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y=(1x+1y)(x+2y)，然后化简整理，最后利用均值不等式即可求出所求．B根据直角三角形中的射影定理可知CD2=AD⋅BD，求出AD，从而求出DO；C先根据sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到曲线方程，再求出直线L的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出所求．【解答】解：A、∵x>0，y>0且x+2y=1，∴(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2∴ 1x +1y 的取值范围是[3+2√2, +∞)故答案为：[3+2√2, +∞)B 、∵ ∠ACB =90∘，CD ⊥AB ∴ CD 2=AD ⋅BD 即16=AD ×8 ∴ AD =2，则AB =10，OB =5，DO =8−5=3 故答案为：3C 、∵ {x =2+cos θy =−1+sin θ（θ为参数）∴ (x −2)2+(y +1)2=1过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L 的方程为x −y +2=0 圆心到直线的距离为d =√2=5√22∴ 点P 到直线L 距离的最小值为 5√22−1故答案为：5√22−115.【答案】 1【考点】 平均值不等式 【解析】根据a +b +c =1，得到(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=9，结合柯西不等式证出9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，从而13a+2+13b+2+13c+2≥1，当且仅当a =b =c =13时等号成立，由此可得13a+2+13b+2+13c+2的最小值．【解答】解：∵ a +b +c =1，∴ (3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=3(a +b +c)+6=9 ∵ [(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)](13a+2+13b+2+13c+2) ≥(√3a +2√3a +2√3b +2√3b +2√3c +2√3c +2)2=(1+1+1)2=9∴ 9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，得13a+2+13b+2+13c+2≥1当且仅当3a +2=3b +2=3C +2，即a =b =c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1故答案为：1 16. 【答案】 √x ．（2）设f(x)=x ，(x >0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a −b−a =x−ab−a ， 令y =0，求得x =c =2aba+b ，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，故答案为：x．【考点】平均值不等式【解析】（1）设f(x)=√x，(x>0)，在经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=√ab，从而得出结论．（2）设f(x)=x，(x>0)，在经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=2aba+b，从而得出结论．【解答】解：（1）设f(x)=√x，(x>0)，则经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程为√a−√b−√a=x−ab−a，令y=0，求得x=c=√ab，∴当f(x)=√x，(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数√ab，（2）设f(x)=x，(x>0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a−b−a =x−ab−a，令y=0，求得x=c=2aba+b，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，17.【答案】−3 2【考点】平均值不等式【解析】设x=√2cosθ，y=√2sinθ，则z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ，化简为12(tanθ+2)2−32，再利用二次函数的性质求得函数z的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴设x=√2cosθ，y=√2sinθ，z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ=1+4sinθcosθ2cos2θ=sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ2cos2θ=12tan2θ+2tanθ+12=12(tanθ+2)2−32，故当tanθ=−2时，函数z取得最小值为−32，故答案为：−32．18.【答案】 9【考点】 平均值不等式 【解析】将函数式的两项拆成3项，再利用平均值不等式，即可得到当且仅当3x2=12x 2时即x =2时，函数的最小值为9． 【解答】解：∵ x >0 ∴ 3x +12x =3x 2+3x 2+12x ≥3√3x 2⋅3x 2⋅12x 3=9当且仅当3x2=12x 2时，即x =2时，等号成立 由此可得，函数f(x)=3x +12x 2(x >0)的最小值为9 故选：9 19. 【答案】√52,√22【考点】 平均值不等式 【解析】观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a 22项，构造均值不等式求最值． 【解答】解：由题意知： (1)a 1a 2+2a 2a 3a 12+a 22+a 32=a 1a 2+2a 2a 3a 12+15a 22+45a 22+a 32 ≤a a +2a a 2√12225+2√22325=a 1a 2+2a 2a 32√51a 2+2a 2a 3)=√52(2)xa 1a 2+ya 2a 3a 12+a 22+a 32=xa 1a 2+ya 2a 3a 12+x 2x 2+y 2a 22+y 2x 2+y 2a 22+a 32≤xa 1a 2+ya 2a 3xa 1a 222+ya 2a 322=√x 2+y 22 ∴ M =√x 2+y 22即M≥√22(x+y2)=√22∴M的最小值为√22．故(1)√52(2)√2220.【答案】7【考点】平均值不等式【解析】把式子1x+y +9(x+y)y+z中的1换成已知条件(x+y)+(y+z)=1，化简后再利用基本不等式即可．【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴1x+y +9(x+y)y+z=x+y+y+zx+y+9(x+y)y+z=1+y+zx+y+9(x+y)y+z≥1+2√y+zx+y×9(x+y)y+z=7，当且仅当y+zx+y =9(x+y)y+z，x+y+y+z=1，即x+y=14，y+z=34时，取等号．∴则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为7．故答案为7．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab+ca+ac+cb+bc．由均值不等式得ba +ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有3+ba +ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c全部相等时，等号成立．故(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9成立．【考点】平均值不等式【解析】不等式的左边即3+ba +ab+ca+ac+cb+bc，由均值不等式证得此式大于或等于9．【解答】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab +ca +ac +cb +bc ．由均值不等式得 ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有 3+b a+a b+c a+a c+c b+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a 、b 、c 全部相等时，等号成立．故 (a +b +c)(1a +1b +1c )≥9 成立． 22.【答案】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ， 在△ABC sin C ≠0， cos A =12，∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc ,又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，当且仅当b =c 时取到等号成立， 所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 【考点】 正弦定理 余弦定理 平均值不等式 【解析】由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA =sinC ，又sinC ≠0，即可得cosA =12，即可求得A 的大小．由余弦定理及不等式的解法得1=b 2+c 2−bc ，化简得bc ≤1从而得解． 【解答】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ， 在△ABC sin C ≠0， cos A =12,∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc , 又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 23. 【答案】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ ab ≥2， 当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 【考点】 平均值不等式 【解析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab ≥2，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值． (Ⅱ)根据 ab ≥2及基本不等式求的2a +3b >8，从而可得不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6． 【解答】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a+1b≥2√1ab，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 24. 【答案】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立． 所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…【考点】 平均值不等式 【解析】由条件可得a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，再由3abc +1abc ≥2=2√3，从而得到a 3+b 3+c 3+1abc ≥2√3．【解答】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立． 所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…25. 【答案】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)． 所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)， 所以−√73≤2x 0−y 0≤√73． （3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 【考点】特征值、特征向量的应用 圆的参数方程 平均值不等式【解析】(1)(I)点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a 的值；(II)先求矩阵M 的特征多项式f(λ)，令f(λ)=0，从而可得矩阵M 的特征值，进而可求特征向量．（2）先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x +y 表示成8cos θ−3sin θ，然后利用辅助角公式求出8cos θ−3sin θ的取值范围即可；（3）①根据柯西不等式直接证明即可；②将①中的a 、b 、c 用等式a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0．代入，消去a 、b 、c 得到关于m 的不等关系，解之即可求出m 的范围． 【解答】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)． 所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)， 所以−√73≤2x 0−y 0≤√73． （3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 26. 【答案】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3； 当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]， 当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.【考点】 不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】（1）答案未提供解析． 【解答】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3； 当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]， 当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27.【答案】解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．平均值不等式【解析】由题意可得(x+y)2+(x−y)2=4，再根据((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，求得1(x+y)+1(x−y)的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴(x+y)2+(x−y)2=4．∵((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x=±√2，y=0，或x=0,y=±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．28.【答案】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)2∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．【考点】利用导数研究函数的单调性等比数列的性质平均值不等式(Ⅰ)确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f(x)的单调性；(Ⅱ)(i)利用函数解析式，求出f(1)，f(√ba )，f(ba)，根据等比数列的定义，即可得到结论；(ii)利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．29.【答案】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．【考点】平均值不等式【解析】根据算术平均数不小于其几何平均数可得：x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，相加得出结论．【解答】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．30.【答案】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.【考点】绝对值不等式平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.31.【答案】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．【考点】平均值不等式两点间的距离公式【解析】设P(cosα, sinα)，S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式即可得出．【解答】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．32.【答案】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A=π3.(2)在△ABC中由余弦定理知：a2=b2+c2−2bc cos A=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3(b+c2)2=1，所以a≥1，当且仅当b=c=1时等号成立，此时S=12bc sin A=√34.【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式平均值不等式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A =π3.(2)在△ABC 中由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =(b +c )2−3bc ≥(b +c )2−3(b+c 2)2=1，所以a ≥1，当且仅当b =c =1时等号成立， 此时S =12bc sin A =√34. 33.【答案】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b=2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a −2ab+b ≥2b +3． 【考点】 平均值不等式 【解析】根据均值不等式即可求出 【解答】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b =2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a 2−2ab+b 2≥2b +3． 34. 【答案】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)， b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)，(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)， 即a +b +c ≥3. 【考点】 不等式的证明 平均值不等式 基本不等式 【解析】 【解答】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)，b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)， (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)， 即a +b +c ≥3. 35.【答案】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|， 所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]， 故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数， 由均值不等式得1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号， 即1a +12b+13c≥3.【考点】 不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|， 所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]， 故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b+13c=13(a +2b +3c)(1a+12b+13c)=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号， 即1a +12b +13c ≥3. 36.【答案】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4， 所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m 2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6， 当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4， 所以k =4， 所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m ≥3√2m ⋅2m ⋅2m 3=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 37. 【答案】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立． 又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3．【考点】 平均值不等式 【解析】利用平均值不等式求得√2a +√2b +1+√2c +3≤4√3，由绝对值的性质可得|x −2|+|x −m|≥|m −2|，结合题意可得|m −2|≥4√3，由此求得m 的范围． 【解答】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立． 又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3． 38. 【答案】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =12(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz) =12(x +y +z)[(x −y)2+(y −z)2+(x −z)2]≥0，∴ x 3+y 3+z 3≥3xyz ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 即a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a+b+c 3≥√abc 3．【考点】 平均值不等式 【解析】类比二元均值不等式得出三元均值不等式，利用作差法证明． 【解答】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =1(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz)。
高二数学均值定理试题
高二数学均值定理试题1.已知，，则的最小值为 .【答案】3【解析】法一：由可得，所以（当且仅当即时等号成立）；法二：（当且仅当即时等号成立）.【考点】基本不等式及其应用.2.若实数，满足，则的最小值是A．18B．6C．D．【答案】B【解析】因为，所以当且仅当时“＝”成立.故选B.【考点】1、基本不等式2、指数式的运算.3.当时，的最小值是．【答案】1【解析】当时,当且仅当时取等号.所以答案为1.【考点】基本不等式的应用.4.设椭圆＋＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为()A．ab B．ab C．ab D．2ab【答案】B【解析】设，则有，即；又因为，即，所以。
=，所以，即，故B正确。
【考点】椭圆基本性质，基本不等式，分割法求面积5.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A中当时,有,故A错;选项B中当,时,有,故B错;选项C中当,时,有,故C错;选项D中,因为,有,,所以,当且仅当时等号成立,故正确答案为D.【考点】基本不等式.6.若正实数满足，则+的最小值是( )A．4B．6C．8D．9【答案】D【解析】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.【考点】基本不等式7.已知，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，且，所以.【考点】1.基本不等式；2.指数幂的运算.8.已知，且.则的最小值为_____________.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立.【考点】均值不等式的应用9.若正实数满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】本题是基本不等式的应用，我们可以举例说明一些不等式不成立，如，则，A不成立，，B不成立，再如时，，D 不成立，因此选C．当然我们也可用基本不等式直接证明C正确，，，当且仅当时取等号，所以有最大值．【考点】基本不等式．10.已知且,则的最小值为【答案】9【解析】略11.（12分）某车间共有12名工人，需配备两种型号的机器，每台A型机器需2人操作，每天耗电30千瓦时，能生产出价值4万元的产品；每台B型机器需3人操作，每天耗电20千瓦时，能生产出价值3万元的产品，现每天供应车间的电量不多于130千瓦时，问这个车间如何配备这两种型号的机器，使每天的产值最大？最大产值是多少万元？【答案】这个车间应配备A型机器3台，B型机器2台，能使每天的产值最大，最大产值为18万元【解析】解：设这个车间需配备A型机器台，B型机器台，每天的产值为万元，则即且，作可行域如图，由图得当直线经过点A（3，2）时，z取最大值，且=18.所以这个车间应配备A型机器3台，B型机器2台，能使每天的产值最大，最大产值为18万元12.设的最小值（）A．B．C．－3D．【答案】C【解析】略13.已知a＞0，b＞0，2a＋b＝16，则的最大值为________．【答案】32【解析】略14.设．【答案】【解析】略15.下面四个不等式（1）≥（2）≤（3）≥2（4）≥其中恒成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】略16.已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值为【答案】4【解析】略17.设且，则的最小值为___ _____．【答案】【解析】略18.若不等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为【答案】2【解析】略19.已知点P（，）与点Q（1，0）在直线的两侧，则下列说法中正确的序号是________．①②时，有最小值，无最大值③且，时，的取值范围为④存在正实数M，使恒成立。
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基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1;②a b 2;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤11 2.a b
+≥ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2
-=+>=≠-（）（）则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定
3.设a a a 11x 2x m log x,n log ,p log ,221x
+===+其中0＜a ＜1,x ＞0且x ≠1,则下列结论正确的是( ) （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m
4.已知不等式1a x y)()9x y
++≥（对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2
5.设a>0,b>0,若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b
+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)14
6.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=423-，则2a+b+c 的最小值为( )
()()()()A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 232-++-
7.设x>y>z,n ∈N *,且
11n x y y z x z +≥---恒成立，则n 的最大值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
二、填空题
1.在4×+9×=60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________.
2.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________.
3.若对任意x>0,2x a x 3x 1
≥++恒成立，则a 的取值范围是__________. 4.函数y=log a (x+3)-1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，
则12m n
+的最小值为_______. 5.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
三、解答题 1.若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值 2.若+∈R y x ,且12=+y x ，求y
x 11+的最小值 3.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 2
2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
4.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
5.求函数()2x 7x 10y x 1x 1
++=>-+的最小值. 6.已知正常数a,b 和正变数x,y ，满足a+b=10,
a b 1,x y += x+y 的最小值是18，求a,b 的值. 7.已知：a>0,b>0,c>0,求证：bc ac ab a b c.a b c
++≥++ 8.若0<x<1,a>0,b>0.求证：()222a b a b .x 1x
+≥+-
9.解不等式：
（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．
（3）22123+-≤-x x ； （4）12731422<+-+-x x x x （5）04125622<-++-x x x x ．（6）x x x x x <-+-+2
22322．
10. 解绝对值不等式
（1）242+<-x x （2）331042<--x x ． （3）
； （4）。