概率论期末考试试题

1.全概率公式贝叶斯公式

1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的” 、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和 0.3。并且它们分别占投保总人数的20% ， 50% 和 30% 。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？

解：设 A i、 A2、 A3分别表示“谨慎的”“一般的”和“冒失的”保险户， B 表示“发生事故” ，由贝叶斯公式知

P(A1 | B)

P( A1)P(B | A1)

P( A1 )P( B | A1) P( A2 )P( B | A2 ) P( A3) P(B | A3) 0.20.050.057

0.20.050.50.150.30.30

2.老师在出考题时 ,平时练习过的题目占60%. 学生答卷时 , 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对

的概率为 30%,求 :

(1)考生在考试中答对第一道题的概率;

(2)若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率.

3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3 。在三地拉到一级菜的概率分别为10% ， 30%，70% 。

1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。

解： 1、解：设事件 A 表示拉到一级菜，B1表示从甲地拉到， B2

表示从乙地拉到，

B3表示从丙地拉到

则 P(B1)0.2 ， P(B2 )0.5 ； P(B3)0.3P( A B1) 0.1 ， P(A B2) 0.3 , P(A B3)0.7

则由全概率公式得

3

P(A/ B ) =0.20.1 0.50.30.30.70.38 —（7分）

P( A)P(B )

i i

i 1

(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为

P( B2

P(B2) P( A B2)0.50.3

0.3947 —————————（

A)

0.38

10 分）

P( A)

2.一维随机变量

5. 设随机变量X 在区间 [0,1]上服从均匀分布，求随机变量

Y=e 2X的密度函数 .

6. 已知X ~ N( ,

2),用分布函数法证明：Y X -~ N (0,1).

证明 : 设X ~ f x( x), YaX b ,则 a0 时,Y~f Y( y)=1f Y(y a b)

a

F Y ( y) P Y y X

y P X y F X ( y)

( y)2

1

y2

f Y ( y) F Y ( y) F X ( y) f X ( y)e 2 2 e 2

22

Y ~ N (0,1)

7.设随机

7.变量 X 的密度函数

c

x

1

f ( x)

1 x

2

x

1

求（ 1） c 的值；（ 2 ）

P{ X

1

} ；（ 3）EX

(4)

X 的分布函数 .

2

+

1得：

解： (1) 由密度函数的性质

f(x)dx

-

+

+

c

1

c

f(x)dx

dx

1

1 x 2

dx

-

-

-1

1 x 2

1

（ 4

故 c=

-------------------------------- 分）

1

1 1

1

1 1

(2)

P{ X

2 dx

2 ----------

（ 7

} 1

arc sin x | 1

3

分

）

2

2 1 x 2

2

+

+

x 1

x

(3)EX=

xf(x)dx

dx

dx 0 ---（ 10 分）

x 2

1 x 2

-

- 1 -1

0 x

0 8.设连续型随机变量

X 的分布函数为

F ( x )

A

x 0

x

1 ，

1

x

1

求 :(1) 系数 A; (2)X 的分布密度 f(x); (3)

P 0

X 0.25

1

x

1

解： (1)A=1;(2)

f ( x)

2

x

;(3)0.5

其它

3.二维随机变量

10. 设（ X ， Y ）的分布为

X

Y

- 1

1

- 1 1/ 8 1/ 8

1/ 8 0

1/ 8

1/ 8

1

1/ 8 1/ 8

1/ 8

证明 X 与 Y 不相关，也不独立。

证明：

cov （ X ， Y ） =EXY-EXEY -------- （ 1 分）

而 EXY=0EX=0 ， EY=0-------------- cov( X , Y)

XY

DX DY

下证独立性

（3 分）

0 故 X 与 Y 不相关。 -------- （ 5 分）

P{ X 0,Y 0} 0 P{ X 0} 1/ 4 P{Y=0}=1/4 -------

（8 分）