16.3旋转矢量法

= arc tg(11) = 84048´
结束
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(2) φ φ
3
3π = 2kπ 4
φ 3 = 3π 4
+ 2k π
3
来自百度文库
π =(2k+1)π φ 5π + 2k 3= π 4 4
例. 三个同方向、同频率的谐振动为 x 1= 0.1cos(10t+π /6)m
x 2= 0.1cos(10t+π /2)m x 3= 0.1cos(10t+5π /6)m
←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
对应关系

t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
李 萨 如 图
1 0
π π 3π π 2 0, , , , 8 4 8 2
x n y x达到最大的次数 y nx y达到最大的次数
测量振动频率 和相位的方法
相 x1 A1 cos( t 1 ), x2 A2 cos( t 2 ), 位 差 两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：
( 1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动2落后.
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
x A cos( t )
系统固有角频率 相位 初相位
振幅
其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线） x A cos(t 0 )
三、复数法
z Ae
i ( t )
P x M
A
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
用旋转矢量表示相位关系 同相位 反相位
2 1

A2 A1

A2 A2 A1

x
x
A1
x
例题1 ： 确定以下几种情况的初相位 0 x0 A x0 A
x0 A / 2 正向运动
x0 A / 2 正向运动
/ 4
普通物理学教案
2 / 3
解： 作参考圆
例题2 ：
普通物理学教案
两振子 x10 A / 2 ， x20 A / 2 都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。 解： 判定两振动之间的相位差，是一个在实 际工作中经常遇到的问题。 用旋转矢量法
由图可见
2 1
例题3 ： 谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置， 最短历时是多少? 首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差
从旋转矢量图上可以得出
2 1 0 ( ) 3 3
由匀速运动的等时性 所以，渡越时间为
t T 2



1 t T T 2 6
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频率简谐运动的合成 二、应用旋转矢量法:
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0

A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
旋转矢量法

当t

A
t t
时
0
时
A
o

t
x0 A cos
x0
x
o
x A cos( t )
x
以o 为原点,旋转 矢量 A的端点在 轴 上的投影点的运动为 简谐运动.
x

t t
时
A
t
o
x A cos( t )
x
A
←→ 振幅
2
x = 0.2cos(10t+π /2)m
二
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2 y A2 讨论 1） 2 1 0 或 2π
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
A1
x
o
T
o
A
A2
t
A A1 A2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
2 1 2 2
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 x 2 A2 cos t 2
合振动
令
A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。
解： A1 =A2 =A3 = 0.1 π φ 2= π φ 1= 6 2 A´ = A1 + A3
A = A1 + A2 + A3 = A2 + A´ A = 2A1 = 0.2 A3
5π φ 3= 6 A
A2 A´ φ 3 φ 2 A1 φ1 x o
π φ =
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0 M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
x
x
A A1 A2
A1
o
o
T
t
A2
A
结论
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
若两分振动同相位：
2 1 2k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
若两分振动反相位:
2 1 (2k 1)
π y A2 cos( t ) 2
A2 y
x A1 cost
o
A1
x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
三
两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos(2t 2 )
x＝A cos cos t A sin sin t ＝A cos t
x x1 x2
1、应用解析法
x x1 x 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
v0 A sin 0 0,
0

3 A = 5 (m);
(rad/s)
x 5cos( t 3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
由欧拉公式
e i cos i sin
简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部
即
x Re[ Ae
i ( t )
]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。 复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用 四、旋转矢量法
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互减弱
再若 A1= A2 , 则 A= 0
其它情况
A1 A2 A A1 A2
例. 有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下： x 1= 0.05cos(10t+3π /4)m x 2= 0.06cos(10t+π /4)m (1)求它们合成振动的振幅和初相位； (2)若另有一振动 x 3= 0.07cos(10t+φ 0)m 问φ 0为何值时x1+x3的振幅为最大； φ 0为何值时x2+x3的振幅为最小。 (式中 x 以 m计; t 以 s计)
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P M x
A
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
A
P
M
<
x
一、二象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿负向
三、四象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿正向
2 1 2 2
x2
1

x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
讨论
1）相位差
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
4 3 2 或
3
x-t 图上ω或T 信息不明确， 再看v-t 图 vmax 10m/s
vmax A ， vmax / A 5s-1 由速度幅
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
2 振动方程为 x 2cos(5 t ) 3
16-4 简谐振动的合成
2
2
A2 y x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
3） 2 1 π 2
2 2
A2 y x A1
y
A2
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
例题4： 简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．
x A cos(t 0 )
A = 5 (m); T = 2 (s),
2 (rad/s) T
x A cos(t 0 )
t = 0 时： cos0 x0 / A 1 / 2,
0

3
初速度方向指向平衡位置，
A
M
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 1 象限 M速度v < 0
A
P x
注意：旋转矢量在第 1 象限 M 速度v < 0
A
P x
注意：旋转矢量在第 1 象限 M 速度v < 0
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 M 速度v < 0
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 M 速度v < 0
解： (1)
A = A +A + 2 A1A2 cos (φ
2 1 2 2
2
φ 1)
=
(0.05)2+(0.06)2+2×0.05×0.06cos(-π/2)
=0.078m
A1 sinφ 1+ A2 sinφ 2 φ = arc tg A1 cos 1 + A2 cos 2 φ φ
0.05× 2 + 0.06× 2 2 2 = arc tg 2 0.05× ( 2 )+ 0.06× 2 2