第二章 期权定价

第二章期权定价自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。

1973年，美国芝加哥大学教授 F. Black和M. Scholes 发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。

在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。

在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨。

第一节二叉树与风险中性定价对期权定价的研究而言，Black-Scholes模型的提出是具有开创性意义的。

然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。

1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（the Binomial Model）”，是期权数值定价方法的一种。

二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。

同时，它应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。

1.1 二叉树模型概述二叉树（binomial tree）是指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可能路径。

二叉树定价模型假定股票价格服从随机漫步，股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且在树形的每一步，股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变。

根据第一章我们学到的知识，不难得出：3个月后，如果股票上涨至12元，则该股票期权的价格应为1元，如果股票下跌至8元，则该股票期权的价格应为0元。

这些可以通过下图的二叉树来表示。

股票价格=12元期权价格=1元股票价格=10元期权价格=？股票价格=8元期权价格=0元图2-1现在我们来考虑建立一个无风险投资组合，这个投资组合由两部分组成：买入∆只该股票，同时卖出一份以该股票为标的的看涨期权，即同时持有∆只股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。

我们假设市场上不存在套利机会，因此我们总能找到一个∆，使得该投资组合是无风险组合。

我们接下来计算出使得该组合无风险的∆。

当股票价格由10元上涨为12元时，组合中股票头寸的价值为12∆，期权头寸的价值为-1元（我们持有的是空头头寸），该组合的整体价值则为12∆-1；当股票价格由10元下跌至8元时，组合中股票头寸的价值为8∆，期权头寸的价值为0，该组合的整体价值为8∆。

只有当该投资组合在上述两种情况下的终端价值相等时，该组合才是无风险组合。

即：12∆-1=8∆∆=0.25因此，该无风险投资组合是由0.25只股票的多头持仓和1份看涨期权的空头持仓所构成。

注意，在此我们假定了股票是无限可分割的，并且不存在佣金等交易税费。

无套利均衡定价是金融工程学中对金融工具进行定价的基本思路。

其基本做法是，构建两个资产组合，若令其终值（期末的价值）相等，则其现值（当前的价值）也一定相等；否则就将产生套利机会，即我们可以卖出现值较高的资产组合，买入现值较低的资产组合，并持有到期，套利者就可以获取无风险收益。

在上例中，如果股票价格上涨为12元，该组合价值为12×0.25-1=2 元如果股票价格下跌至8元，则该组合的价值为8×0.25=2 元由于该投资组合是无风险的，因此其收益率一定等于无风险收益率。

假设当前无风险收益率为4%，那么该组合的现值应为终值2元的贴现值；在此我们使用连续复利进行计算，即该组合的现值为4%3/122e -⨯=1.98 元假定期权当前的价格为f ，已知股票当前价格为10元，那么该交易组合的现值为10×0.25-f=2.5-f=1.98元 f=0.52 元因此，本例中看涨期权当前的价格应为0.52元。

1.2 推广——单步二叉树期权定价接下来，我们将上面例子得到的结论进行推广。

假定股票的当前价格为0S ，看涨期权当前的价格为f ，该期权的有效期为T ；在这段时间内，股票价格或者会从0S 上涨至0u S ，或者会从0S 下跌至0d S ，其中u>1，0<d<1；相对应地，期权价格为u f 或者d f 。

因此，若股票价格上涨，其涨幅为u-1；若股票价格下跌，其跌幅为1-d 。

如图2-2所示：图2-2与上面的例子相同，我们考虑构建一个由∆只股票的多头持仓和一份期权的空头持仓多组成的无风险投资组合。

若股票价格上涨，在期权到期时该组合的价值为u 0-uS f ∆若股票价格下跌，在期权到期时该组合的价值为d 0-dS f ∆令以上两式相等，即u 0-uS f ∆=d 0-dS f ∆可以求出00du dS -uS -f f =∆ （2.1） 由于投资组合是无风险的，其收益率必须等于无风险利率。

假定无风险利率为r ，那么该投资组合的贴现值为rT u e f uS --∆)(0而该组合的当前价值为f -S 0∆因此有f -S 0∆=rT u e f uS --∆)(0将式2-1中的∆带入并化简，即可求得期权的价格f 0S uf 0uSd f 0dS[]rT d u e f p pf f --+=)1( （2.2） 其中d -u de p rT -=- （2.3） 综上所述，当股票价格的变动路径可由一步二叉树给出时，我们可以用式2-2及式2-3对期权进行定价。

当然，用二叉树方法对期权进行定价是建立在一些基本假设上的，如不存在套利机会、不存在交易税费、股票是无限可分割的等。

1.3 风险中性定价现在我们将式2.2中的p 定义为股票价格上涨的概率，看看会得到什么意想不到的收获。

既然p 为股票价格上涨的概率，相应地，1-p 也就是股票价格下跌的概率；而(1)u d pf p f +-则为期权价格的数学期望，这样式2.2表达的意思就是：期权的价格等于其期望的贴现。

我们知道，T 时刻股票价格的期望为()00)1(dS p puS S E T -+=将式2-3中的p 代入后可得()rT T e S S E 0= （2.4） 上式说明：股票价格是按无风险利率增长。

这就是说，股票价格上涨的概率为p 的假设等价于股票的收益率为无风险利率。

在这里我们引入风险中性定价（risk-neutral valuation ）的概念。

在一个风险中性世界（risk-neutral world ）中，投资者对风险都秉持中性的态度，也就是说投资者对风险不要求任何形式的补偿，因而在这样的世界里，所有证券的期望收益率均等于无风险利率。

因此，式2.4同时说明：股票价格上涨的概率为p 的假设等价于世界为风险中性世界的假设，P 也被称为风险中性概率。

式2.2说明：在风险中性世界里，期权的价格等于其数学期望按无风险利率进行贴现所得数值。

这就是风险中性定价原理在期权定价领域的重要应用。

用上述思想来对资产进行定价就叫做风险中性定价。

首先，我们定义p为风险中性概率。

由于在风险中性世界里，股票的期望收益率等于无风险利率，这就意味着p必须要满足4%/312+epp=10)-8(112⨯计算可得p=0.525，1-p=0.475。

因而，3个月后，看涨期权价格为1的概率为0.525，价格为0的概率为0.475，期权价格的数学期望为0.525×1+0.475×0=0.525在风险中性世界中，期权的当前价格应等于其期望值以无风险利率进行贴现，因此期权的当前价格为4%3/120.525e-⨯，即0.52元。

这与前面的计算结果相同，说明用无套利均衡定价方法与风险中性定价方法计算所得到的结果是一致的。

事实上，我们可以证明，在对期权进行定价时可以放心地假设世界是风险中性的，由此得到的结果不仅在风险中性世界里是正确的，在现实世界也是成立的。

利用风险中性定价原理可以大大简化问题的分析。

因为在风险中性世界里，所有资产都要求同的收益率，即无风险利率；而且所有资产的定价都可以运用风险中性概率计算出未来收益的预期值，再以无风险利率贴现得到。

最后再将所得到结果放回到现实世界中，就获得了有实际意义的结果。

利用风险中性定价方法对金融资产进行定价，其核心环节是构造出风险中性概率。

第二节两步二叉树期权定价模型我们可以将以上单步二叉树的分析推广到如图2-3所示的两步二叉树情形。

图2-3在此，我们反复使用风险中性定价方法来对这个期权进行定价。

在下图中的各个节点，上面的数字代表股票价格，下面的数字代表期权价格。

10 0.9191280 14.4 3.4 9.6 0 6.40 A 1012814.49.66.4图2-4图2-4中最右边节点上的期权价格不难求出：在节点D ，股票的价格为()210 1+20%=14.4，期权价格则为14.4-11=3.4；在节点E 和F ，期权价格显然为0。

由于节点C 的价值来自于节点E 和F ，因此在节点C 上期权的价格为也0。

为求节点B 上的期权价格，我们将u=1.2，d=0.8，r=4%，和T=0.25代入式2-2，因此节点B 上的期权价格为768.104750.4.3525.012/3%4-=⨯+⨯⨯）（e我们的目的是要计算出节点A 上的期权价格。

我们现已知期权在节点B 上的价格为1.768，在节点C 上的价格为0，代入式2-2便可算出期权的初始价格为199.004750.687.1525.012/3%4-=⨯+⨯⨯）（e假定无风险利率为r ，股票的初始价格为0S ，二叉树的步长为T ，看涨期权的初始价格为f ，该期权的有效期为2T ；在二叉树的每一步，股票价格或者上涨至初始价格的u 倍，或者下跌至初始价格的d 倍，其中u>1，0<d<1。

根据上面的分析过程，我们很容易得出两步二叉树期权定价模型的一般公式，如图2-5所示：图2-5通过反复应用式2.2，我们不难得出：f 0S uf 0uSd f dS uu f 02S u ud f 0udS dd f 02S d A[]rT ud uu u e f p pf f --+=)1( （2.5） []rT dd ud d e f p pf f --+=)1( （2.6） []rT d u e f p pf f --+=)1( （2.7） 将式2-5、式2-6代入式2-7，我们得到：[]rT dd ud uu e f p f p p f p f 222)1()1(2--+-+= （2.8） 式2.8完全可以用中性定价理论进行解释。

式中2p 、2(1)p p -、2(1)p -分别对应于股票价格取上、中、下三个节点上值的概率，期权价格仍然等于其在风险中性世界里的期望收益以无风险利率进行贴现所得数值。