第二章 期权定价

第二章期权定价

自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 F. Black和M. Scholes 发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨。

第一节二叉树与风险中性定价

对期权定价的研究而言，Black-Scholes模型的提出是具有开创性意义的。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（the Binomial Model）”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。

1.1 二叉树模型概述

二叉树（binomial tree）是指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可能路径。二叉树定价模型假定股票价格服从随机漫步，股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且在树形的每一步，股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变。

根据第一章我们学到的知识，不难得出：3个月后，如果股票上涨至12元，则该股票期权的价格应为1元，如果股票下跌至8元，则该股票期权的价格应为0元。这些可以通过下图的二叉树来表示。

股票价格=12元

期权价格=1元

股票价格=10元

期权价格=？

股票价格=8元

期权价格=0元

图2-1

现在我们来考虑建立一个无风险投资组合，这个投资组合由两部分组成：买入∆只该股票，同时卖出一份以该股票为标的的看涨期权，即同时持有∆只股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。我们假设市场上不存在套利机会，因此我们总能找到一个∆，使得该投资组合是无风险组合。

我们接下来计算出使得该组合无风险的∆。当股票价格由10元上涨为12元时，组合中股票头寸的价值为12∆，期权头寸的价值为-1元（我们持有的是空头头寸），该组合的整体价值则为12∆-1；当股票价格由10元下跌至8元时，组合中股票头寸的价值为8∆，期权头寸的价值为0，该组合的整体价值为8∆。只有当该投资组合在上述两种情况下的终端价值相等时，该组合才是无风险组合。即：

12∆-1=8∆

∆=0.25

因此，该无风险投资组合是由0.25只股票的多头持仓和1份看涨期权的空头持仓所构成。注意，在此我们假定了股票是无限可分割的，并且不存在佣金等交易税费。 无套利均衡定价是金融工程学中对金融工具进行定价的基本思路。其基本做法是，构建两个资产组合，若令其终值（期末的价值）相等，则其现值（当前的价值）也一定相等；否则就将产生套利机会，即我们可以卖出现值较高的资产组合，买入现值较低的资产组合，并持有到期，套利者就可以获取无风险收益。

在上例中，如果股票价格上涨为12元，该组合价值为

12×0.25-1=2 元

如果股票价格下跌至8元，则该组合的价值为

8×0.25=2 元

由于该投资组合是无风险的，因此其收益率一定等于无风险收益率。假设当前无风险收益率为4%，那么该组合的现值应为终值2元的贴现值；在此我们使用连续复利进行计算，即该组合的现值为

4%3/122e -⨯=1.98 元

假定期权当前的价格为f ，已知股票当前价格为10元，那么该交易组合的现值为

10×0.25-f=2.5-f=1.98元 f=0.52 元

因此，本例中看涨期权当前的价格应为0.52元。

1.2 推广——单步二叉树期权定价

接下来，我们将上面例子得到的结论进行推广。假定股票的当前价格为0S ，看涨期权当前的价格为f ，该期权的有效期为T ；在这段时间内，股票价格或者会从0S 上涨至0u S ，或者会从0S 下跌至0d S ，其中u>1，0

图2-2

与上面的例子相同，我们考虑构建一个由∆只股票的多头持仓和一份期权的空头持仓多组成的无风险投资组合。若股票价格上涨，在期权到期时该组合的价值为

u 0-uS f ∆

若股票价格下跌，在期权到期时该组合的价值为

d 0-dS f ∆

令以上两式相等，即

u 0-uS f ∆=d 0-dS f ∆

可以求出

00d

u dS -uS -f f =∆ （2.1） 由于投资组合是无风险的，其收益率必须等于无风险利率。假定无风险利率为r ，那么该投资组合的贴现值为

rT u e f uS --∆)(0

而该组合的当前价值为

f -S 0∆

因此有

f -S 0∆=rT u e f uS --∆)(0

将式2-1中的∆带入并化简，即可求得期权的价格

f 0

S u

f 0

uS

d f 0

dS

[]rT d u e f p pf f --+=)1( （2.2） 其中

d -u d

e p rT -=- （2.3） 综上所述，当股票价格的变动路径可由一步二叉树给出时，我们可以用式2-2及式2-3对期权进行定价。当然，用二叉树方法对期权进行定价是建立在一些基本假设上的，如不存在套利机会、不存在交易税费、股票是无限可分割的等。

1.3 风险中性定价

现在我们将式2.2中的p 定义为股票价格上涨的概率，看看会得到什么意想不到的收获。

既然p 为股票价格上涨的概率，相应地，1-p 也就是股票价格下跌的概率；而(1)u d pf p f +-则为期权价格的数学期望，这样式2.2表达的意思就是：期权的

价格等于其期望的贴现。

我们知道，T 时刻股票价格的期望为

()00)1(dS p puS S E T -+=

将式2-3中的p 代入后可得

()rT T e S S E 0= （2.4） 上式说明：股票价格是按无风险利率增长。这就是说，股票价格上涨的概率为p 的假设等价于股票的收益率为无风险利率。

在这里我们引入风险中性定价（risk-neutral valuation ）的概念。在一个风险中性世界（risk-neutral world ）中，投资者对风险都秉持中性的态度，也就是说投资者对风险不要求任何形式的补偿，因而在这样的世界里，所有证券的期望收益率均等于无风险利率。因此，式2.4同时说明：股票价格上涨的概率为p 的假设等价于世界为风险中性世界的假设，P 也被称为风险中性概率。式2.2说明：在风险中性世界里，期权的价格等于其数学期望按无风险利率进行贴现所得数值。这就是风险中性定价原理在期权定价领域的重要应用。用上述思想来对资产进行定价就叫做风险中性定价。