时间数列的趋势分析

方法一标准公式计算表：
解
预测2008年水平
求解a、b的简捷方法
｛N为奇数时，令t = …，-3，-2，-1，0，1，2，3， … N为偶数时，令t = …，-5，-3，-1，1，3，5， …
即t = 0时，有
｛
｛
方法二简化公式法：
解： 预测
三、季节变动分析
（一）季节变动及其测定目的 （二）季节变动的分析方法与原理 （三）季节变动的调整（了解）
❖
非周期性、非趋势性的随机变动。
❖
（政策动荡、战争爆发、自然灾害）
（1）长期趋势（T）
（2）季节变动（S） 可解释的变动
（3）循环变动（C） （4）随机变动（I）—— 不规则的不可解释的变动
（二）时间数列的经典模式：
（1）加法模型： Y=T+S+C+I
计量单位相同 的总量指标
是对长期趋势所产生的 偏差，（+）或（-）
2、计算季节指数的步骤
▪ 计算各年同月(或同季)的平均数 ▪ 计算全部数据的总月(总季)平均数 ▪ 计算季节指数(S)
2、举例说明： 例:某企业毛线销售情况如下
某企业毛线销售季节变动表
计算过程： 第一，计算各年同月平均数。如1月份为（
200+200+230）/3=210，其余月份类推。
第二，计算所有各月的总平均数。把3年36个 月的资料全部相加后平均，或用12个月平均数求总平 均数，即（111.3+113.92+127.50）/3=117.58.
B、五项移动平均： 第一个平均数=（4.80+5.33+6.76+7.38+6.54）/5=6.16 对正第三项原值 第二个平均数=(5.33+6.76+7.38+6.54+7.00)/5=6.60 对 正第四项的原值 依此类推,边移动边平均，求得五项移动平均新数列共6项。
C、四项移动平均： 第一个平均数=（4.80+5.33+6.76+7.38）/4=6.07 对正第 二和第三项原值 第二个平均数=(5.33+6.76+7.38+6.54)/4=6.50 对正第三 和第四项的原值
联立方程组：
579.41=7a+28b 2671.1=28a+140b
｛b=(7*2671.1-28*579.41)/(7*140282)=2474.5/196=12.625 a=579.41/7-12.625*28/7=82.7750.5=32.272 （同样，可以直接带入关于a、b的公式） 将参数值代入直线趋势模型:
（1）线 性 模 型 法（最小二乘法）
— 概念要点与基本形式
❖ 现象的发展按线性趋势变化时，可用线性 模型表示
❖ 线性模型的形式为
Yˆt a bt
▪ Yˆt — 时间序列的趋势值
▪ t —时间标号 ▪ a—趋势线在Y 轴上的截距 ▪ b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观 察值的平均变动数量
第三,计算各月平均数与总平均数的对比值,得 出各月的季节指数.如1月份为： 210/117.28*100%=178.6%.其余月份类推
❖ 3、注意： ❖ 测定季节变动的资料时间至少要有三个周期
以上，如季节资料，至少要有12季，月度资 料至少要有36个月等，以避免资料太少而产 生偶然性。
4、优缺点： 优点：计算简便，容易理解 缺点：不够精确，没有很好消除长期趋 势的影响
依此类推,边移动边平均，求得四项移动 平均新数列共7项。由于每个指标数值都和 原动态数列错半期，无法直接进行对比，还 必须进行一次正位平均（中心化）。即再进 行一次两项移动平均，这样新序时平均数数 列的各期数值才能和原动态数列对准，形成 新的4项正位平均数列共6项。
原数列
三项移动平均
四项移动平均
（4）线 性 模 型 法 — a和b的最小二乘估计公式推导
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Y na b t tY a t b
t2
解得：b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上 式可化简为
Y na tY bt 2
4、移动平均法的特点
◆移动平均对数列具有平滑修匀作用，移 动项数越多，平滑修匀作用越强；
◆移动后新的动态数列项数 =原动态数列项数—移动项数+1
◆局限：不便于直接根据修匀后的数 列进行预测。
（三）长 期 趋 势 分 析 的 模 型 法
❖1、线性趋势的确定（最小二乘法） ❖2、非线性趋势的确定（略）
（2）线 性 模 型 法 —计算步骤 yˆ f (t)
第一步：选择趋势模型
图形判断、差分法判断、经验判 断、自相关系数数列判断等。
第二步：求解模型参数 第三步：对模型
进行检验
最小平方法，求参数。
t. yt yˆ t
用自相关系数检验 误差项的随机性。
第四步：计算估计标准误
Sy
( yt yˆ t )2 nm
（二）季节变动的测定方法——按月(季)平均法
1、原理
1. （1）、这种方法根据过去该现象季节变动 的规律性，获得分季、分月资料
2. （2）、将原时间序列用简单平均的方法计 算季节指数
3. （ 3 ） 、 假定时间序列没有明显的长期趋势 和循环波动，即不考虑长期趋势影响，直接 利用原始动态数列来计算
a Y
解得：
b
tY t2
★
1.基本方法 t1 1 t2 2 t3 3 t4 4 t5 5
t值的设计 ★
2.奇数项
3. 偶数项
t1 -2
t1 -5
t2 -1
t2 -3
t3 0
t3 -1
t4 1
t4 1
t5 2
t5 3
t6 5
方法一：联立方程法
由：
解得：
举例说明1：
例1：某企业某种产品2004-2010年的产量资料如 下：（最小平方法计算表）
序时平均后
（三）长期趋势的测定——移动平均法
1、概念要点
测定长期趋势的一种较简单的常用方法：
™ 通过扩大原时间序列的时间间隔， 并按一定的间隔长度逐期移动，计 算出一系列移动平均数
™ 由移动平均数形成的新的时间序列 对原时间序列的波动起到修匀作用 ，从而呈现出现象发展的变动趋势
2、举例说明
例1：某企业近10年来商品销售额资料如下 （见下页）：
（一）季节变动及其测定目的
1. 季节变动（时间序列的又一个主要构成要素）
▪ 现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动 ； 各 年变化强度大体相同、且每年重现 （ e g ： 许 多 商 品
销售随季节变化，受季节变化的影响）
▪ 指任何一种周期性的变化
2. 测定目的
▪ 消除时间序列中的长期趋势因素和偶然因素； 1. 使现象因受季节因素的影响而产生的波动明显
作用形成 3. 时间序列的主要构成要素 4. 有线性趋势和非线性趋势 5. eg：通常情况下，由于人口
增长、资源开发、科技进步 等因素影响，社会生产的总 量呈增长变动的趋势。
长 期 趋 势（T）分 析——测定方法
1、时距扩大法
（一）修匀法：
2、移动平均法
奇数 移动项数
偶数 新数列项数＝原数列项
数－移动项数＋1
❖
响，一年内随季节更替而出现的周期性波
❖
动（商品销售）
❖ 循环变动（C）：现象受多种不同因素的影响，在若干年内发生
❖
的周期性起伏的波动。
❖
（资本主义发展过程中的经济危机，自1825年
❖
第一次以后，1836、1847、1857、1866、
❖
1873、1882、1890、1900.）
❖ 不规则变动（I）：现象受临时的偶然性因素或不明原因引 起的
一般可以是：
A、三项移动平均 B、五项移动平均 C、四项移动平均
某企业商品销售额资料
单位：亿元
A、三项移动平均： 第一个平均数=（4.80+5.33+6.76）/3=5.63 对正第二项的 原值 第二个平均数=(5.33+6.76+7.38)/3=6.49 对正第三项的原 值 依此类推,边移动边平均，求得三项移动平均新数列共8项。
列少得多，不能据以预测未来的发展趋势； ②不能满足消除长期趋势、分析季节变动和 循环变动的需要。
练习：某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元（时期数列）
用时距扩大法，将原数列按季重新编制：
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
由月资料整理的季度资料，趋势明显是 不断增长的，原来的月资料则表现出波动。
❖ 例（P165~166）
❖ 用于：现象变化规律不明显时。（通过扩大
原数列时间间隔，对原数列加以整理，就可 以发现现象的趋势。）
❖ 注意：①为保持可比性，同一数列前后的时
距单位应一致；②时距单位的大小，应根据 具体现象的性质和特点，以能显示现象变化 趋势为宜。③时期数列和时点数列的区别。
❖ 缺点：①时距扩大后新数列的项数比原来数
（2）乘法模型： Y=T·S·C·I
计量单位相同 的总量指标
是对原数列指标增 加或减少的百分比
（三）变动因素的分解：
（1）加法模型用减法。例：T=Y-（S+C+I） （2）乘法模型用除法。例：T=Y/（S·C·I）
二、长 期 趋 势 分 析
（概念要点） 1. 现象在较长时期内持续发展
变化的一种趋向或状态 2. 由影响时间序列的基本因素
❖3、不同地区、国家发展状况的比较 评价和预测。
第四节 时间数列趋势分析
一.时间数列的构成要素与模型 二.长期趋势分析 三.季节变动分析
一、时间数列的构成要素与模型
（一）
时 间 序 列 的 构 成 要 素
长期趋势（T）
季节变动（S） 循环波动（C） 不规则波动（I）
线性趋势
非
二次曲线
线百度文库
指数曲线
性
第九章 认识时间数列分析方法
❖ 2012年11月27日
思考：时间数列的作用？
❖1、反映社会经济现象发展变化的过 程和特点；
❖eg:通过对时间数列的水平分析和速
度分析计算一系列时间数列的分析 指。了解现象客观的变化过程。
❖2、研究现象发展变化的规律和未来 趋势；
❖ eg：对影响数列变化的各种因素进行分 析→分析不同的影响因素及其对现象变 动的影响程度，以此发现现象发展变化 的规律和趋势。
（二）长期趋势的模型法（最小二乘法）
以时间t为自变量构造回归模型，时期数按序随意编制
线性趋势模型 如:
yˆ a bt
非线性趋势模型 如: yˆ abt yˆ a bt ct2 yˆ k abt
（一）长期趋势的测定—时距扩大法 （时期数列）
❖ 时距扩大法：是把原有动态数列中各时 期资料加以合并，扩大每段计算所包括 的时间，得出较长时距的新动态数列， 以消除由于时距较短受偶然因素影响所 引起的波动，清楚地显示现象变动的趋 势和方向。
m为模型 中的参数
第五步：求置 信 区间
小样本 大样本
yt yˆ t t / 2(nm) sy c0 yt yˆ t z / 2 sy
（3）线 性 模 型 法——原理
即用一定的数学模型，对原有动态数列配合一 条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以 是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足 最基本的要求。即：
y=32.272+12.265t
方法二：简捷法计算参数a、b： 取t＝0， 则∑t＝0
则
举例说明2：
例2：某企业某种产品2004-2010年的产量资料如下： 最小平方法简捷法计算表
根据资料,求参数值:
将参数值代入直线趋势模型:
=82.722+12.625t
练习：已知某地区GDP资料（单位：亿元）如下， 拟合直线趋势方程，并预测2008年的水平。
将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制
成如下数列：
上表也可看出其逐期增长的趋势。
★如果是时点数列呢？★
（二）长期趋势的测定—序时平均法
（时点数列）
❖ 方法：将原来的动态数列用序时平均法 消除偶然因素的影响，以明显反映现象 发展趋势。
❖ 序时平均法与时距扩大法：都是通过对 原数列的处理使新数列可以更好的反映 现象的趋势。不同的是，由于数据在可 加性（时期/时点）上存在差异，所以在 对数据合并时选择直接相加或加总（加 权）平均。
修正指数 曲 线
趋
Gompertz曲线
势
Logistic 曲 线
按月(季)平均法
趋势剔 除 法 剩 余法
❖ 长期趋势（T）：现象受某种基本因素的作用，在较长一段
❖
时期内持续上升或下降的发展趋势。
❖
（社会生产总量随生产力发展、科技
进步、人口增长等因素而呈增长发展趋势）
❖ 季节变动（S）：现象受自然条件和社会风俗等因素的影
3、移 动 平 均 法 —应注意的问题
1. 移动平均后的趋势值应放在各移动项的中 间位置
对于偶数项移动平均需要进行“中心化”
2. 移动间隔的长度应长短适中
如果现象的发展具有一定的周期性，应以周 期长度作为移动间隔的长度
若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均 若为月份资料，应采用12项移动平均