高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直角坐标系的建立 2.3.2

§3空间直角坐标系

3.1 空间直角坐标系的建立

3.2 空间直角坐标系中点的坐标

1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.

2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理空间直角坐标系

阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.

1.空间直角坐标系的建立：

(1)空间直角坐标系建立的流程图：

平面直角坐标系

↓

通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴

↓

空间直角坐标系

(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：

①伸出右手，让四指与大拇指垂直；

②四指先指向x轴正方向；

③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；

④大拇指的指向即为z轴正方向.

(3)有关名称：

如图2­3­1所示，

图2­3­1

①O叫作原点；

②x，y，z轴统称为坐标轴；

③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，

由x，y轴确定的平面记作xOy平面，

由y，z轴确定的平面记作yOz平面，

由x，z轴确定的平面记作xOz平面.

2.空间直角坐标系中点的坐标：

(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.

(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.

(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.

(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P 为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )

(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )

(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )

(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )

【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√

[小组合作型]

求空间中点的坐标

如图1111F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.

图2­3­2

【精彩点拨】 取D 为空间坐标系的原点，过D 点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标.

【自主解答】 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12. ∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，12.

1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；

(2)充分利用几何图形的对称性.

2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.

[再练一题]

1.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝3，AB ＝5，AA 1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标.

【导学号：39292118】

【解】 如图，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz .

∵长方体的棱长AD ＝3，DC ＝AB ＝5，DD 1＝AA 1＝4，

显然D (0,0,0)，A 在x 轴上，∴A (3,0,0)；C 在y 轴上，∴C (0,5,0)；

D 1在z 轴上，

∴D 1(0,0,4)；B 在xOy 平面内，∴B (3,5,0)；

A 1在xOz 平面内，∴A 1(3,0,4)；C 1在yOz 平面内，

∴C 1(0,5,4).

由B 1在xOy 平面内的射影为B (3,5,0)，∴B 1的横坐标为3，纵坐标为5，

∵B 1在z 轴上的射影为D 1(0,0,4)，∴B 1的竖坐标为4，∴B 1(3,5,4).

已知点的坐标，确定点的位置

在空间直角坐标系中，作出点M(4，－2,5).

【精彩点拨】解答本题可有三种思路：

①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4,2,5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.

【自主解答】法一：将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0)，再把M1沿与y轴平行的直线且与y轴相反方向平移2个单位，得到点M 2(4，－2,0)，

最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点

M.

法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱

分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，且棱长分别为4,2,5，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M.

法三：在x轴上找到坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y

轴上找到坐标为－2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到坐标

为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α，β，γ交于一点，此交点

即为所求的点M.

已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：

(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).

(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.

(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α，β，γ交于一点，此交点即为所求点M.

[再练一题]

2.在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6).

【解】法一：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二

步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向

上移动6个单位(如图所示)，即得点P.

法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别

在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为