第八章 空间滤波
空间滤波的理论和方法
的卷积的平方。通常可运用这一原理，根据对输入信息的具体要求，进行变 换或滤波。如果从光学系统所能完成的功能分析，系统的空间滤波可以实现 输入信息与滤波器脉冲响应的卷积运算。在频谱平面上放置滤波器其后有
AF fx, fy H fx, fy . 实际上是实现了输入频谱和滤波器复振幅透过率的乘
阿贝——波特实验图示
空间滤波的基本原理
阿贝—波特实验：结论
1．实验充分证明了阿贝成像理论的正确性：像的结构直接 依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像 的结构；像和物的相似程度完全取决于物体有多少频率成 分能被系统传递到像面。
2．实验充分证明了傅里叶分析和综合的正确性： （1）频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息（图B）； 频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息（图C）； （2）零频分量是直流分量，它只代表像的本底（图D）； （3）阻挡零频分量，在一定条件下可使像的衬度发生反转 （图E）； （4）仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低；仅允许 高频分量通过时，像的边缘效应增强； （5）采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质（图F）。
空间滤波的理论和方法
重点
• 1. 空间滤波的基本原理 • 2. 空间滤波的基本系统 • 3. 空间滤波器 • 4. 空间滤波应用举例
空间滤波的基本原理 阿贝——波特成像理论
阿贝成像原理
阿贝——波特成像理论
• 阿贝认为相干成像过程分两步完成，如图所示。第一步 是物体在相干平行光垂直照明下，可看作是一个复杂的 光栅，照明光通过物体被衍射，衍射光波在透镜后焦平 面射上光P斑1形作成为物新体的O次的级夫波琅源禾发费出光球斑面图子样波；，第在二像步平是面各相衍干 叠加形成物体的像。将显微镜成像过程看成是上述两步 成像过程，人们称其为阿贝成像理论。
8 空间滤波
例1 设物函数中含有从低频到高频的各种结构信息， 物被直径为d=2cm的圆孔所限制，将它放在直径D＝
4 cm、焦距f=50 cm的透镜的前焦面上。今用波长l
＝600 nm的单色光垂直照射该物并测量透镜后焦面上 的光强分布。问：
（1）物函数中什么频率范围内的频谱可以通过测量得 到准确值？ （2）什么频率范围内的信息被完全阻止？
t ( x1 ) t 0 t1 cos( 2x 0 x1 )
(1)在频谱面的中央设置一小圆屏挡住光栅的零级谱，求像 的强度分布及可见度； (2)移动小圆屏，挡住光栅的+1级谱，像面的强度分布和可 见度又如何?
例2 在相干照明4f系统中， 在物平面上有两个图像，它们的中 心在X轴上，距离坐标原点分别为a和-a ，今在频谱面上放置一 正弦光栅，其振幅透过率为
2、傅立叶透镜的信息容量——空间带宽积
信息容量N=频 带 宽 度´ 空 间 宽 度
空间带宽积
截止频率
x D D1 2lf
频带宽度
x 2x D D1 lf
衍射发散角
中的线状构造越密集，则在P2沿r方向空间频 谱分布延伸越远；反之亦然
频谱分析器，又称为衍射图像采样器
由在半圆中不同直径的32个环状 PN结硅光二极管元件和另半圆 呈辐射状分布的32个楔形PN结 硅光二极管元件组成，据此可测 出整个频谱面上各处的光强分布
楔-环探测器 针尖缺陷检查、掩模线宽测量、织物疵病以及纸张印刷质量的 检查等。
一、二元振幅滤波器 （1）低通滤波器 带针孔的不透明模板
低通滤波器结构 只允许位于频谱面中心及其附近的低频分量通过，可以用来滤 掉高频噪声
（2）高通滤波器 带不透明小圆屏的透明模片
阻挡低频分量而允许高频通过，以增强像的 边缘，提高对模糊图像的识别能力或实现衬 度反转，但由于能量损失较大，所以得到的 结果一般较暗。 高通滤波器结构
8.1 空间滤波的基本原理
1.基本光路
光
物平面
光
频谱面
像平面
阿 贝 波 特 实 验
2.基本原理
物函数为 g (x, y) 频谱面的光振动分布为
e G( ,) g( x, y) 2i(xy) dxdy
, 为频谱面坐标，称为空间频率.
应用：采用低通滤波器，可以滤掉高频噪声，去掉图 片上的污迹，图4-4-4显示了这一过程。
(a)
(b)
(c)
图4-4-4 应用低通滤波器消除图片污迹 (a)原物 (b)低通滤波器 (c)处理后的像
当然，这种滤波器的缺点是将物的高频成分也滤掉， 使得像与无噪声的物并不完全相同，像的分辨率有 所降低。
利用低通和高通滤波器对任意具有非周期结构的 输入图像分别进行了低通和高通滤波处理，输出结果 如图所示。
从噪声中提取信号、图象复原、特征提取（特征识别）等。
历史背景
1873年，德国科学家阿贝（Abbe）创建了二次 衍射成像理论（显微镜成像理论）；
1935年，物理学家泽尼克发明了相衬显微镜；
1963年，范德拉格特（A. Vander Lugt）提出 了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了 一个广泛应用的新阶段；
(a)
(b)
(c)
图4-4-7 普通非周期结构图像的滤波处理结果. (a) 输入图像；(b) 低通输出；(c) 高通输出.Fra bibliotek学习要点
1.什么是光学信息处理？光学信息处理的分类； 2.空间滤波的基本原理：“分频”和“合成”的概
念； 3.阿贝滤波实验（实验光路、实验现象）。
第八章 光学信息处理
第八章空间滤波
（1）滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过，阻止其 余频谱。也就是说只让(8.1.2)式中第一项 (aL/d)sinc(L fx) 通过，
狭缝的透过函数,也即系统的相干传递函数，可写为
H(fx
)=
??1 ?
fx
?
1或 L
x1
?
?f
L
??0 fx为其他值 aL
则紧靠狭缝后的透射光场为 T(fx )H(fx )= d sinc(Lfx ) (8.1.5)
于是在输出平面上的场分布为
g(xi
)=F
-
1
?T(fx )H(fx )?=
a d
rect(
xi L
)
(8.1.6)
式(8.1.6)说明所得像分布是一个矩形函数，其xi方向的宽度等于
原光栅的宽度，但内部的结构已消失，光场呈一片均匀。它是背
景光。
空间滤波器的全部过程如图8.1.4所示。
图8.1.4 一维光栅经
滤波的像（透过零 级）(a)在Po面上放 置的一维光栅的透 过率函数(物体)；(b)
频谱面上频谱的光 场分布(物体频谱)； (c)空间滤波器透过 率函数，系统的相 干传递函数与它成 正比(滤波函数)；(d)
经滤波以后的频谱， 即成像的频谱（滤 波后的谱）;(e)像平 面Pi上的输出光场 分布（输出像）。
8.1.1 阿贝成像理论
应用阿贝成像原理分析显微镜的分辩本领。
设物体是间距为d的光栅，受相干光垂直照明。物体后焦面上有 直径为D的孔径光阑。由傅里叶变换时空间频率的取值与空间坐
标的关系可得，光栅在物镜后焦面上的一级频谱的位置为?? f / d,0 ?
f为物镜的焦距。显然，d越小，一级频谱离开频谱面中心的距离
空间滤波的原理与应用
空间滤波的原理与应用1. 空间滤波的概念空间滤波是数字图像处理中一种常见的技术，它通过对图像进行像素级别的操作，改善图像质量、增强图像细节、去除图像噪声等。
空间滤波主要是通过应用数学算法，对图像的像素值进行处理，以改变图像的亮度、对比度和细节。
2. 空间滤波的原理空间滤波主要基于图像的局部像素之间的关系进行操作。
它利用图像中的空间邻域的信息来调整像素值，从而改变图像的特征。
常用的空间滤波方法包括均值滤波、高斯滤波和中值滤波。
2.1 均值滤波均值滤波是最简单的一种空间滤波方法。
它通过计算像素周围的邻域均值来代替像素值。
均值滤波可以有效地去除图像噪声，但会模糊图像细节。
2.2 高斯滤波高斯滤波是一种利用高斯函数对图像进行滤波的方法。
它通过计算像素周围邻域的加权平均值来代替像素值。
高斯滤波能够平滑图像并保持细节，通常被用于降低图像的噪声和平滑图像。
2.3 中值滤波中值滤波是一种基于排序统计的滤波方法。
它通过将像素邻域的像素值排序，取中间值作为像素值进行替代。
中值滤波能够有效地去除图像中的椒盐噪声和斑点噪声，但对图像细节存在一定的破坏。
3. 空间滤波的应用3.1 图像去噪空间滤波在图像去噪中有广泛的应用。
根据图像中所存在的噪声类型不同，可以选择不同的空间滤波方法进行去噪处理。
例如，对于高斯噪声，可以选择高斯滤波进行去噪；对于椒盐噪声，可以选择中值滤波进行去噪。
3.2 图像增强空间滤波还可以用于图像增强。
通过调整滤波器的参数或选择不同的滤波器，可以改变图像的亮度、对比度和细节，使图像更加清晰和鲜明。
3.3 图像分割空间滤波在图像分割中也有重要的应用。
通过对图像进行滤波处理，可以强化图像的边缘特征，从而帮助实现图像分割任务。
常用的边缘检测滤波器包括Sobel滤波器和Laplacian滤波器。
3.4 图像平滑空间滤波还可以用于图像平滑。
图像平滑主要是为了去除图像中的噪声和干扰，使图像更加平滑和连续。
常用的平滑滤波器包括均值滤波、高斯滤波和中值滤波。
空间滤波的实验原理是
空间滤波的实验原理是空间滤波是一种图像处理技术，用于图像降噪、锐化等应用领域。
其实验原理可以从以下几个方面解释。
1. 图像表示：图像是由一个个像素点组成的二维矩阵，其中每个像素点包含亮度信息。
在进行空间滤波前，需要将图像进行灰度化操作，将彩色图像转化为黑白图像。
2. 滤波器：空间滤波的核心是滤波器，也称为卷积核。
它是一个小矩阵，用于对图像的每个像素点进行操作。
滤波器中的数值称为权重，决定了每个像素点受到滤波器的影响程度。
滤波器的大小决定了影响像素点的范围，常见的滤波器有3x3、5x5等。
3. 滤波原理：空间滤波的原理基于图像中局部像素之间的相关性。
通过将每个像素与其周围像素加权求和，可以对图像进行平滑或锐化处理。
具体操作是将滤波器沿图像的每个位置进行平移，将滤波器与图像的对应位置进行元素乘积，再将乘积结果相加得到输出图像的像素值。
4. 常用滤波器：- 均值滤波器：滤波器中的权重均为1，用于平滑图像、去除噪声。
计算每个像素周围邻居像素的平均值，并将结果作为输出图像的像素值。
- 中值滤波器：滤波器中的权重根据周围像素的亮度进行排序，将中间值作为输出图像的像素值。
适用于去除椒盐噪声等。
- Sobel滤波器：用于边缘检测，通过计算每个像素点在X和Y方向上的亮度梯度，来检测图像中的边缘。
5. 实验步骤：- 载入图像：选择一个需要处理的图像，载入到图像处理软件中。
- 灰度化：将图像转化为黑白图像，每个像素点只包含亮度信息。
- 选择滤波器：根据需求选择合适的滤波器，比如均值滤波器、中值滤波器、Sobel滤波器等。
- 滤波处理：将滤波器沿图像的每个位置进行平移，与图像对应位置的像素进行乘积累加，得到输出图像的像素点。
- 保存结果：将处理后的图像保存，用于后续分析或展示。
6. 实验效果评估：根据实际需求，可以使用定量或定性的方法评估实验效果。
常见的评估指标包括峰值信噪比（PSNR）、结构相似性指数（SSIM）等。
空间滤波系统的基本原理
空间滤波系统的基本原理
空间滤波系统的基本原理是根据空间域中的像素点与其周围像素点的灰度值关系，对图像进行滤波处理，以改善图像的质量或提取感兴趣的图像特征。
空间滤波系统通常包括以下步骤：
1. 图像采样：将连续的图像转换为离散的像素点表示。
2. 图像卷积：对每个像素点，用其周围像素点的灰度值与一组滤波器进行卷积运算。
滤波器通常是一组权重矩阵，用于对像素点进行加权平均或加权求和。
3. 灰度变换：对卷积结果进行灰度变换操作，以调整图像的对比度或亮度等特征。
4. 图像重建：根据卷积和灰度变换的结果，重建图像并进行显示或进一步处理。
空间滤波系统的关键是设计和选择合适的滤波器。
常用的滤波器有平滑滤波器、边缘检测滤波器和锐化滤波器等。
平滑滤波器用于去除图像中的噪声，边缘检测滤波器用于检测图像中的边缘，锐化滤波器用于增强图像的细节。
空间滤波系统的性能可以通过滤波器的大小、权重矩阵以及滤波器的数量等参数进行调整。
不同的滤波器参数可以产生不同的滤波效果，以满足不同的应用需求。
信息光学习题答案
信息光进修题答案之杨若古兰创作第一章 线性零碎分析1.1 简要说明以下零碎是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx dx g =（2）()();⎰=dx x f x g（3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变.1.2 证实)()exp()(2x comb x j x combx comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证实：右边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ当n 为奇数时，右侧＝0，当n 为偶数时，右侧＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，摆布两边相等.1.3 证实)()(sin x comb x =ππδ证实：根据复合函数方式的δ函数公式式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '暗示)(x h 在i x x =处的导数.因而1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积.解：设卷积为g(x).当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， 当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g1.5 计算以下一维卷积. （1）⎪⎭⎫⎝⎛-*-21)32(x rect x δ （2）⎪⎭⎫⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x rect x rect（3）)()(x rect x comb *解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ（2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示， 当0 < x 时，如图题1.2(b)所示即⎪⎭⎫ ⎝⎛∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb1.6 已知)exp(2x π-的傅立叶变换为)exp(2πξ-，试求 （1）(){}?exp 2=-℘x（2）(){}?2/exp 22=-℘σx解：设ξππ==z x y , 即{})exp()exp(22πξπ-=-℘y 由坐标缩放性质{}⎪⎭⎫ ⎝⎛=℘b a F ab by ax f ηξ,1),( 得（1）(){}{})exp()exp(/exp(exp 22222ξπππππ-=-=-℘=-℘z y x（2）(){}(){}22222/exp 2/exp πσσy x-℘=-℘1.7 计算积分.（1）()⎰∞∞-=?sin 4dx x c （2）()⎰∞∞-=?cos sin 2xdx x c π解：利用广义巴塞伐定理可得 （1）32)1()1()()()(sin )(sin 10201222=-++=ΛΛ=⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 21.8 利用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变换. 解：{}{}{}⎪⎭⎫⎝⎛*=℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c当2123-<≤-ξ时，如图题1.3(a)所示，当2121<≤-ξ时，如图题1.3(b)所示，当2321<≤ξ时，如图题1.3(c)所示，2G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知 1.9 设()()x x f β-=exp ，0>β，求解：{}⎰⎰∞∞---+-=-℘0)2exp()exp()2exp()exp()exp(dxx j x dx x j x x πξβπξββ1.10 设线性平移不变零碎的原点呼应为()()()x step x x h -=exp ，试计算零碎对阶跃函数()x step 的呼应.解：由阶跃函数定义⎩⎨⎧<>=0,00,1)(x x x step 得线性平移不变零碎的原点呼应为 所以零碎对解阶跃函数()x step 的呼应为1.11 有两个线性平移不变零碎，它们的原点脉冲呼应分别为()()x c x h sin 1=和()()x c x h 3sin 2=.试计算各自对输入函数()x x f π2cos =的呼应()x g 1和()x g 2.解：1.12 已知一平面波的复振幅表达式为试计算其波长λ和沿z y x ,,方向的空间频率.解：设平面波的复振幅的表达式可以暗示成以下方式 由题可知，4cos ,3cos ,2cos =-==γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以29=k 波长为2922ππλ==k沿z y x ,,方向的空间频率为1.13 单色平面波的复振幅表达式为求此波在传播方向的空间频率和在z y x ,,方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以暗示成以下方式由题可知，143cos ,142cos ,141cos ===γβαk k k又因为1cos cos cos 222=++γβα 所以1=k波长为ππλ22==k沿z y x ,,方向的空间频率为第三章 光学成像零碎的传递函数3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像零碎点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 绝对于它在原点之值正好改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上呼应h 的第一个零点的半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子解：（1）因为原点的相位为零，因而与原点相位差为π的条件是（2）根据相干成像零碎的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中间位于理想像点)~,~(o o y x式中22y x r +=，而2222~~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=i o i i o i dy y dx x λληξρ （1）在点扩散函数的第一个零点处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即a o 61.0=ρ (2)将(2)式代入(1)式，并留意观察点在原点)0(==i i y x ，因而得ad r oo λ61.0=(3)（3）根据线性零碎理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献)0,0;,(o o y x h .按照上面的分析，如果略去h 第一个零点之外的影响，即只考虑h 的地方亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近a d r o o /61.0λ=范围内的小区域.当这个小区域内各点的相位因子]2/exp[2o o d jkr 变更不大，而降它弃去.假设小区域内相位变更不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上请求，则16/,162/22o o o o d r d kr λπ≤≤，也即od a λ44.2≥ （4）例如λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥，明显这一条件是极易满足的.3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在图3.1.1所示的成像零碎的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在z x o 平面内，与z 轴夹角为θ.透镜焦距为f ,孔径为D.（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；（3） 若θ采取上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上发生的场为)sin ,exp(0θjkx A ，为确定起见设θ>0，则物平面上的透射光场为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2),()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为因而可知，绝对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴全体平移了sin θ/λ距离.（2）欲使像面有强度变更，至多要有两个频谱分量通过零碎.零碎的截至频率f D c λρ4/=，因而请求 由此得fDf D f o 4sin 4≤≤-θλ （1）θ角的最大值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=fD4arcsin max θ （2）此时像面上复振幅分布和强度分布为（3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得即fD f fD f o o λλ22max =≤或(3)θ＝0时，零碎的截止频率为f D c λρ4/=，是以光栅的最大频率fD f c o λρ2max == (4)比较(3)和(4)式可知，当采取倾角的平面波照明时零碎的截止频率提高了一倍，也就提高了零碎的极限分辨率，但零碎的通带宽度不变.3.3 光学传递函数在0==ηξ处都等于1，这是为何？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学零碎真的实现了点物成点像，这时候的光学传递函数如何？解：在⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ （1）式中，令⎰⎰∞∞-=iiiiIi i I i i dydx y x h y x h y x h ),(),(),(为归一化强度点扩散函数，是以(1)式可写成 而⎰⎰∞∞-==ℵii i i dy dx y x h ),(1)0,0(即不考虑零碎光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着即是归一化点扩散函数的意义.（2）不克不及大于1.（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即零碎对任何频率的传递都是无损的.3.4 当非相干成像零碎的点扩散函数()i i I y x h ,成点对称时，则其光学传递函数是实函数.解：因为),(i i I y x h 是实函数而且是中间对称的，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *=，),(),(i i I i i I y x h y x h --=，利用光学传递函数的定义式易于证实),(),(ηξηξ*ℵ=ℵ，即),(ηξℵ为实函数 3.5 非相干成像零碎的出瞳是由大量随机分布的小圆孔构成.小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这类零碎可用来实现非相干低通滤波.零碎的截止频率近似为多大？解：用公式0),(),(S S ηξηξ=ℵ来分析.首先，因为出瞳上的小圆孔是随机排列的，是以不管沿哪个方向挪动出瞳计算堆叠面积，其结果都一样，即零碎的截止频率在任何方向上均不异.其次，作为近似估计，只考虑每个小孔本身的堆叠情况，而不计及和其它小孔的堆叠.这时候N 个小孔的堆叠面积除以N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的堆叠情况是一样的，即截至频率约为i d a λ/2，因为2a 很小，所以零碎实现了低通滤波.第四章 部分相干理论4.1 若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证实：λλ∆=∆v v .设光波波长为nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ，试计算它的频宽Δν = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，则相干长度?=c l证实：因为频率与波长的关系为 λv c =(其中c 为光速) 对上式两边求导得 0=+=dv vd dc λλ所以 λλλλλλ∆=∆⇒∆-=∆⇒-=v v v v d vdv 因nm nm 8102,8.632-⨯=∆=λλ 所以 赫4105.1⨯=∆v有因为相干长度 c c ct l =4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ的钠双线，每一谱线的宽度为0.01nm .（1）试求光场的复相干度的模；（2）当挪动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？ （3）可见度有几个变更周期？每个周期有多少条纹？ 解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为（1）光场的复相干度为式中12v v v -=∆，复相干度的模为因为，故第一个因子是τ的慢变更非周期函数，第二个因子是τ的快变更周期函数.相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出此刻v c δτ/1=的地方，τc 即为相干时间，故相干长度(2) 可见到的条纹总数589301.05893===δλλλcl N（3）复相干度的模中第二个因子的变更周期 v ∆=/1τ，故可见度的变更周期 601.06==∆=∆==δλλδττv v n c每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3 假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡.其归一化功率谱密度可暗示为式中，Δν是纵模间隔，v 为中间频率.为简单起见，假定N 为奇数.（1）证实复相干度的模为（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，画出()τγ与Δντ的关系曲线.（1）证实：复相干度函数为⎰∞ℑ=0)2exp()(ˆ)(dv v j v τπτγ 得所以复相干度得模为)sin()sin()(τπτπτγv N v N ∆∆=（2）当N=3时，复相干度的模为4.4 在例4.7.1所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a ，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数.解：利用范西泰特－策尼克定理得4.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z 的平面上任意两点P 1和P 2之间的复相干系数μ(P 1 ,P 2) .解：设光源所在平面的坐标为α ，β；孔平面的坐标为x ,y.点P 1和P 2的坐标为(x 1 ,y 1)和(x 2 ,y 2).对于准单色点光源，其强度可表为在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得因为1),(21=P P μ,由点光源发出的准单色光是完整相干的，或者说x,y 面上的相干面积趋于无穷大.第六章 计算全息6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm ，最高空间频率为5线/mm ，为了建造一张傅里叶变换全息图：(1) 确定物面抽样点总数.(2) 若采取罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(3) 若采取批改离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何分歧？缘由是什么？解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是无限的.设物面的空间尺寸为Δx,Δy；频宽为2B x,2B y.根据抽样定理，抽样间距δx,δy必须满足δx≤1/2B x, δy≤1/2B y才干使物复原.故抽样点总N(即空间带宽积SW)为(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的地位来编码物光波在该点的振幅和相位.根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即410=SWN.要建造傅里叶变换全息图，为=了不丢失信息，空间带宽积应坚持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为410N.=(3)对于批改离轴参考光的编码方法，为满足离轴的请求，载频α应满足α≥B x为满足建造全息图的请求，其抽样间隔必须满足δx≤1/2B x, δy≤1/2B y.是以其抽样点数为(4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在批改离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数.批改离轴加偏置量的目的是使全息函数酿成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，是以不存在地位编码成绩，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便.但因为加了偏置分量，添加了记录全息图的空间带宽积，因此添加了抽样点数.防止了相位编码是以添加抽样点数为代价的.6.2 对比光学离轴全息函数和批改型离轴全息函数，说明如何选择载频和建造计算全息图的抽样频率.解：设物的频宽为)2,2(y x B B(1)对于频宽α的选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知，x B 3≥α批改离轴，由图6.2.5(d)可知，x B ≥α载频的选择是为了包管全息函数在频域中各结构分量不混叠.(2)对于建造计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：在x 方向的抽样频率应x B 8≥，即x 方向的抽样间距x B x 8/1≤δ.在y 方向的抽样频率应y B 4≥，即x 方向的抽样间距yB y 4/1≤δ.批改离轴全息，由图6.2.5(e)可知：在x 方向的抽样频率应x B 4≥，即x 方向的抽样间距x B x 4/1≤δ.在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距yB y 2/1≤δ.6.3 一品种似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这类方法在偏置项中加入物函数本人，所构成的全息函数为(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频. (2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频.解：把全息函数重写为物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ=而且归一化的，即1),(max =y x A ，参考光波R ＝1.经过处理后的振幅透过率为 其频谱为(1)设物的带宽为y x B B 2,2，如图题6.3(a)所示.全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频x B 2≥α.(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出：在x 方向的抽样频率应x B 6≥，即x 方向的抽样间距x B x 6/1≤δ.在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距yB y 2/1≤δ.抽样点数即空间带宽积为yx B xyB y yx x SW N 12===δδ.黄氏计算全息图的特点：(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积yx B xyB SW 8=)，不具有降低空间带宽积的长处.(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的请求.6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径方式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径方式中，是如何对振幅和相位进行编码的.解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用x Aδ来编码振幅A(x,y)，用x dδ来编码相位),(y xφ，在复平面上用一个相幅矢量来暗示，如图题6.4(a).对于罗曼Ⅱ型是用两个不异宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔.两矩孔之间的距离x Aδ是变更的，用这个变更来编码振幅A(x,y).在复平面上反映为两个矢量夹角的变更.两个矩孔中间距离抽样单元中间的位移量x dδ用作相位),(y xφ的编码.在复平面上两矢量的合成方向即暗示了),(y xφ的大小，如图题6.4(b)所示.第八章空间滤波8.1 利用阿贝成像道理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较.解：显微镜是用于观察浅笑物体的，可近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点上.设物镜直径为D，焦距为f，如图8.1所示.对于相干照明，零碎的截止频率由物镜孔径的最大孔径角θo决定，截止频率为λθ/sino.从几何上看，近似有fDo2/sin≈θ.截止频率的倒数的倒数即为分辨距，即Dfocλθλδ2sin==对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距为oθλδsin 61.0=非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍.8.2 在4f 零碎输入平面放置40mm -1的光栅，入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至多能够获得±5级衍射斑，而且相邻衍射斑间距不小于2mm ，求透镜的焦距和直径.解：设光栅宽度比较大，可近似看成无量，设周期为d ，透光部分为a ，则其透过率函数可表为()⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛=-*⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m1)(111δ其频谱为{}∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=℘=m m d m d m a c d a d m a c d a d com b a c a d x com b d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111即谱点的地位由d m f x //2==λξ决定，即m 级衍射在后焦面上的地位由下式确定：d f m x /λ=相邻衍射斑之间的间距 d f x /λ=∆由此得焦距f 为)(7910632840/27mm xdf =⨯=∆=-λ物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足d D 52/1sin ===λλλθξ因而求得透镜直径)(201010mm x dfD =∆==λ8.3观察相位型物体的所谓中间暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个粗大的不透明光阑以反对非衍射的光.假定通过物体的相位延迟<<1弧度，求所观察到的像强度(用物体的相位延迟暗示出来).解：相位物体的透过率为),(1)],(exp[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+℘=j y x j T 若在谱平面上放置粗大的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频布景分量，则透过的频谱为),(),(ηξηξΦ=j T M 再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得),(),(3333y x j y x t Mφ=强度分布为是以在像面上得到了反比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的.不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难.8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分接收，其强度透射率等于α (0< α <1)时，求观察到的像强度暗示式.解：相位物体的频谱为此刻用一个滤波器使零频减弱，同时使高频发生一个±π/2的相移，即滤波器的透过率表达式为⎩⎨⎧==±=其它的小范围内在,10,),(ηξαηξj H因而),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H T M 像的复振幅分布为),(),(3333y x j j y x t Mφα+±=像强度分布为),(2),(),(2),(),(),(33233233223323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析.8.5用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为0.2mm ，图像最高空间频率为10mm -1.如欲完整去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的外形和尺寸该当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f ＝1000mm ,λ=632.8nm).解：扫描点的表达式为()∑∑--=mnny y mx x y x f 010111,),(δ其频谱为∑∑∑∑∑∑--=--=+-=mnmnmny n f y x m f x y x yn x m y x ny mx j F ),(1)/,/(1)](2exp[),(02020000000λλδηξδηξπηξ在上式的化简中利用了公式∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=±n n a n x a nax j δπ1)2exp( 因而可知，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离分歧.扫描点频谱出现的地位为0202,y n f y x m f x ==λλ点状结构是高频，所以采取低通滤波将其滤掉.低通滤波器圆孔半径为)(164.32.01000106328702mm x fx r =⨯⨯===-λ能传递的最高空间频率为mm x x f f f r /1511sin 00==•===λλλλθξ即高于5 1/mm 的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为5 1/mm.8.6 某一相干处理零碎的输入孔径为30m m ×30mm 的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm ，波长是632.8nm.假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱比拟较，问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到零碎孔径无限，普通用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030),(y rect x rect y x P设零碎的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为),(11y x f ，它的频谱分布为),(ηξF ，透镜后焦面上的场分布)](2exp[)30(sin )30(sin ),(9003030),(),(221111y x j c c F C y rect x rect y x f C U f ηξπηξηξηξ+*'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛℘'=式中f y f x ληλξ/,/22==.由f U的表达式可见，频谱面上能分辨的细节由)30(sin ξc )30(sin ηc 决定.取一个方历来看，将sinc 函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即请求满足1/301302=∆=∆fxλξ或，因而有mmmfxμλ1.2)(101.23010010632830372=⨯=⨯⨯==∆--因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不答应超出它的一半，约1μm.第九章相干光学处理9.1参看图9.1.1，在这类图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分和不透光部分间距分别为a和b，而且a≠b.试证实图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制.解：如图题9.3所示，先将t (x)睁开成傅立叶级数∑∞=++++=12sin2cos2)(nnn baxnbbaxnaaxtππ式中,2cos)(2)(sin2,)(2)(cos2sin222=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==+=nnbnnbabannnbabannnaRbaaa偶奇ππππππ所以2100)(2cos )(2)(sin 2cos 2)(2cos )(2)(cos 2sin 2)(R R R b a x n b a b a n n n b a x n b a b a n n n R x t ++=++-+++-+=∑∑ππππππππ第一次曝光得210)(R I R I R I x t I A A A A ++=对因而)(x t '将光栅向x 的负方向挪动半个周期即(a+b) /2，将它睁开成傅立叶级数得第二次曝光得120210)())(()(R I I R R I I R I R I R I x t I B A B A B B B B -++++-=总曝光量＝即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制.9.2 用Vander Lugt 方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)的“旌旗灯号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用拍照底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率反比于曝光量.如许制得的透明片放在图题9.1(右)的零碎中，假定鄙人述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d 应为多少，才干综合出：（1）脉冲呼应为s(x,y)的滤波器？（2）脉冲呼应为s * (x,y)的“匹配”滤波器？解：（1）参看图题9.1左，设物面坐标为x 1, y 1；胶片坐标为x 2,y 2.则参考光波在记录胶片上形成的场分布为)2exp(),(222y j A y x U r πα-= （1）式中A 为常数，α ＝sin θ/λ为空间频率.物透明片在记录胶片上形成的场分布为),()(exp ),(2222221ηξλπS y x f j C y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=式中S(ξ,η)为s(x 1, y 1)的频谱，且ξ＝x 2/λf ，η=y 2/λf.胶片上的光强分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+=*22222222222222221222222exp ),(22exp ),(),(),(),(),(y f y x j CAS y f y x j CAS S C A y x U y x U y x I r αλπηξαλπηξηξ (2)将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率反比于照耀光的强度，即),(),(2222y x I y x t ∝ （3）将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示的滤波零碎中.要综合出脉冲呼应s(x , y)或s *(-x , -y)，只需考察当输入旌旗灯号为单位脉冲δ (x , y) 时，在什么条件下零碎的脉冲呼应为s(x , y)或s *(-x , -y).参看右图，当输入旌旗灯号为δ (x 1 , y 1)时，在L 2的后焦面上构成的光场复振幅分布，根据公式[]⎰⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-'=oo o o o o o o o o o dy dx fd d f q y y x x f jk y x t fd d f q y x d f jk c y x U )()(exp ),()(2))((exp ),(22得)4(212exp )(2exp ),(212exp ),(2222111212112222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-f y x f d j dy dx y y x x f j y x f y x f d j y x U λπλπδλπ透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得)5(222exp ),(22exp ),(212exp ]),([),(),(),(2222222222*22222222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∝='y f y x f d j CAS y f y x f d j CAS f y x f d j S C A y x t y x U y x U αλπηξαλπηξλπηξ如果要使零碎是脉冲呼应为s(x ,y)的滤波器，该当利用(5)式中含有S(ξ,η)的第三项，应请求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f (6)这时候的输出为（在反演坐标系中）),(),(33333f y x S y x U αλ+= （7）（2）若要使零碎的脉冲呼应为s *(-x , -y)的匹配滤波器，该当利用(5)式中的第二项，请求d=0，则在输出面上构成的光场复振幅分布为（在反演坐标系中）)](,[),(33333f y x s y x U αλ---=* （8）9.3振幅透射率为h(x,y)和g(x,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中间位于坐标（x = 0, y=Y/2）和(x =0, y = -Y/2)上，如图题9.2所示，把透镜后焦面上的强度分布记录上去，由此制得一张γ为2的正透明片.把显影后的透明片放在同一透镜之前，再次进行变换.试证实透镜的后焦面上的光场振幅含有h 和g 的互相干，并说明在什么条件下，互相干可以从其它的输出分量平分离出来.解：拜见图题9.2，设用单位振幅的平面波垂直照明两张振幅透过率为),(11y x h 和),(11y x g 的输入透明片，则透过两张透明片的光场的复振幅分布在透镜L 2的后焦面上构成的强度分布为(略去了二次相位因子))2exp(),(),()2exp(),(),(),(),()2,()2,(),(222111122ηπηξηξηπηξηξηξηξY j G H Y j G H G H Y y x g Y y x h y x I -+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-℘=** （1）式中f y f x ληλξ/,/22==.用拍照胶片记录(1)式所表达的强度分布，从而可制得γ＝2的正透明片，它的复振幅透过率为),(),(2222y x I y x t β= （2）将制得的正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，若同样用单位振幅的单色平面波垂直照明，则透过透明片光场的复振幅分布在透镜后焦面构成的光场的复振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐标系中可暗示为(3)第三项和第四项是h 和g 的互相干，只是中间分别在(0, -Y)和(0, Y).设函数h 在y 3方向的宽度为W h ，函数g 在y 3方向的宽度为W g ，而且假定gh W W ≥，则由(3)式所表达的U 中各项在x 3y 3平面上所处的地位，要使自相干和互相干分开，明显应满足gh W W Y 2123+≥9.4在拍照时，若相片的模糊只是因为物体在曝光过程中的匀速直线活动，活动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm.试写出形成模糊的点扩展函数h(x,y)；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器的透过率函数.解：因为匀速活动，一个点便模糊成了一条线段，并考虑到归一化，具有模糊缺陷的点扩散函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.05.011x rect a x rect a h I带有模糊缺陷的传递函数为)5.0(sin )(sin 1)(ξξξc a c a x rect a H c ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛℘=滤波函数的透过率为)5.0(sin /1)(/1)(ξξξc H H c ==。
空间滤波
空间滤波⏹空间滤波基础⏹平滑空间滤波器⏹锐化空间滤波器⏹混合空间增强法⏹上次Matlab报告中老师留的问题1. 空间滤波机理在图像像素上执行的是线性操作，则该滤波器称为线性空间滤波器；否则，滤波器就称为非线性空间滤波器。
在图像中的任意一点（x,y), 滤波器的响应g(x,y),是滤波器系数与由该滤波器包围的图像像素的乘积之和：g(x,y)=w(-1,-1)f(x-1,y-1)+w(-1,0)f(x-1,y)+...+w(0,0)f(x,y)+...+w(1,1)f(x+1,y+1)一般来说，使用大小为m*n的滤波器岁大小为M*N的图像进行线性空间滤波，可由下表示：其中，x和y是可变的。
∑∑-=-=++=aasbbttysxftswyxg),(),(),(空间滤波基础（续）左图显示了，使用大小3*3滤波器模板的线性空间滤的机理。
表示滤波器模板系数坐标所选择的形式简化了线性滤波的表达式。
空间滤波基础（续）2. 空间相关与卷积相关：滤波器模板移过图像并计算每个计算位置乘积之和的处理。
一个大小为m*n 的滤波器w(x,y)与一幅图像f(x,y)做相关操作。
公式总结如下：卷积：卷积的机理相似，但滤波器首先要旋转180度。
类似地，w(x,y)和f(x,y)的卷积表示为w （x,y ）★f(x,y)。
公式总结如下：∑∑-=-=++=a a s bb t s y t x f t s w y x y x w ),(),(),(f ),(☆∑∑-=-=++=a a s bb t s y t x f t s w y x y x w ),(),(),(f ),(★空间滤波基础（续）空间滤波基础（续）3. 线性滤波的向量的表示R=w 1z 1+w 2z 2+...+w mn z mn = =w T z 其中w 项是一个大小为m*n 的滤波器的系数，Z 为由滤波器覆盖的相应图像的灰度值。
kk mnk z w ∑=1平滑空间滤波器平滑滤波器用于模糊处理和降低噪声1. 平滑线性滤波器平滑线性空间滤波器的输出（响应）是包含在滤波模板邻域内的像素的简单平均值。
XXGX第8章 空间滤波
sinc
⎡ ⎢⎣
L
⎛ ⎜⎝
u
−
m d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
L>>d 时，可忽略 各项之间的交叠
=
aL d
⎧ ⎨sinc
(
Lu )
⎩
+
sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
sinc
⎡ ⎢⎣
L
⎛ ⎜⎝
u
−
1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+
sinc
⎛ ⎜⎝
a d
⎞ ⎟⎠
sinc
⎡⎢⎣ L
⎛ ⎜⎝
u
+
1 d
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
+ L⎫⎬ ⎭
解：(可能与教材略有不同)
设两个输入图像分别用f1(x,y)和f2(x,y)表示，由给定条件可知，整个输入图象
为：
t(x1, y1) = f1(x1 − a, y1) + f2 (x1 + a, y1)
单位振幅T平(u面, v波)垂=直F照1(射u,输v)入e面xp，[频−谱j2为π au] + F2 (u, v) exp[ j2π au]
滤波后的频谱：
T '(u,v) = T(u,v)H(u,v) = {F1(u,v)exp[− j2π au]+ F2(u,v)exp[ j2π au]}
[1+ cos(2π au)] 21
T '(u,v) = F1(u,v) exp[− j2π au]+ F2(u,v)exp[ j2π au]
+ (1/ 2)[F1(u,v) + F2(u,v)]
δ
(u
+
空间滤波实验-图文
空间滤波实验-图文0引言《光信息技术》是光信息科学与技术、测控技术与仪器、电子信息工程专业的一门专业课。
光学信息处理技术是近20多年来发展起来的新的研究领域，在现代光学中占有重要的位置。
光学信息处理可完成对二维图像的识别、增强、恢复、传输、变换、频谱分析等。
从物理光学的角度，光学信息处理是基于傅里叶变换和光学频谱分析的综合技术，通过在空域对图像的调制或在频域对傅里叶频谱的调制，借助空间滤波的技术对光学信息（图像）进行处理。
即通过有意识地改变像的频谱，使像实现所希望的变化。
在阿贝成像理论的教学中，单纯依靠数学推演来讲解，效果不好，特别是空间频率、空间滤波等概念的形成有一定的困难。
虽然可以通过空间滤波实验来加强教学效果，但由于受仪器、场地等方面的限制，实验现象不太理想。
为此，我们在原有的实验基础上设计出空间滤波实验与计算机模拟实验相结合,可以获得较好的教学效果。
1.设计原理及思想1）设计原理光学信息处理的理论基础是阿贝（Abbe）二次衍射成像理论和著名的阿贝－波特（Abbe－Porter）实验。
根据阿贝成像原理，相干光学成像过程可分为两步：第一步称为分频过程，即从物平面到光源的共轭像平面或称频谱面，由输入的物作为衍射屏对照射光波产生夫琅和费衍射；第二步称为合频或频谱综合过程，即从频谱面到输入物的共轭像平面，被分解的频谱成分经进一步的衍射后再次叠加形成输入物的共轭像。
按照傅里叶变换理论，两步成像过程实际上是光学系统对携带输入物信息的二维光场的复振幅分布进行的两次傅里叶变换过程。
典型的光学信息处理系统为如图1所示的4f傅里叶变换系统：输入平面P1（即物平面）位于透镜L1的前焦平面，输出平面P3（即像平面）位于透镜L2的后焦平面。
透镜L1和L2分别起分频（傅里叶变换）和合频（逆傅里叶变换）作用。
P2为频谱面，在频谱面上作的光学处理就是空间滤波。
最简单的方法是用各种滤波器对衍射斑进行取舍，达到改造图像的目的。
空间滤波的原理及应用
空间滤波的原理及应用1. 引言空间滤波是一种常见的图像处理方法，用于增强图像的某些特征或去除图像中的噪声。
本文将介绍空间滤波的原理和应用。
2. 空间滤波的原理空间滤波是基于图像的空间域进行的，它通过对图像的像素进行加权平均或其他特定操作，来改变像素的取值。
主要的空间滤波器有均值滤波器、中值滤波器和高斯滤波器。
2.1 均值滤波器均值滤波器是一种简单的空间滤波方法，它将像素周围邻域的像素值取平均作为该像素的新值。
这种滤波器可以用来平滑图像和去除噪声。
均值滤波器的计算公式如下：NewValue = (sum(Pixels in Neighborhood)) / (Number of Pixels in Neig hborhood)其中，Neighborhood表示像素的邻域，sum表示像素邻域内像素值的总和。
2.2 中值滤波器中值滤波器是一种非线性滤波方法，它将像素周围邻域的像素值进行排序，然后取中间值作为该像素的新值。
中值滤波器可以有效去除图像中的椒盐噪声（黑白两色噪点）。
中值滤波器的计算公式如下：NewValue = Median(Pixels in Neighborhood)其中，Median表示像素邻域内像素值的中值。
2.3 高斯滤波器高斯滤波器是一种基于高斯函数的线性滤波方法，它将像素周围邻域的像素值按照高斯函数进行加权平均。
高斯滤波器可以平滑图像并降低图像的噪声。
高斯滤波器的计算公式如下：NewValue = (sum(Pixels in Neighborhood * GaussianWeights)) / (sum(Ga ussianWeights))其中，GaussianWeights表示高斯函数的权重值。
3. 空间滤波的应用空间滤波在图像处理中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：•图像去噪：空间滤波器可以用来去除图像中的噪声，例如使用均值滤波器可以平滑图像并降低椒盐噪声。
•边缘检测：空间滤波器可以通过增强图像中的边缘特征来检测图像中的边缘。
第八章 空间滤波
a/d
g(x3)
x1
(2)狭缝允许零级和正、负一级频谱通过
透射频谱：
输出平面场分布：
a
Hale Waihona Puke t(x3)dx1 T(x2/λf)
x1
T(x2/λf)H(x2/ λf)
x1
g(x3)
d
x1
（3）滤波面放置双缝，只允许正、负二级谱通过 透射频谱
输出平面上的场分布
（8.1.8）
a
t(x3)
d
x1 T(x2/λf)
8.4 傅立叶变换透镜
傅里叶变换透镜(简称傅里叶透镜)：在光学图像 处理系统中，用于频谱分析的透镜 它是光学信息处理系统中最常用的基本部件． 8.4.1 傅立叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 8.4.2 傅立叶透镜对校正像差的要求 8.4.3傅立叶透镜的结构
8.4.1 傅立叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 1．截止频率
在后焦面上没有该频率成分，测得的频谱强度为零．当传播 方向倾角超过v时，该平面波分量正是这种情况．
在小角度情况下，有 空间频率：
8.4.3 8.4.4
结论：
ξ≤(D-D1)／2λf时，透镜后焦面上可以得到相应的空间 频率成分的物体准确的傅立叶谱；
(D-D1)／2λf ≤ ξ≤(D+D1)／2λf时，透镜后焦面上得到 的并非准确的傅里叶谱，各空间频率成分受到透镜孔 径程度不同的阻挡；
ξ≥(D+D1)／2λf时，透镜后焦面上完全得不到物的傅立 叶谱中的这些高频成分，这是渐晕效应对物的频谱传 播的影响．
从公式可以看出，当傅里叶透镜的孔径增大时，可以 减小这—效应的影响．
2．傅里叶透镜的信息容量——空间带宽积
信息容量可由系统的频带宽度与单频线宽之比来
信息光学CHAP8
当a>d/2时 对应物体上亮的部分变暗， 暗的部分变亮。 图像反转。
2020/5/21
例8.1.1 在图8.1.3系统中，x1 y1 平面上放置正弦光栅，振幅透过 率为
（1）在频谱中央设置一小圆屏，挡住光栅的零级频谱，求像的强 度分布和可见度； （2）移动小圆屏挡住＋1级频谱，像面强度分布和可见度如何？ 解： （1）一般方法 求t(x1)频谱，求滤波后频谱，作逆傅里叶变换求 得像。另一种方法，可以考虑物函数中t0对应直流分量，挡住0级 频谱就相当通过系统的物信息为
2020为在像面上得到输入图像的微分像，问在频谱面上应
放置怎样的滤波器？
解：输入图像的复振幅分布
，其频谱
即
输出
若要使
在没有空间滤波器时有
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通过变换平面的频谱应为 所以滤波器透射函数应为 这种滤波器由两块模片迭合成的，一块是振幅模片， 透过率 另一块为相位掩模，透过率函数
x1y1 平 面 上 有 两 个 图 像 ， 中 心 在 x1 轴
上距原点a 和 -a. 在频谱面上放置一 光栅，其振幅透过率为，
证明 在像面中心可得到两图像的相加。
解：平面上的复振幅分布
物的频谱
，滤波函数
，可看成系统的传递函数，像的复振幅
是
的点扩散函数，即
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像的复振幅
在像的中心得到两图像相加像。
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P2面上场分布为 t (x1 )的傅里叶变换
其中
一般L>>d。在频谱面上放置不同的滤波器，输出
面上得到不同结果。
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（1）加窄缝，只允许零级谱通过
输出面上场分布 是一个带宽L（光栅宽度）， 振幅a/d的方波，恰为光栅的占空比。
空间滤波和相干光学处理
H , A0 exp j ,
对振幅和相位同时起调制作用
空间滤波器
3. 空间频率滤波器结构类型 一、二元滤波器 复振幅透过率为0或1
(d)方向
（1）低通滤波器：只允许位于频谱面中心及附近的低频分量 通过，可以滤掉高频噪音。 （2）高通滤波器：阻挡低频分量而让高频分量通过，可以 实现图像的衬度反转或边缘增强。 （3）带通滤波器：只允许特定区域的频谱通过，可以去除 随机噪音。 （4）方向滤波器：它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过， 可以突出图像的方向特征。
第九章 相干光学处理 9.1 图像相减
图像相加：取相同部分，弃去不同部分 图像相减：取不同部分，弃去相同部分
用于检测两张近似图像之间的差异， 从而研究事物的变化
第九章 相干光学处理 9.1 图像相减 一、空域编码频域解码相减方法
间距为 x0 ，透光部分 与不透光部分相等
1. 编码
第九章 相干光学处理 9.1 图像相减 一、空域编码频域解码相减方法 1. 编码
第八章 空间滤波
4f 系统：
第二节 系统与滤波器
用透镜组合实现傅里叶变换的图像处理系统 最典型的相干滤波系统
f f f f
物平面 P1
L1
焦平面 （频谱面） P2 傅里叶变换透镜
L2
像平面 P3
第八章 空间滤波
2.双透镜系统(1)
第二节 系统与滤波器
傅里叶变换 和成像作用
准直透镜 频谱面 输出面
，滤波函数为：
0
其它
j , H ( , ) 1,
滤波后的频谱：
F ( , ) H ( , ) j ( , ) j ( , )
像面复振幅分布： 像强度分布：
空间滤波
用普通显微镜观察样品， 衬比度极小。 Zernike提出
切片 （物）
e
相位板 i
像
在玻璃片中 相位反衬法：
心滴一小滴厚h 的液体，
2 π nh
放到频谱面上引起 0 级相移：
~ ~ i（x , y） U物 ( x, y) At ( x, y) Ae
A1 i
1873年，德国阿贝二次成象理论与实验—空间滤波 与光学信息处理的先导 1935年，荷兰泽尼克相衬显微术—空间滤波与光学 信息处理的杰出范例 60年代，Cutrona对综合孔径雷达数据处理、1963年 Vander Lugt全息滤波器、1965年Lohmann和Brown计算 全息图—空间滤波与光学信息处理的蓬勃发展时期
光学强有力的数学手段— 付氏分析， 给了数学上的付氏变换的运算提供了一个新 技术— 光学计算术。 一个透镜就是一个光学模拟计算机。 光学模拟计算机的优点：
1）能直接处理连续函数，不需要抽样离散化… 2）能直接处理二元函数 f (x , y)。 3）是并行输入，光束交叉可独立传播。 4）速度快，不受电路时间常数 RC 的限制。 5）装置简单，价格低。
这样：
I ( x, y) 1 2 ( x, y)
于是像的光强中就更加突出了相位的变化。 Zernike 因此获得了1953年诺贝尔物理奖。
普通显微镜（左）和相衬显微镜拍摄的硅藻照片
三 复数滤波器－图象识别和消模糊
复数滤波器制作：1963年Vander Lugt全息方法制作 L1 P
滤波函数为
T ( f x ) j 2f x
fx可取正、负两值。 为实现负值，可将两块模片叠合，一块是振幅模片 ，其透过率为 T1 ( f x ) 2f x 另一块是相位模片，做成在的正范围和负范围中， 其相位差为的相位掩模，其透过率函数为
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在小角度情况下，有
8.4.3
空间频率：
8.4.4
结论：
ξ≤(D-D1)／2λf时，透镜后焦面上可以得到相应的空间 频率成分的物体准确的傅立叶谱； (D-D1)／2λf ≤ ξ≤(D+D1)／2λf时，透镜后焦面上得到 的并非准确的傅里叶谱，各空间频率成分受到透镜孔 径程度不同的阻挡； ξ≥(D+D1)／2λf时，透镜后焦面上完全得不到物的傅立 叶谱中的这些高频成分，这是渐晕效应对物的频谱传 播的影响． 从公式可以看出，当傅里叶透镜的孔径增大时，可以 减小这—效应的影响．
低通滤波器
带通滤波器
正交光栅上污点的清除：
设正交光栅的透过率为t0(x0,y0), 其上的污点设为g(x0, y0)边框为φ(x0,y0) 输入面光振幅为 则频谱面
方向滤波器
1，印刷电路中掩模疵点的检查
2，组合照片中接缝的去除
3，地震强信号的提取
8.3 空间滤波的应用举例
策尼克相衬显微镜
补偿滤波器
滤波后的频谱 8.3.3 像面复振幅分布 8.3.4 强度分布 8.3.5 ① 取+ ② 取Φ↑ I ↑ 正相衬 Φ↑ I ↓ 负相衬
由于直接透射光相对于衍射光太强，像的对比度很低．如果使零级衍 射光产生相移的同时，受到部分衰减，可以提高像衬度，更有利于观察。 这种方法还可以用于观察金相表面、抛光表面以及透明材料不均匀性 检测等。 相衬显微镜是空间滤波技术早期最成功的应用。
a
t(x3)
d
x1
T(x2/λf)
x1
T(x2/λf)H(x2/ λf)
x1
g(x3)
d
x1
（3）滤波面放置双缝，只允许正、负二级谱通过 透射频谱
输出平面上的场分布
（8.1.8）
a
t(x3)
d
x1
T(x2/λf)
x1
T(x2/λf)H(x2/ λf)
x1
d/2
g(x3)
x1
（4）频谱面放置小圆屏挡住零级谱，其余可通过 透射频谱
根据透镜前后两个焦面互为傅里叶变换关系的理论，为了 获得严格的傅里叶变换，多把被处理面(输入面)置于透镜的 前焦面，而频谱面(滤波面)置于相应的后焦面，如图
假设物函数被一个直径为D1=2h的孔径限制，傅里叶透镜的 直径为D，并且设D>D1．现在我们来研究傅里叶透镜后焦 面上频谱的强度分布．
渐晕:傅里叶透镜的有限孔径对于物面空间频率成分传播的限 制． （1）仅当某一方向上的平面波分量不受拦阻地通过傅里叶透镜 时，在透镜的后焦面上相应会聚点测得的强度才准确代表物相应 空间频率的模的平方．
从图上看出止频率的表达式为ξ＝(D—D1)／2λf 则通带宽度 8.4.6 另一方面，有限尺寸的正弦信息有一定的衍射发散角
相衬显微镜的原理
P1平面，物体复振幅透过率为
8.3.1
假定相移Φ《1弧度，则可忽略Φ2及更高阶的项，于是复 振幅透射率可以近似写成 8.3.2
物光波： 强的直接透射光
弱衍射光 相位起伏造成 一个普通的显微镜对上述物体所成的像， 其强度可写成 衍射光观察不到的原因：它与很强的本底之间相差900。 所以 改变相位正交关系光叠加时产生干涉产生可观察的 像强度变化。 直接透射光在谱面上将会聚成轴上的一个焦点，而衍射光由于 包含较高的空间频率而在谱面上较为分散．由于这两部分信息 在空间频域通道上的分离，因此可在谱面放置相位滤波器，使 零频的相位相对于其它频率的相位改变±π／2． 滤波函数
在小角度情况下(即D1,D<<f)，满足这一要求的平面波分量的传 播方向角u最大为 8.4.1
因透镜是圆形孔径，在圆周方向上都有相应的最 大空间频率（截止频率）： 8.4.2
可见：所测得的强度准确代表了物的傅里叶谱的 模的平方的最大空间频率表达式，即截止频率表 达式
（2） 当其一方向传播的平面波分量完全被透镜孔径拦阻时，
第八章
空间滤波
空间滤波的目的是通过有意识地改变像 的频谱，使像产生所希望的变换。 光学信息处理主要是用光学方法实现对 输入信息的各种变换或处理。
8.1 空间滤波的基本原理
8.1.1 阿贝成像理论 8.1.2 空间滤波的傅2.1 空间滤波系统 8.2.2 空间滤波器
8.3 空间滤波应用举例
频谱面上放置不同滤波器，输出面上像场的变化
（1）滤波器相当宽度的窄缝只允许零级谱通过
狭缝后透射光场分布：
8.1.3
输出平面光场分布：
8.1.4
a
t(x3)
d
x1
T(x2/λf)
x1
T(x2/λf)H(x2/ λf)
x1
a/d
g(x3)
x1
(2)狭缝允许零级和正、负一级频谱通过
透射频谱：
输出平面场分布：
根据透过率函数的性质，空间滤波器可以分为以 下几种： 1，二元振幅滤波器 2，振幅滤波器 3，相位滤波器 4，复数滤波器
1，二元振幅滤波器
这种滤波器的复振幅透过率是o或1．由二元滤波所作 用的频率区间又可细分为： （1）低通滤波器：只允许位于频谱面中心及其附近的 低频分量通过，可以用来滤掉高频噪音． （2）高通滤波器：阻挡低频分量而允许高频通过，可 以实现图像的衬度反转或边缘增强． （3）带通滤波器：只允许特定区间的空间频谱通过， 可以去除随机噪音． （4）方向滤波器：阻挡(或允许)特定方向上的频谱分 量通过，可以突出某些方向性特征·
8.3.2 补偿滤波器
50年代初期，麦尔查认为，照片中的缺陷，是由于成像系 统的光学传递函数中存在相应缺陷引起的。 频谱平面上放置适当的滤波器，使得滤波器的传递函数补 偿原来系统传递函数的缺陷，则两者的乘积产生一个较为满 意的频率响应，于是照片的质量将得到部分改善． 假定成像缺陷是由于成像系统严重离焦引起的，则在几何 光学近似下．离焦系统的脉冲响应是一个均匀的圆形光斑， 即点扩散函数为 8.3.6
2,典型滤波系统二（双透镜系统）
透镜L1：准直透镜， 透镜L2：同时起傅里叶变换和成像作用， 频谱面在L2的后焦面上， 输出平面P3位于Pl的共扼像面处． 特点：结构简单，但P2面上的物频谱不是准确的傅立叶变换
3,典型滤波系统三（双透镜系统）
L1：既是照明透镜又是傅里叶变换透镜．照明光源s与 频谱面是物象共额面， L2：起第二次傅里叶变换和成像作用． 特点：结构简单，可移动物面P1的位置，可改变输入 频谱的比例大小，但P2面上的物频谱不是准确的傅立 叶变换
8.3.1 策尼克相称显微镜 8.3.2 补偿滤波器
8.4 傅立叶变换透镜
8.4.1 傅立叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 8.4.2 傅立叶透镜对校正象差的要求 8.4.3 傅立叶透镜的结构
历史进展
1873年Abbe提出二次成像理论． 1906年Abbe和Porter进行实验论证，说明了成像质量与系
2，振幅滤波器 原理：仅改变相对振幅分布，不改变相位分布． 特点：使感光胶片上的透过率变化正比于A(ξ,η),使透过 光场振幅改变． 制作：必须按一定的函数分布来控制底片的曝光量分布． 3．相位滤波器 原理：改变空间频谱的相位，不改变它的振幅分布． 特点：不衰减入射光场的能量，具有很高的光学效率． 制作：通常用真空镀膜的方法得到，但由于工艺方法的限制， 要得到复杂的相位变化很困难． 4．复数滤波器 原理： 对振幅和相位都同时起调制作用 特点：滤波函数是复函数． 制作： 应用很广泛，但难于制造． 1963年范德拉格特用全息方法综合出复数空间滤波器， 1965年罗曼和布劳思用计算全息技术制作成复数滤波器， 从而克服了制作空间滤波器的重大障碍。
8.3.1(a)
8.4 傅立叶变换透镜
傅里叶变换透镜(简称傅里叶透镜)：在光学图像 处理系统中，用于频谱分析的透镜 它是光学信息处理系统中最常用的基本部件． 8.4.1 傅立叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 8.4.2 傅立叶透镜对校正像差的要求 8.4.3傅立叶透镜的结构
8.4.1 傅立叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 1．截止频率
像面上的光场分布
a=d/2
a
t(x1)
d
x1
T(x2/λf)
x1
g(x3) g(x3)
x x 11
I(x3)
x1
a>d/2
a
t(x1)
d
x1
T(x2/λf)
x1
g(x 3) ) g(x 3 x1
I(x3) x1
a=d/2
a>d/2
8.2 系统与滤波器 8.2.1 空间滤波系统
过程：空域频域空域 乘法运算 系统组成：光学透镜，输入、输出和频谱平 面． 频域上的乘法运算：通过在频谱面上放置所需 要的滤波器来完成 傅里叶变换的性质蕴含于光波的衍射中，借助 透镜的作用可方便地利用存在于衍射中的傅里 叶变换性质．
4,典型滤波系统四（单透镜系统）
L具有成像和变换双重功能， 照明光源与频谱面共扼，物面和像面形成另一对共扼 面． 特点：结构简单，可移动物面P1的位置，可改变输入频谱的比例
大小，但P2面上的物频谱不是准确的傅立叶变换
8.2.2 空间滤波系统
在光学信息处理系统中，空间滤波器是位于空间频率 平面上的一种模片，它改变输入信息的空间频谱，从 而实现对输入信息的某种变换．空间滤波器的透过率 函数一般是复函数： （8.2.2）
a: 圆形光斑半径，1/πa2 :归一化因子.
点扩散函数
8.3.6
在极坐标下空间频率变量 得 ， 令
传递函数
8.3.7
上式可见：传递函数的高频损失严重，而且在某一中间频率区域，传递 函数的符号发生反转．
8.3.1(b) 麦尔查等人采用图8.3.1(a)所示的组合滤波器，放在4f系统的频谱面上 补偿这个带缺陷的传递函数． 吸收板用来衰减很强的低频峰值，以便提高像的对比，突出细节． 相移板使H的第一个负瓣相移π，以纠正对比反转． 图8.3.1(b)表示原来的以及补偿后的传递函数，输出图像的像质因而 获得改善．