线性代数第21讲 相似矩阵
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
相似矩阵及二次型相关概念及定理
相似矩阵及二次型相关概念及定理嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题：相似矩阵及二次型相关概念及定理。
你们知道吗，这些概念在我们的日常生活中可是无处不在哦！比如说，你有没有想过为什么两个房子的结构看起来差不多，但价格却相差甚远呢？这就是因为它们所使用的材料和施工方式不同，导致了它们的结构相似度不同。
而相似矩阵和二次型就是用来描述这种相似度的工具。
我们来说说相似矩阵。
想象一下，你有两个朋友，他们的性格和兴趣爱好都很相似。
那么，他们的相似度就可以用一个矩阵来表示。
矩阵中的每个元素都是0或1,表示这两个人在这方面是否相似。
如果两个人在某个方面完全相同，那么这个元素就是1;反之，如果两个人在这方面完全不同，那么这个元素就是0。
这样一来，我们就可以通过观察这个矩阵来了解这两个人的相似程度了。
接下来，我们来看看二次型。
二次型是一个数学模型，用来描述一个物体的形状和大小。
想象一下，你正在建造一座房子。
这座房子的外观和内部空间可以分别用两个二次型来描述。
外部二次型描述的是房子的外观，比如说它的高度、宽度和比例等；内部二次型描述的是房子的空间布局，比如说客厅的大小、卧室的数量等。
通过比较这两个二次型，我们就可以知道这座房子的整体形状和大小是否合适了。
那么，相似矩阵和二次型有什么关系呢？其实，它们之间有着密切的联系。
在实际应用中，我们常常需要同时考虑物体的形状和大小。
这时，我们就可以将这两个问题合并成一个二次型问题。
具体来说，我们可以将外部二次型和内部二次型相乘，得到一个新的二次型。
这个新的二次型就包含了物体的形状和大小信息。
然后，我们再通过对这个新的二次型进行特征值分解，就可以得到一个相似矩阵。
这个相似矩阵就反映了物体在形状和大小方面的相似程度。
当然啦，相似矩阵和二次型还有很多其他的应用。
比如说，在机器学习领域中，它们被用来描述数据集之间的相似性；在物理学领域中，它们被用来描述物体的运动轨迹等等。
无论是在学术研究还是日常生活中，相似矩阵和二次型都是非常重要的概念。
相似矩阵的定义及性质
,
2
则有
P 1 AP
1
1
.
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
即 A 与 B 相似。
25
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
2 3
1 1,2 2. A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为 A E x 0
系数矩阵
A
E
5 2
5 1
2
0
1
0
1
x1 x2
令x2 1得基础解系:
p1
相似矩阵课件
1 0
0 211
A11
1 3
1 1
14
1 0
0 1 211 1
41
2731 683
2763824。
2020/2/11
例
设
1
A
x 1
x 1 y
1 0
y 1
,
(2) 数量矩阵aI 只与其自身相似。
(3) 相似关系满足等价律. 即相似关系是等价关系。 也是一种等价关系，满足：反身性 ，对称性，传递性。
2020/2/11
(4) 相似矩阵的行列式相等.
即 A~B A ~ B
(5) 相似矩阵具有相同的可逆性(都可逆 或都不可逆).且其逆也相似。
即 A ~ B A1 ~ B1
(6) 相似矩阵的迹相等。
A 的迹 主对角线元素之和 tr(A) ;
2020/2/11
(7) 若 P 1 A1P B1，P 1 A2 P B2，则
(a). A1 A2 ~ B1 B2;
(b).
A1 ~ B1;
(c). A1A2 ~ B1B2;
2020/2/11
(8) 相似矩阵的幂仍相似。
2020/2/11
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1 1 1
n 0 0
A
1
1
1,
B
1
0
0.
1 1 1
1 0 0
2020/2/11
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
线性代数之——相似矩阵
工地施工现场的地基处理与加固工地施工现场的地基处理与加固是建筑工程中不可或缺的环节。
地基处理与加固的目的是确保建筑物的稳定性和安全性。
本文将从地基处理的必要性、地基处理的方法和地基加固的技术等角度进行探讨。
一、地基处理的必要性地基处理的必要性不言而喻。
地基是建筑物的基础，直接承载着整个建筑物的重量。
如果地基不稳定，建筑物就会存在倾斜、沉降等安全隐患。
因此，在施工前，必须对地基进行处理。
二、地基处理的方法地基处理的方法主要包括土壤改良和地基加固两种。
1. 土壤改良土壤改良是指通过物理或化学手段，改良和提升土壤的力学性质。
常见的土壤改良方法有夯实法、注浆法和灌浆法。
夯实法是通过在土壤中夯实砂石等材料，提高土壤的密实度和稳定性。
注浆法则是通过注入特殊的浆液，增加土壤的粘结力和强度。
灌浆法是将浆液注入土壤中，形成坚固的土体。
2. 地基加固地基加固是指通过加固措施，提高地基的承载能力。
常用的地基加固技术有钢筋混凝土地基桩、钢板桩和钢筋灌注桩等。
钢筋混凝土地基桩是将钢筋混凝土灌注到孔中，形成一个坚固的地基桩。
钢板桩则是将钢板沉入土壤中，形成一个抵抗侧向力的支撑体。
钢筋灌注桩是将钢筋和混凝土灌注到孔中，形成一个强固的地基。
三、地基加固的技术地基加固的技术是指在地基处理的基础上，进一步加固地基，增强地基的承载能力和稳定性。
常用的地基加固技术有振动加固法、地基增强法和地基加压法。
振动加固法是通过振动机械在地基中产生冲击力，使土壤颗粒重新排列，形成一个致密的土体。
地基增强法是通过向地基中注入增强材料，形成一个坚固的地基。
地基加压法则是利用加压水封闭地基，增加地基的承载能力。
地基处理与加固是保证建筑物稳定性和安全性的关键措施。
通过合理的地基处理与加固方法，能够提高建筑物的质量和使用寿命，减少安全隐患。
因此，在工地施工现场，科学地进行地基处理与加固工作是不可或缺的。
结语地基处理与加固是工地施工现场中一项重要的工作。
通过土壤改良和地基加固等方法，能够提高地基的稳定性和承载能力，确保建筑物的安全。
线性代数-相似矩阵
2）求特征向量。
1 0 1 x1 0
把1
1代入(E
A)x
0得
0
0
0
x2
0
1 0 1 x3 0
求得基础解系为1 (1, 0,1)T，2 (1,1, 0)T。
1 0 1 x1 0
把2 1代入(E A)x 0得 0
2
0
x2
0
1 0 1 x3 0
求得基础解系为3 (1, 0,1)T
其中k1 , k2是任意常数.
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
性质1：相似矩阵的行列式相等。 性质2：相似矩阵的迹相等。 性质3：相似矩阵的秩相等。
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
2
n
1 p1 ,2 p2 ,,n pn . A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
1 p1,p2 ,,pn
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 ,, n即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P1, 则
k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
201
由于
0 1 2 0,
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
相似矩阵和合同矩阵
相似矩阵和合同矩阵是线性代数中的两个概念。
下面对它们进行简要解释：
1. 相似矩阵（Similar Matrix）：设A和B都是n×n的方阵。
如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，那么我们称矩阵B是矩阵A的相似矩阵。
换句话说，相似矩阵是指具有相同特征值（即特征多项式相同）的矩阵。
相似矩阵的重要性在于它们具有相似的性质，如行列式、秩、迹等。
通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和分析。
2. 合同矩阵（Congruent Matrix）：设A和B都是n×n 的方阵。
如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP = B，那么我们称矩阵B是矩阵A的合同矩阵。
也可以写作A ≡B。
不同于相似矩阵，合同矩阵之间的关系是通过转置操作得到的。
合同矩阵具有一些共同的性质，例如它们具有相同的矩阵秩和正定性。
需要注意的是，相似矩阵是在线性代数中用来研究线性变换和特征值等概念的重要工具，而合同矩阵则主要涉及到二次型等相关概念。
相似矩阵 学习课件
A(α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) = (α 1 , α 2 , ⋯ , α n )
即
即得
( Aα 1 , Aα 2 , ⋯ , Aα n ) = (λ1α 1 , λ2α 2 , ⋯ , λnα n ) ,
A α i = λ iα i , i = 1, 2, ⋯ , n ,
说明 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n 是 A 的分别对应于特征值 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的特征向量, 的特征向量,
第二节
1
一、相似矩阵的概念和性质
定义 对于 阶方阵A和B，若存在 阶可逆方阵 ，使得 对于n阶方阵 和 ，若存在n阶可逆方阵 方阵P， 阶方阵
P AP = B , 则称A与 相似, 则称 与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性： 矩阵的“相似”关系具有以下特性： (1)反身性： (1)反身性： 反身性 对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P = E 即可)； 即可) (2)对称性： (2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ； 对称性 证 P −1 AP = B ⇒ A = PBP −1 = ( P −1 ) −1 BP −1 . (3)传递性： (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C . 传递性 证 P −1 AP = B , Q −1 BQ = C
1 − 5 −1 1 1 , P AP = . 3 − 2
16
4 2 1 能否对角化，若能， 例4 判断矩阵 A = − 2 0 − 1 能否对角化，若能， 1 1 0
− 为对角阵. 使 P AP 为对角阵. 求可逆阵P， 求可逆阵 ， −1
= P −1 ( λ E − A) P = P − 1 ⋅ λ E − A ⋅ P = λ E − A .
(完整版)5-3.4相似矩阵
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
线代课件-相似矩阵
【答】 特征值为：-1,4,1；
1
相似对角阵为
4
1
.
1 1 1
【例
5】设
A
x 3
4 3
y 5
，已知
A有
3
个线性无关特征向量，
2是 A的二重特征值，求可逆阵 P ，使得 P1AP为对角阵.
【答】 特征值为：2,2,6；
x 2, y 2,
1
P
1 0
1 0 1
1
2
2 3
,
P
1 AP
则 E B ．
答案 -6．
三.相似對角化問題 （方陣何時與對角陣相似）
【定义 2】 对n阶方阵 A，若存在可逆阵 P ，使
1
P1AP
2
diag(1
,
2
,
n
则称方阵 A可相似对角化.
,n )，
【注 2】若A与B相似，则 Ak与Bk相似, A的多项式 g( A)与B的多项式 g(B)相似.
【注 3】若A与相似，则 Ak与k相似，从而可以简便计算 Ak .
【定理 2】n阶方阵 A可相似对角化的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量.
分析：若A可對角化 ，則
1
P 1
AP
2
n
AP
1
1
P
2
n
A(P1 , P2 , ...,
Pn )
(P1 ,
P2 , ...,
Pn
)
2
2
.
6
§5.3 相似矩陣
2012-10-12
74-<#>
一. 相似矩陣定義
【定义 1】 设 A, B为n阶矩阵，若存在可逆阵 P 使 P1AP B， 则称 A与B相似.
相似矩阵简.ppt
5）相似矩阵或者都可逆 或都不可逆，当它们都可逆 时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个 线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1
p21
2
p22
... n
p2n
pn1
相应的特征值为
pn
2
1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k
(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)
P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP
0
2
0
0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1
P1可逆,
2 0 0
P11 AP1
0
线性代数课件-相似矩阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
-1 0 0
如：设三阶矩阵A与 0
2
0
相似，则A2
E的所有特征值为？
0 0 -2
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理 2
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)
定理2 A可对角化 A的每个k重特征值
对应有k个线性无关的特征向量
（或R( A E) n k）.
例3 设
0 Ax
0 1
1 y
~
为对角阵
.
1 0 0
求x与y应满足的条件 .
解：矩阵A与对角阵相似的充要条件是它有3个 线性无关的特征向量。
- 0 1 由于|A - E | x 1- y ( 1)2( 1).
4 8 2
1 2 1, 3 2，
RC 1E 2 ,
C的属于二重根1的线性无关的 特征向量的个数为1个，
C共只有两个线性无关的特征向量 C 不能与对角矩阵相似 .
说明 如果A 的特征方程有重根A，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化.
但是当n阶矩阵A的每个ki (i 1,2 m)重特征值都恰有ki个 线性无关的特征向量时，由k1 k2 km n知A有n个 线性无关的特征向量，从而A可对角化，否则不可对角化.
1 A与B有相同的特征多项式和特征值；
2 A B ;
3 R A RB;
2 0 0
2 0 0
例1
已知矩阵A
0
0
1
与B
0
y
0
相似,
0 1 x
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x(1)
Ax ( 0 )
0.90 0.10
00..9091113..55 113..458155
即一年后, 从事教师职业和其他职业的人数分别为
1.485万及13.515万.又
x(2) Ax(1) A2 x(0) , , x(n) Ax(n1) An x(0)
所以 x(10) A10 x(0) , 为计算 A10 先需要把 A 对角化.
多项式相同, 从而 A 与 B 特征值亦相同. 证： A 与 B 相似，故 可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B,
B E P 1 AP P 1(E )P P 1( A E )P P 1 A E P
A E ,
即 A 与 B 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征
值.
如对例1中的矩阵, 由
, ini
为
对应的线性无关的特征向量;
i
(3) 上面求出的特征向量
11 , 12 , , 1n1 , 21 , 22 , , 2n2 , s1 , s2 , , sns , 恰好为矩阵 A的 n 个线性无关的特征向量;
(4) 令P (11 ,12 , ,1n1 ,21 ,22 , ,2n2 ,s1 ,s2 , ,sns , )
1.矩阵与对角矩阵相似的条件
定理 2 n 阶矩阵 A与对角矩阵
相似的充分必要条件为矩阵 A
有 n个线性无关的特征向量. 证 必要性 若 A 与 相似,则
1
2
n
可逆矩阵 P 使得 P 1 AP , 设 P p1 , p2 , , pn ,
则由 AP P 得
1
A p1 , p2 , , pn
例如,
A
1 0
0
1 0 0
1 0 0
特征值为1, 0, 0, 对 0, ni 2,
有 r( A 0E) r( A) 1 n ni,
故 A 能对角化.
B
1 0
0
1 0 0
0 1 0
特征值为 1, 0, 0, 对 0, ni
有 r(B 0E) r(B) 2 n
2, ni ,
E A 0.9 0.01 2 1.89 0.890 0
0.1 0.99
1 1, 2 0.89. 1 2 , 故 A 可对角化.
1 1 代入 E Ax 0,
得其对应特征向量为
P
1
1 10
.
2 0.89代入E Ax 0, 得其对应特征向量为P 2 11 .
令 P
证明 由已知 ,Ax 0 x, B P1 AP, 因此 A PBP 1 ,
于是 PBP 1 x 0 x , 两边左乘 P 1 得
P 1( PBP 1 x) P 1(0 x)
即
B( P 1 x) 0 ( P 1 x)
也就是说 P 1 x 是 B 的 关于 0 的特征向量.
三、矩阵的相似对角化
p1 , p2 , , pn
2
,
n
即 Api i pi (i 1, 2, , n)
P 可逆
P 0,
pi (i 1, 2, , n) 都是非零向量, 故 p1, p2 , , pn都是 A 的特征向量,且它们线性无关. 充分性 设 p1, p2 , , pn 为A 的 n 个线性无关的特征
相似矩阵
一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的性质 三、矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念
定义1 设A, B 都是n 阶矩阵,若存在可逆矩阵P, 使 P 1 AP B,
则称 B 是 A 的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似. 对 A 进行 P 1 AP 运算称为对 A 进行相似变换, 可 逆矩阵P 称为把 A变成 B 的相似变换矩阵.
2.矩阵可对角化的条件
对 n 阶方阵A, 若存在可逆矩阵 P,使 P 1 AP
为对角矩阵，则称方阵 A 可对角化.
定理 3 n 阶矩阵 A可对角化的充要条件是A的每个
特征值中, 线性无关的特征向量的个数恰好等于该
特征值的重数,
或
设
是矩阵
i
A的
ni
重特征值, 则
A 与 相似 r( A i E) n ni (i 1,2, , n)
p1 p2
110
11 ,
有
P 1 AP
1 0
0 0.89
,
A PP 1, A10 P10 P 1,
而
P 1
1 11
1 10
11
1 11
1 10
11
x(10) P10 P 1 x(0)
1 11
110
11
1 0
0 1 0.8910 10
11 113..55
1 11
1 10
11
1 0
0 0.311817
定理 4 设 f ( ) 是矩阵 A 的特征多项式, f ( ) 0.
证 一般的结论证明较困难,在此只证明 A ~ 的
情形. 由 A 与 相似, 则有可逆矩阵P 使得
P 1 AP diag(1,2 , ,n ), 其中 i 为A的特征值, f (i ) 0. 由 A P 1 AP , 有
1 0
,
容易验证 p1 , p2 , p3 线性无关.
P3
0 0. 1
若取
1 2 0
P
(
p1 ,
p2 ,
p3 )
1
1 0
1 0 1
则
P 1
1 1
2 1
0 0
1 2 1
P 0.
0 0 1
注: 本例说明了A 的特征值不全互异时, A 也可能
化为对角矩阵.
故 B不能对角化.
3.矩阵对角化的步骤
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
(1) 求出A的全部特征值 1,2 , s;
(2) 对每一个特征值 i , 设其重数为 ni 则对应齐次
方程组
(i E A)x 0
的基础解系由 ni 个向量 i1 , i2 , , ini 构成, 即
i1, i2,
以证明 A与 B 不相似.
事实上, A 是一个单位阵, 对任意的可逆阵 P, 有
P 1 AP P 1EP P 1P E.
因此若 B 与 A 相似, B 也必须是单位阵, 而现在 B
不是单位阵.
所以 A与 B 不相似.
相似矩阵的特征值与特征向量
命题 若 B P 1 AP, 0 是 A 与 B 的某个特征值, 若 x 是 A的关于 0 的特征向量, 则 P 1 x 是 B 的 关于 0 的特征向量.
教师职业.
解 用x(i)表示 i 年后做教师职业和其他职业的人数,
则
x(0)
113..55, 用矩阵
A
0.90 0.10
00..9091 表示教师职业
和其他职业间的转移, a11 0.90 表示每年有90%的
人原来是教师; a21 0.10 表示每年有10%的人从教
师职业转为其他职业.
显然,
P(a0Bn an1B an E )P 1
P (B)P 1,
特别, 若有可逆矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵, 则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1,
1k
这里,
k
k2
,
kn
(1 )
()
(2 )
,
(n )
由此可方便地计算矩阵 A 的多项式 ( A) .
3 A E
1
4 2 ,
5 1
4 B E
0
4 2 ,
0 2
易见它们有相同的特征值 1 4, 2 2,
相似矩阵的其它性质:
1.相似矩阵的秩相等; 2.相似矩阵的行列式相等; 3.相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时, 则
它们的逆矩阵也相似.
证 设 n阶矩阵 A 与 B 相似
因此,当 a 1 时, 矩阵 A 能对角化.
四、矩阵对角化的应用
1. 利用矩阵对角化计算矩阵多项式
设有n 阶矩阵 A 与 B , 若 A 与 B 相似，则 可逆
矩阵 P 使得 A PBP 1
Ak PBk P 1,
A 的多项式
( A) a0An an1 A an E
a0PBn P 1 an1PBP 1 an PEP 1
1
1
2
则
P 1 AP
2
.
s
s
例5
判断矩阵
A
1 2
2 2
2 4
能否化为对角矩阵.
2 4 2
1 2 2
解 |AE| 2 2 4 ( 2)2( 7) 0
2 4 2
1 2 2, 3 7.
将 1 2 2 代入 ( A 1E)x 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
注: 1.矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:
(1) 反身性 对任意 n 阶矩阵A, A与A相似;
(2) 对称性 若A与B相似, 则B与A相似; (3) 传递性 若A与B相似,B与C相似,则A与C相似.
2.两个常用的运算表达式:
(1) P 1 ABP (P 1 AP )(P 1BP ); (2) P 1(kA lB)P kP 1 AP lP 1BP, 其中 k , l
0 0
2 x1 4 x2 4 x3 0
2
0
基础解系
p1
0, 1
p2
1. 1
同理, 对 3 7, 由 ( A 3E)x 0
基础解系 P3 (1,2,2)T
20 1
由于 0 1 2 0, 所以 p1 , p2 , p3 线性无关.
1 1 2
即 A 有3个线性无关的特征向量因, 而 A 可对角化.
为任意常数.