1.1因式分解

观察下面的拼图过程，写出相应 的关系式。
m a
m b
m c
m a+b+c
ma+mb+mc=m(a+b+c)
x
x
x 1 1
1 1 x+1
x+1
x
x² +x+x+1=(x+1)²
因式分解定义
a3-a=a(a+1)(a-1) ma+mb+mc=m(a+b+c) x² +x+x+1=(x+1)²
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,
议一议 你能尝试把a³ -a化成几个整式的乘积的形式 吗？
a(a+1)(a-1)
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘 法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个 多项式化成几个整式的积的形式.
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒 等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形 式，特征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘 积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形 式表示； 4.分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来 的多项式的次数； 5.必须分解到每个因式不能再分解为止（与因式分 解所在的数集有关）.
能力提升 拓展应用 1. 当a=3.14，b=2.386，c=1.386时， 求ab－ac的值。
解: ab-ac=a(b-c)
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
基础闯关二
巩固概念
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？ 为什么？
（ 1）a (a 2b) a 2ab
2
否
(2)bx bx 2 bx(1 x) (3)a 4 (a 2)(a 2)
2：计算
(1) 87 87 13
2
(2)
101 99
2
2
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2
=400
3.若 x 101, y 99 则 x 2 xy y __ 4
2 2
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？ 2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
m(a+b+c) ma+mb+mc=_________
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
•多项式的因式分解与整式乘法是方向相反 的恒等式.
因式分解与整式乘法是互为逆变形过程.
基础闯关一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
这种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因式分解是整式范畴的概念
定义的理解：
1.分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（ 具体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
做一做
计算下列个式: 2-3x 3x 3x(x-1)= _____ 根据左面的算式填空:
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2.
20082+2009能被2008整除吗?
解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009
∴ 20082+2009能被2009整除
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
2
错误
正确 (3) x 2 3 x 2 ( x 1)( x 2)
(4) x 3 x 2 x( x 3) 2 错误
2
方法:检验因式分解是否正确,只要看等式右边 几个整式相乘的积与左边的多项式是否正确.
随堂练习
把左右两边对应的式子连起 来，并说明哪些变形是因式 分解，哪些是整式乘法.
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答：98， 99
第一章 因式分解
1.1 因式分解
复习与回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 am+an (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: am+an+bm+bn (a+b)(m+n)=_____________ 2.乘法公式有哪些? 2 2 a b (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______ 2 2 2 (2)完全平方公式: (a±b) =___________ a 2ab+b
x2-y2 (3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2
y (x - y ) 9-25x2
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
能说出你这节课的收获和体验让 大家与你分享吗？
归纳
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2.因式分解与整式的乘法是互为逆变形过程；
2
是 是 否
否 否
(4) x 2 x 1 x( x 2) 1
2
（5） 24a bc 2 a 3bc 1 （6）x 1 x(1 ) x
2 3 2
达标检测
1.检验下列因式分解是否正确:
正确
(1) x 2 y xy 2 xy( x y)
(2) 2 x 1 (2 x 1)(2 x 1)
3x(x-1) 3x2-3x=_______
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2-16 m2-16=__________ (m+4)(m-4)= ____ (m+4)(m-4) 2-6y+9 2 y (y-3) = _______ 2 2 (y-3) y -6y+9=______ a3-a a(a+1)(a-1)=____ a(a+1)(a-1) a3-a=___________ ma+mb+mc m(a+b+c)=________