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一个中学生对函数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
论文框架 1 研究背景 2 理论框架——过程概念理论 3 研究方法 4 学生行为描述 5 结论
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 研究背景 函数是数学中基础概念，在教学中给予了很多的时间和重 视，但对学生来说在理解上仍面临很多困难。 一是Sierpinska(1992)提出认识论上的障碍：数学的哲学 性和思维的抽象性，还有概念关联很多相关术语。 二是函数概念的双重性：既可看做是一个对象——一系列 有序实数对，也可以看做是是一个计算过程(Sfard,1991). 貌似无关，实则要将两者统一为一个整体。 Gray and Tall(1994)也指出函数记号同时具备两种作用： 一是对指定自变量可以求得函数值；二是对任意自变量都 可以概述其函数概念。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
Miroslawa Sajka. (2003). A Secondary School Student's Understanding of the Concept of Function——A Case Study
Educational Studies in Mathematics P（ 229-254）
• 然而，实际上学生符号数学概念的发展并非是单纯线性成长的关系（ procedural -conceptual -proceptual ），而是在过程（ procedural ） 及概念（ conceptual ）阶段之间会做来来回回的修正，最后才形成 稳定的过程概念（ procept ）
一个中学生对Biblioteka Baidu数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
EXP7：你怎么读你写的东西？ K8：f(3+5)=f(3)+f(5) EXP8:你怎么理解f(3)？ K9：恩……它让我想到“函数的零点”之类的，……因为我们经 常写一个式子，我的意思是圆括号内不写一个数，所以我认为是 一个式子…… Kasia是毫不犹疑的机械的读出这个等式，她很可能并不理解，尽 管她读出了“函数”但她关注的是数而不是“f”。而对f(3)联想 到与函数概念相关的其他术语——零点，也说明她不能给出正确 的解释。
K3:x、y可以取任何数吗？或者任意的式子？是数还是式呢？ EXP3：读一下题。 K4:……我想是一个式子…… EXP4：什么式子？ K5:函数式。。对，对，是式子，不是一个特殊的数 EXP5：你怎么想的？ K6：我不知道，两种都有可能，我一开始想的是一个特殊的数，x、y 可以用两个数字代入，例如3和5,…… Kasia想具体的处理这个问题，所以一开始就关注到数，可能是受“ 给出一个例子”这些字眼的影响，而函数式不够“具体”，所以用数 代替函数自变量。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 任务 给出一个例子：使函数f满足对定义域内任意的实 数x、y，下列等式成立：f(x+y)=f(x)+f(y)
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 4、学生行为描述 • 4.1概述
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 4.2 详述
• 4.2.1任务中的“例子”一词所引发的一系列联想
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
补充认识
• 理论上，典型或传统的符号数学概念的发展，是从步骤（ procedure ）进步到过程（ process ）进而发展出过程概念（ procept ）。
• 学生反覆练习一个步骤（例如：一个公式或规则），可以帮助其正确 的处理一些典型的题目（ problems ）；熟练了针对某一题型的一个 或多个相关步骤（进入 process 阶段），可以帮助学生更灵活且有效 率地解题；当学生对某一数学符号发展出过程概念（ procept ）时， 表示该学生能很自由地对此一数学符号背后所隐含的运算过程（ process ）和数学概念（ concept ）间做转换。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 研究问题 普通学生对函数概念的理解以及理解的程度 （普通学生的函数过程概念以及与教师期望之间的差别）
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 过程概念理论 Procept Theory （过程概念理论）是 David Tall 和他的同 事 Eddie Gray （英国 Warwick University 数学教育研究中 心主任）于 1994年所发展出来的一个数学学习理论。 理论假定数学有过程和概念的二元性，但显而易见这种二 元性又可以由同一个符号既表示过程又表示结果（如1:2） 他们创造了一个新的术语：procept
• 3、研究方法 访谈——持续46分钟，录音记录并写成文字稿做分析，其 中K表示被访者Kasia，EXP表示实验者，后面的数字表示 说的第几句话。如K24。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 被访者 Kasia——克拉科夫一所综合高中的16岁学生，数学能力 一般，但她还学习希腊语和拉丁语，她被老师形容为“典 型的人文主义者”（数学不好），作者认识她已有三年， 对她学习数学的情况十分清楚，而且与她关系融洽。她的 性格开朗、健谈、愿意说出自己的想法也会表达自己的思 考过程。 接受访谈时Kasia已经学过三年的函数，她清楚正式的函 数概念，对不同的表述和例子也十分熟悉。数学课上她反 复在用这些概念，因此也持续在变化。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
Sierpinska(1992)强调在理解上要灵活，f(x)可以代表一 个函数或是函数f的值。这可能使普通学生觉得混乱。 Even(1990)调查发现教师在函数概念教学上成功与否的 条件之一是教师对这一学科知识理解的全面性。 Sfard(1991)从历史和心理的观点指出函数概念的形成过 程。她认为函数概念先是在操作上获得的，然后才转化成 为数学的名词。 Vinner(1983,1991)基于定义和概念图之间的关联提出一 个认知过程模型。这个模型的基础是对比10、11年级学 生以及大学生和中学教师对概念和概念图的不同认识。并 给出了一些教学建议。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
论文框架 1 研究背景 2 理论框架——过程概念理论 3 研究方法 4 学生行为描述 5 结论
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 研究背景 函数是数学中基础概念，在教学中给予了很多的时间和重 视，但对学生来说在理解上仍面临很多困难。 一是Sierpinska(1992)提出认识论上的障碍：数学的哲学 性和思维的抽象性，还有概念关联很多相关术语。 二是函数概念的双重性：既可看做是一个对象——一系列 有序实数对，也可以看做是是一个计算过程(Sfard,1991). 貌似无关，实则要将两者统一为一个整体。 Gray and Tall(1994)也指出函数记号同时具备两种作用： 一是对指定自变量可以求得函数值；二是对任意自变量都 可以概述其函数概念。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
Miroslawa Sajka. (2003). A Secondary School Student's Understanding of the Concept of Function——A Case Study
Educational Studies in Mathematics P（ 229-254）
• 然而，实际上学生符号数学概念的发展并非是单纯线性成长的关系（ procedural -conceptual -proceptual ），而是在过程（ procedural ） 及概念（ conceptual ）阶段之间会做来来回回的修正，最后才形成 稳定的过程概念（ procept ）
一个中学生对Biblioteka Baidu数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
EXP7：你怎么读你写的东西？ K8：f(3+5)=f(3)+f(5) EXP8:你怎么理解f(3)？ K9：恩……它让我想到“函数的零点”之类的，……因为我们经 常写一个式子，我的意思是圆括号内不写一个数，所以我认为是 一个式子…… Kasia是毫不犹疑的机械的读出这个等式，她很可能并不理解，尽 管她读出了“函数”但她关注的是数而不是“f”。而对f(3)联想 到与函数概念相关的其他术语——零点，也说明她不能给出正确 的解释。
K3:x、y可以取任何数吗？或者任意的式子？是数还是式呢？ EXP3：读一下题。 K4:……我想是一个式子…… EXP4：什么式子？ K5:函数式。。对，对，是式子，不是一个特殊的数 EXP5：你怎么想的？ K6：我不知道，两种都有可能，我一开始想的是一个特殊的数，x、y 可以用两个数字代入，例如3和5,…… Kasia想具体的处理这个问题，所以一开始就关注到数，可能是受“ 给出一个例子”这些字眼的影响，而函数式不够“具体”，所以用数 代替函数自变量。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 任务 给出一个例子：使函数f满足对定义域内任意的实 数x、y，下列等式成立：f(x+y)=f(x)+f(y)
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 4、学生行为描述 • 4.1概述
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 4.2 详述
• 4.2.1任务中的“例子”一词所引发的一系列联想
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
补充认识
• 理论上，典型或传统的符号数学概念的发展，是从步骤（ procedure ）进步到过程（ process ）进而发展出过程概念（ procept ）。
• 学生反覆练习一个步骤（例如：一个公式或规则），可以帮助其正确 的处理一些典型的题目（ problems ）；熟练了针对某一题型的一个 或多个相关步骤（进入 process 阶段），可以帮助学生更灵活且有效 率地解题；当学生对某一数学符号发展出过程概念（ procept ）时， 表示该学生能很自由地对此一数学符号背后所隐含的运算过程（ process ）和数学概念（ concept ）间做转换。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 研究问题 普通学生对函数概念的理解以及理解的程度 （普通学生的函数过程概念以及与教师期望之间的差别）
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 过程概念理论 Procept Theory （过程概念理论）是 David Tall 和他的同 事 Eddie Gray （英国 Warwick University 数学教育研究中 心主任）于 1994年所发展出来的一个数学学习理论。 理论假定数学有过程和概念的二元性，但显而易见这种二 元性又可以由同一个符号既表示过程又表示结果（如1:2） 他们创造了一个新的术语：procept
• 3、研究方法 访谈——持续46分钟，录音记录并写成文字稿做分析，其 中K表示被访者Kasia，EXP表示实验者，后面的数字表示 说的第几句话。如K24。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
• 被访者 Kasia——克拉科夫一所综合高中的16岁学生，数学能力 一般，但她还学习希腊语和拉丁语，她被老师形容为“典 型的人文主义者”（数学不好），作者认识她已有三年， 对她学习数学的情况十分清楚，而且与她关系融洽。她的 性格开朗、健谈、愿意说出自己的想法也会表达自己的思 考过程。 接受访谈时Kasia已经学过三年的函数，她清楚正式的函 数概念，对不同的表述和例子也十分熟悉。数学课上她反 复在用这些概念，因此也持续在变化。
一个中学生对函数概念的理解——案例研究
Sierpinska(1992)强调在理解上要灵活，f(x)可以代表一 个函数或是函数f的值。这可能使普通学生觉得混乱。 Even(1990)调查发现教师在函数概念教学上成功与否的 条件之一是教师对这一学科知识理解的全面性。 Sfard(1991)从历史和心理的观点指出函数概念的形成过 程。她认为函数概念先是在操作上获得的，然后才转化成 为数学的名词。 Vinner(1983,1991)基于定义和概念图之间的关联提出一 个认知过程模型。这个模型的基础是对比10、11年级学 生以及大学生和中学教师对概念和概念图的不同认识。并 给出了一些教学建议。