《组合数学》 工学研究生 11年秋季

西安电子科技大学

研究生课程考试试题

考试科目：组合数学

考试日期：2012 年 1 月 6 日考试时间：120 分考试方式：闭卷任课教师：姜建国

学生姓名：学号：

一、 （10分）从集合{}b n a a a n ⋅⋅⋅⋅,1,,1,121 中选出n 个元素排成一列，其中要求所选的i a 全

部排在前面，b 排在后面，且选出的诸i a 按其下标由小到大进行排列，问共有多少种不同的排列情况。

① 分析问题：取k 个i a 和n －k 个b ，有1C ⋅k

n 种选法 ……………………………………… 4分 对取定的k 个i a 和n －k 个b ，其排列方式只有一种（k ＝0, 1, 2, …, n ）。故选k 个i a 的排

列方案共有k

n k n C 11C =⋅⋅种

② 所有排列情况总数为

∑=n

k k

n

C

………………………………………………………………… 4分

③ 计算总的排列个数为n 2 ………………………………………………………………………… 2分

二、 （10分）求不定方程54321x x x x x ++++＝1010的解数，其中要求i x ≥i －1（i ＝1，2，3，4，

5）。

① 做变量代换化简原方程 ………………………………………………………………………… 3分 令1+-=i x y i i （即令11x y =，122-=x y ，233-=x y ，344-=x y ，455-=x y ）。则原方程化为54321y y y y y ++++＝1000

② 问题转换 ………………………………………………………………………………………… 3分 相当于将1000个相同的球放入5个不同的盒子，求不同的放法数。也就是从5种不同元素中可重复地选取1000个元素的组合数。

③ 组合数为1000

10041000

110005C C =-+或4

1004C …………………………………………………………… 3分 ④ 答：方程的解数为42084793751………………………………………………………………… 1分 三、 （10分）一个居民小区共居住了m ＋n 家业主（m 、n 均大于10），其中有m 家是三口之家，有n

家是4口之家。过年小区欲选出r 个人组成演出队，每家最多选一人参加。设不同的选择方案有r a 种：（1）请构造数列r a 的普母函数G(x)（不要求将G(x)展开成母函数的标准形式∑=n

r r r

x a

）

；（2）请计算当r ＝3时，有多少种不同的选择结果。

① 分析问题，构造母函数 ……………………………………………………………………… 3分 每家的人都不同，母函数为G(x)＝()()n

m

x x 4131++

② 多项式展开 ……………………………………………………………………………… 3分

G(x)＝()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n

j j j

n m i i i m x x 004C 3C ＝⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j j n j m i i i m i x x 00C 4C 3

③ 计算(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)

03

31

12

22

21

13

30

03C 4C 3C 4C 3C 4C 3C 4C 3n m n m n m n m a +++=…………… 2分 ④ 回答问题………………………………………………………………………………………… 2分 当r ＝3时，有3

1

2

2

1

3

3C 27C C 36C C 48C 64m n m n m n a +++=种不同的选择结果。 或()()()()()()212

9

118124213323--+-+-+--=m m m n m m n mn n n n a

四、 （10分）用红、蓝、黄、绿、紫5种颜色对1×n 棋盘的小方块进行染色，每个方块染一种颜色，

但希望有偶数个方块染红色，偶数个方块染绿色，试求不同的染色方案数。

① 由题意得母函数()x G e ＝()3

02

02!!2⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛∑∑∞=∞=i i i i i x i x ………………………………………… 3分 ② 求和函数 ()x G e ＝x x

x e e e 32

2⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+-＝()

x x x

e e e ++35241…………………………… 3分 ③ 母函数展开()x G e ＝()

∑∞=+⋅+0!

132541n n n

n n x …………………………………………… 3分

④ 答：染色方案数为4

1

325+⋅+n n …………………………………………………………… 1分

五、 （10分）求线性常系数递推关系088644321=+-+-----n n n n n a a a a a 的通解。

① 写特征方程88642

34+-+-x x x x ＝0……………………………………………… 3分 ② 解方程得特征根x ＝±i ，2（二重根） ……………………………………………………… 3分 ③ 所以通解为()()n

n

n

n Dn C i B Ai a 2⋅++-+= ……………………………………………… 3分

④ 说明：其中A 、B 、C 、D 为任意常数 ……………………………………………………… 1分 【注】不要求写出求解过程

六、 （10分）设n 阶行列式

b

a b a ab b a ab b a ++++10

00

1000

1

000

的值为n d ，试求n d 满足的递推关系。

其中a>b>0。

① 化简行列式 ……………………………………………………………………………………… 5分 将行列式按第一行展开得

n

n b a b a ab b a ab b a d ++++=

100000

10001

000

＝()110

0010

001

000-+++++n b a b a ab b a ab b a b a

－1

10

00

100000001

-+++n b a b a ab b a ab ab

＝()2

110

00

10001

0001--++++⋅

⋅-+n n b a b a ab b a ab b a ab d b a