精品：选修4-5不等式选讲题型归纳总结教案

姓名李鸿铭学生姓名林伟汉填写时间2013.4.25

学科数学年级高三教材版本人教A版

课题名称不等式选讲课时计划 2 上课时间2013.4.25 教学目标

同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教学重点

教学难点

教学过程

教师活动

【2013年高考会这样考】

1．考查含绝对值不等式的解法．

2．考查有关不等式的证明．

3．利用不等式的性质求最值．

【复习指导】

本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.

基础梳理

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；

(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

3．基本不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b

2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n

a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

5．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．

双基自测

1．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为________． 答案 (－4，－2)∪(0,2)

2．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．

解析

令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，

－4，x ＞8，

当x ≤4时，f (x )＝4＞2；

当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5，

4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2

)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n

a 2

i )(∑i ＝1n

b 2i )≥(∑i ＝1

n

a i

b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

∴4＜x ＜5；

当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}

3．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案 k ＜1

4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 解析 由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋4

3，

即⎩⎨⎧

0≤b －4

3＜1，3＜b ＋4

3≤4，

解得5＜b ＜7.

答案 (5,7)

5．(2011·南京模拟)如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是________．

解析 在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)

考向一 含绝对值不等式的解法

【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．

[审题视点] 第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f (x )的图象可求f (x )的最小值．

解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x －5 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x ＜－12，

3x －3 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12≤x ＜4，

x ＋5 (x ≥4).

当x ＜－1

2时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；

当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞5

3， ∴5

3＜x ＜4；

当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.

故原不等式的解集为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x ＜－7或x ＞

53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－9

2.

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；

③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 【训练1】 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；

(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，

f (x )＝⎩⎨⎧

－2x ， x ＜－1，2， －1≤x ≤1，

2x ， x ＞1.