概率论与数理统计-第5章-第1讲-总体、样本及统计量

n
n
E(S 2) D(X )
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03 统计量
例 设总体 X ~ B m, , X1, X 2, , X n 为来自该总体的简
n
单随机样本, 求 E[ ( Xi X )2 ] i 1
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
ES 2 DX
D( X ) m (1 )
n
E[ ( Xi X )2 ] (n 1)E(S 2 ) m(n 1) (1 ) i 1
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本讲内容
01 总体与个体 02 样本 03 统计量
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03 统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数 T T X1, X 2, , X n
若(x1, , xn )是样本观测值, 则称T (x1, , xn )为统计量T ( X1, X 2, , X n ) 的一个观测值.
例 设X1, X 2 , , X n是正态总体X N (, 2 )的一个样本, 其中参数, 2未知,
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第1讲 二维总体、样本及统计量 知识点解读—总体、样本与统计量
重点：理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方 差及样本矩的概念.
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概率论与数理统计
学海无涯, 祝你成功！
主讲教师 |
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n
n（ 2 2） ( 2 n 2 ) 2
n 1
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03 统计量
例 设X1, X2,…, Xn是来自泊松分布P(λ)的样本, 求 E( X ), D( X ), E(S 2 )
解 由 X~ P(λ) 知 E( X ) , D( X )
E(X ) E(X )
D(X ) 1 D(X )
个体——组成总体的每一个元素, 记为 X i 数量指标 山东大学学生张三的身高
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பைடு நூலகம்
本讲内容
01 总体与个体 02 样本 03 统计量
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02 样本
2.样本
总数巨大
总体
观测手段 有破坏性
样本——从总体中抽取的部分个体
用 X1, X 2, , X n 表示, n 为样本容量. 称 (x1, x2 ,, xn )为总体 X 的一个样本观测值.
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02 样本 简单随机样本( X1, X 2 , , X n ) 的性质 （1）若总体X 的分布函数为F (x), 则样本的联合分布函数为 （2）若总体X 的分布律为p(x), 则样本的联合分布律为 （3）若总体X 的密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为
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02 样本
例 设 X1,, X n 为来自总体 X ~ N ( , 2 )的样本,
；Bk
1 n
n i 1
Xi X
k
(k阶样本中心矩) ．
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03 统计量
样本均值与样本方差在数理统计中最重要, 性质如下
E(X ) E(X ) D(X ) 1 D(X ) E(S2) D(X ) n
推导 设 E( X ) , D( X ) 2 , 则
,
EX
E
1 n
n
i1
X
i
D X 12
其中, 2未知 . (1) 求样本的联合密度.
f (x1,, xn ) n f (xi ) n
1
( xi )2
e 2 2
i 1
i1 2
n
1
n
(2 )2
e
1 2
2
i1
( xi
)2
n
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02 样本
(2) 问下列随机变量中哪些是统计量
T1
1 n 1
n i 1
Xi
,
T2 X n EX1;
概率论与数理统计
第5章 统计量及其分布
第1讲 总体、样本及统计量
主讲教师 |
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本讲内容
01 总体与个体 02 样本 03 统计量
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01 总体与个体
数理统计的基本概念
1.总体与个体
数量指标 山东大学学生的身高 总体——研究对象全体元素组成的集合, 记为随机变量X .
X 的分布和数字特征称为总体的分布和数字特征.
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02 样本
简单随机样本
若总体 X 的样本 ( X1, X 2 , , X n ) 满足: (1) X1, X 2 , , X n 与X 有相同的分布 (2) X1, X 2 , , X n 相互独立 则称 ( X1, X 2 ,, X n ) 为简单随机样本.
说明：对于有限总体, 有放回抽样才能得到简单随机样本, 但当总 体的数量N比样本容量大的多时, 亦可将不放回抽样近似看作简单随机 样本.
T3 2 X 2 X 3; T4 max(X1, X 2 ,, X n );
T5
X1
;
T6
n i 1
Xi
2
.
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02 样本
数理统计的一个主要任务就是利用样本推断总体, 那么如何来利用样本呢？
列表？
画图？
统计量！
样本来自于总体, 含有总体性质的信息, 但较为分散.为了进 行统计推断, 需要把分散的信息进行整理, 针对不同的研究目的, 构造不同的样本函数, 这种函数在统计学中称为统计量.
n
n
那么 T1= Xi , T2= Xi2 是统计量,
i 1
i 1
n
但 T3= ( Xi-)2 ,
i 1
T4=
X1
不是统计量.
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03 统计量
常见统计量
X
1 n
n i 1
Xi
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(样本均值) ；
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
(样本方差) ；
(k阶样本原点矩)