圆的切线证明题
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细说如何证明圆的切线
1（2011中考）.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；
2 已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。
3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.
4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
5
已知：如图⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为圆外一点，PA ∥BC ，且A 为劣弧的中点，割线PBD 过圆心，交⊙0于另一点D ，连结CD ．
(1)试判断直线PA 与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O 的半径及CD 的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积．
7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
11（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
细说如何证明圆的切线
1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；
2 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。
证明：连结OD。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC是切线，AB是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切线。
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
3(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
（1）证明：，
又，
又于，，
是的切线
4已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
5.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
6、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE 交OP于C，求证：PC＝CD。
点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
7（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD。
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴BD DE AC AB
=。
∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。
∴12DE
1312
=，解得：
144
DE
13
=。
（3）证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DB O中，∵
AB DB BO BO OA OD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABO≌△DBO（SSS）。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
8．（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线；