北京四中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2019北京四中初三(上)十月月考数学
2019北京四中初三（上）十月月考数 学（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级： 学号： 姓名：一、选择题（本题共16分,每小题2分)1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A. ()2,3B. ()2,3-C. ()2,3-D. ()2,3--3. 若将抛物线y ＝5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. B.C.D.4. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图象可得a ，b ，c 与0的大小关系是（ ）A. , ,B. , ,C. , ,D. , ,5. 如图, 在△ABC 中, ∠B =40°, 将△ABC 绕点A 逆时针旋转, 得到△ADE ， 点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（ ）A. 70°B. 80°C. 90°D.100°6. 以原点为中心，把点P （1，3）顺时针旋转90°，得到的点P ′的坐标为（ ）A.B.C. D.7. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线x =1对称；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于3． 其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 抛物线2y ax bx c =++经过点（－2，0），且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②；③若, 则 时的函数值小于时的函数值; ④点不在此抛物线上． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向下, 且与y 轴的交点坐标为(0, 1)的抛物线的表达式: . 10. 已知抛物线的对称轴是x =n , 若该抛物线过A (－2, 5), B (4, 5) 两点, 则n 的值为 . 11. 点A (-3, y 1), B (2, y 2) 在抛物线y =x 2-5x 上, 则y 1______y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）12. 如图, 直线1y kx n =+ (k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于A(－1,0)，B(2, －3) 两点，则关于x 的方程2=kx n ax bx c +++的解为 . 13. 如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是_______.14. 如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′的度数是______________.15. 如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为h =20t -5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s ．1x =0ac >1640a b c ++=0m n >>1x m =+1x n =-(,0)2ca-（第14题图） （第15题图）16. 如图, 已知△ABC 中, ∠C =90°， AC =BC = 将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置,连接BB ′，则BB ′的长为 ，连接C ′B, 则C ′B 的长为 . 二、解答题（本题共68分）17. (5分) 已知抛物线的顶点为(－1，2)，且经过点(0，4)，求抛物线的解析式.18. (8分) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．(1) 对称轴方程为____________；(2) 当x 时，y 随x 的增大而减小； (3) 求函数解析式.19. (5分) 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形 (顶点在网格线的交点上).(1) 先作△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1, 再把△A 1B 1C 1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，请在图中画出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2；(2) 可以看出△A 2B 2C 2与△ABC 关于某点成中心对称, 直接写出对称中心的坐标 ．－2320. (5分) 如图, 等腰Rt △ABC 中， BA =BC ，∠ABC =90°， 点D 在AC 上, 将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后， 得到△CBE .(1) ∠DCE 的度数为_____________; (2) 若AB =4， CD =3AD ， 求DE 的长．21. (6分) 已知二次函数()233y kx k x =-++图象的对称轴为：直线2x =．(1) 求该二次函数的表达式；(2) 画出该函数的图象，并结合图象直接写出： ①当y ＜0时，自变量x 的取值范围；②当0≤ x ＜3时，y 的取值范围是多少？22. (5分) 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．(1) 求证：△AEC ≌△ADB ；(2) 若AB =2， ∠BAC =45°， 当四边形ADFC 是平行四边形时，求BF 的长．23. (6分) 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形．水面宽度AB =10m, 桥拱最高点C 到水面的距离为6m ． (1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m ，宽度是4m ，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m ，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．24. (5分)如图, 直线l :2y x m =-+与x 轴交于点A (2-, 0), 抛物线:与x 轴的一个交点为B (点B 在点A 的左侧). 过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D . (1) 求m 的值和点B 的坐标；(2) 将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ． ①点F 的坐标为____________；②将抛物线沿x ．轴．向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为，直接写出抛物线的表达式．25. (10分) 抛物线223y x x =-++的顶点为D ， 它与x 轴交于A ，B 两点 (点A 在点B 的左侧)， 与y 轴交于点C ．(1) 求顶点D 的坐标； (2) 求直线BC 的解析式； (3) 求△BCD 的面积；(4) 当点P 在直线BC 上方的抛物线上运动时，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P 的坐标；若不存在；请说明理由.26. (6分) 已知抛物线G ： (k 为常数).(1) 当3k =时， 用配方法求抛物线G 的顶点坐标； (2) 若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P x y . ① 分别用含k 的代数式表示x ，y ，② 请在①的基础上继续用含x 的代数式表示y ，③ 由①②可得, 顶点P 的位置会随着k 的取值变化而变化， 但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数1C 243y x x =++1C 2C 2C(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将 (2) 中的抛物线G改为抛物线H:(k为常数), 其中N为含k的代数式, 从而使这个新抛物线H满足:无论k取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式: (用含k的代数式表示), 它的顶点=+(a,b为常数,a≠0)中, a= ,b= .所在的一次函数图象的表达式y ax b27. (7分) 在正方形ABCD中, 点P是直线BC上的一点, 连接AP, 将线段PA绕点P顺时针旋转90°, 得到线段PE, 连接CE.(1) 如图1, 点P在线段CB的延长线上.①请根据题意补全图形；②用等式表示BP和CE的数量关系，并证明.(2) 若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为图1 备用图。
北京市九年级上学期数学10月月考试卷B卷
北京市九年级上学期数学10月月考试卷B卷一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019七下·昭平期中) 方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A . 1，2，3B . 1，2，﹣3C . 1，﹣2，3D . ﹣1，﹣2，32. （2分）关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A . 任意实数B . m≠1C . m≠-1D . m>-13. （2分）用配方法解方程x2﹣8=2x时，方程可变形为（）A . （x﹣4）2=9B . （x﹣1）2=9C . （x+1）2=9D . （x﹣2）2=94. （2分）抛物线y=3（x+1）2﹣4的顶点坐标是（）A . （1，4）B . （1，﹣4）C . （﹣1，4）D . （﹣1，﹣4）5. （2分） (2018九上·福州期中) 已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x 的部分对应值如表：x...-10123...y (105212)则当y≥5时，x的取值范围是（）A . x≤0B . 0≤x≤4C . x≥4D . x≤0或x≥ 46. （2分）二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A . y=x2B . y=(x-2)2C . y=x2+2D . y=(x+2)27. （2分）(2019·本溪模拟) 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A . k＜﹣2B . k＜2C . k＞2D . k＜2且k≠18. （2分） (2017九上·钦南开学考) 在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A .B .C .D .9. （2分）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是…….（）A . 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；B . 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；C . 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；D . 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是10. （2分） (2018九上·荆州期末) 抛物线（是常数）的顶点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限11. （2分）(2019·恩施) 抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：① 且；② ；③ ；④ ；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则 .其中正确的个数有（）A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个二、填空题 (共6题；共6分)12. （1分） (2017九上·孝南期中) 抛物线y=x2-3x-4与y轴的交点坐标为________.13. （1分） (2019九上·台州开学考) 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是________.14. （1分） (2018九上·商南月考) 已知方程 x2+2x-1=0 的两根分别为 x1 ， x2 ，则 x1+x2=________.15. （1分） (2019九上·温州月考) 如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2 ，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3 ，交x轴于点A2 . .....如此进行下去，直至得到C2018 ，若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为________.16. （1分） (2019八上·新昌期中) 如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要________米长.17. （1分） (2019八上·丹江口期末) 在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB=2，AD= ，则PC+PE最小值是________.三、解答题 (共8题；共85分)18. （10分） (2019九上·镇原期末) 选择适当方法解下列方程（1） (3x﹣1)2＝(x﹣1)2（2） 3x(x﹣1)＝2﹣2x19. （10分） (2019九上·衢州期中) 已知二次函数的表达式为y=-3（x-3）2+2.（1）写出该函数的顶点坐标；（2）判断点（1，-12）是否在这个函数的图象上。
2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷(北京版,九上第18章-第21章)(全解全析)
2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷（北京版）（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：北京版九年级上册第18章15%、第19章32%、第18章20%、第21章34%。
5．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】C 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交，故选：C ．2．若2x =5y ，则下列正确的是（ ）A ．25x y =B ．52x y =C ．53x y =D ．35x y =【答案】B【详解】解：∵25x y =，3．将抛物线22y x =-向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()2212y x =-++C ．()2212y x =--+D ．()2211y x =--+【答案】D 【详解】解：Q 抛物线22y x =-向右平移1个单位长度，\平移后的解析式为()221y x =--，\再向上平移1个单位长度，\平移后的解析式为()2211y x =--+．故选：D ．4．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，连接AC 、AD ，若65ACD Ð=°，则BAD Ð的度数为（ ）度．A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【详解】解：连接BC ，∵AB 是直径，∴90ACB Ð=°，∴90ACD BCD Ð+Ð=°，∵65ACD Ð=°，∴25BCD Ð=°，∴25BAD BCD Ð=Ð=°，故选：B ．5．已知点()()()3,1,5,A a B b C c -，，在反比例函数k y x =（0k <）的的图像上，下列结论正确的是（ ）A ．a b c<<B ．a c b <<C ．b c a<<D ．c b a <<6．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D 处测得顶端P 的仰角∠PDC =a ，D 到旗杆的距离CD =5米，测角仪BD 的高度为1米，则旗杆PA 的高度表示为（ ）．A ．5tan a ＋1B ．5sin a ＋1C ．5cos a ＋1D ．5tan a＋1【答案】A 【详解】根据题意可知：四边形ABDC 是矩形，∴∠PCD =90°，AC =BD =1，在Rt △PCD 中，PC =CD tanα=5tanα，∴PA =PC +AC =5tanα+1．故选：A ．7．如图，在等腰ABC V 中，,AB AC BD AC =^于点35D cosA =,，则sin CBD Ð的值（ ）A ．12B ．2C D8．如图，点E 在DBC 边DB 上，点A 在DBC 内部，∠DAE =∠BAC =90°，AD =AE ，AB =AC ，给出下列结论，其中正确的是（ ）①BD =CE ；②∠DCB ﹣∠ABD =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）．A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】A 【详解】解：∵∠DAE =∠BAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ．∵AD =AE ，AB =AC ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴BD =CE ，∠ABD =∠ECA ，故①正确；∵∠DCB ﹣∠DCA =∠ACB =45°，显然ABD ACD йÐ，故②错误；∵∠ABD =∠ECA∴90EBC ECB ABD ABC BCA ECA ABC BCA Ð+Ð=Ð+Ð+Ð-Ð=Ð+Ð=°∴90BEC Ð=°∴BD CE ^，故③正确；222222222222222)2()(BE BC EC AB CD DE AB CD AD AD AB CD =-=--=+--+=即22222()BE AD AB CD +=-，故④错误，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
2019-2020北京四中初三(上)十月月考数 学
2019-2020北京四中初三（上）十月月考数 学（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级： 学号： 姓名：一、选择题（本题共16分,每小题2分)1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A. ()2,3 B. ()2,3-C. ()2,3-D. ()2,3--3. 若将抛物线y ＝5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. y =5(x −2)2+1B. y =5(x +2)2+1C. y =5(x −2)2−1D. y =5(x +2)2−14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图象可得a ，b ，c 与0的大小关系是（ ）A. a >0, b <0, c <0B. a >0, b >0, c >0C. a <0, b <0, c <0D. a <0, b >0, c <05. 如图, 在△ABC 中, ∠B =40°, 将△ABC 绕点A 逆时针旋转, 得到△ADE ， 点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（ ）A. 70°B. 80°C. 90°D.100°6. 以原点为中心，把点P （1，3）顺时针旋转90°，得到的点P ′的坐标为（ ）A. (3,−1)B. (−3,1)C. (1,−3)D. (−1,−3)7. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 y－2121下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线x =1对称；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于3． 其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 抛物线2y ax bx c =++经过点（－2，0），且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②；③若, 则 时的函数值小于时的函数值; ④点不在此抛物线上． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向下, 且与y 轴的交点坐标为(0, 1)的抛物线的表达式: . 10. 已知抛物线的对称轴是x =n , 若该抛物线过A (－2, 5), B (4, 5) 两点, 则n 的值为 . 11. 点A (-3, y 1), B (2, y 2) 在抛物线y =x 2-5x 上, 则y 1______y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）12. 如图, 直线1y kx n =+ (k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于A(－1,0)，B(2, －3) 两点，则关于x 的方程2=kx n ax bx c +++的解为 . 13. 如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是_______.14. 如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′的度数是______________.15. 如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为h =20t -5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s ．1x =0ac >1640a b c ++=0m n >>1x m =+1x n =-(,0)2ca-（第14题图） （第15题图）16. 如图, 已知△ABC 中, ∠C =90°， AC =BC =√2, 将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置,连接BB ′，则BB ′的长为 ，连接C ′B, 则C ′B 的长为 . 二、解答题（本题共68分）17. (5分) 已知抛物线的顶点为(－1，2)，且经过点(0，4)，求抛物线的解析式.18. (8分) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．(1) 对称轴方程为____________；(2) 当x 时，y 随x 的增大而减小； (3) 求函数解析式.19. (5分) 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形 (顶点在网格线的交点上).(1) 先作△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1, 再把△A 1B 1C 1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，请在图中画出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2；(2) 可以看出△A 2B 2C 2与△ABC 关于某点成中心对称, 直接写出对称中心的坐标 ．－23xy–1–2–3–412345–1–2–3–412345O20. (5分) 如图, 等腰Rt △ABC 中， BA =BC ，∠ABC =90°， 点D 在AC 上, 将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后， 得到△CBE .(1) ∠DCE 的度数为_____________; (2) 若AB =4， CD =3AD ， 求DE 的长．21. (6分) 已知二次函数()233y kx k x =-++图象的对称轴为：直线2x =．(1) 求该二次函数的表达式；(2) 画出该函数的图象，并结合图象直接写出： ①当y ＜0时，自变量x 的取值范围；②当0≤ x ＜3时，y 的取值范围是多少？22. (5分) 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． (1) 求证：△AEC ≌△ADB ；(2) 若AB =2， ∠BAC =45°， 当四边形ADFC 是平行四边形时，求BF 的长．23. (6分) 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形．水面宽度AB =10m, 桥拱最高点C 到水面的距离为6m ． (1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m ，宽度是4m ，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m ，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．24. (5分)如图, 直线l :2y x m =-+与x 轴交于点A (2-, 0), 抛物线:与x 轴的一个交点为B (点B 在点A 的左侧). 过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D . (1) 求m 的值和点B 的坐标；(2) 将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ． ①点F 的坐标为____________；②将抛物线沿x ．轴．向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为，直接写出抛物线的表达式．25. (10分) 抛物线223y x x =-++的顶点为D ， 它与x 轴交于A ，B 两点 (点A 在点B 的左侧)， 与y 轴交于点C ．(1) 求顶点D 的坐标； (2) 求直线BC 的解析式； (3) 求△BCD 的面积；(4) 当点P 在直线BC 上方的抛物线上运动时，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P 的坐标；若不存在；请说明理由.26. (6分) 已知抛物线G ：y =x 2−2kx +2k −1 (k 为常数).(1) 当3k =时， 用配方法求抛物线G 的顶点坐标； (2) 若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P x y . ① 分别用含k 的代数式表示x ，y ，② 请在①的基础上继续用含x 的代数式表示y ，③ 由①②可得, 顶点P 的位置会随着k 的取值变化而变化， 但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数1C 243y x x =++1C 2C 2C(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将 (2) 中的抛物线G改为抛物线H: y=x2−2kx+N (k为常数), 其中N为含k的代数式, 从而使这个新抛物线H满足:无论k取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式: (用含k的代数式表示), 它的顶点=+(a,b为常数,a≠0)中, a= ,b= .所在的一次函数图象的表达式y ax b27. (7分) 在正方形ABCD中, 点P是直线BC上的一点, 连接AP, 将线段PA绕点P顺时针旋转90°, 得到线段PE, 连接CE.(1) 如图1, 点P在线段CB的延长线上.①请根据题意补全图形；②用等式表示BP和CE的数量关系，并证明.(2) 若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为图1 备用图。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)
数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（ ）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（ ）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（ ）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。
2021-2022学年-有答案-北京市某校九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1. 如图，将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A.30∘B.40∘C.50∘D.60∘3. 抛物线y=(x+1)2+2可由y=x2如何平移得到（）A.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度4. 若关于x的方程(m+1)x|m|+1−2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A.m＝1B.m＝−1C.m＝±1D.m≠−15. ⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A.AB＝ADB.BC＝CDC.＝D.∠BCA＝∠DCA6. 已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是( )A. B.C. D.7. 小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A.①③B.①④C.②③D.②④8. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD.在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空（18题4分，其余每题2分）方程x2−2x=0的根是________．已知菱形ABCD中，∠B＝60∘，AB＝2，则菱形ABCD的面积是________．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝________．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：________．关于x的二次函数y＝ax2−2ax+a−1(a>0)的图象与x轴的公共点有________个．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB ＝4，则⊙O的半径是________．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4, 0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE // AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是________．三、解答解下列一元二次方程：（1）3(1+x)2＝15；（2）3x2−4x−2＝0．已知一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2−(2m−1)x+m2−m经过原点，求m的值．已知二次函数y＝x2−2x−3．（1）将y＝x2−2x−3化成y＝a(x−ℎ)2+k的形式为________；（2）此函数与x轴的交点坐标为________；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当−2<x<3时，y的取值范围．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE // AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4−5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m＝________；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质________；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4−5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点(x1, y1)和(x2, y2)在此函数图象上，当x2>x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：y1<y2（填“>”、“<”或“＝”）；③若关于x的方程x4−5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是________．已知二次函数y＝ax2−4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P(−3, 4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A(2, −5)的最大距离为________；②若点B(a, 2)的最大距离为5，则a的值为________；（2）若点C在直线y＝−x−2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1.【答案】B【考点】剪纸问题【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据对角线互相垂直平分的四边形的菱形即可判断．【解答】将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．2.【答案】B【考点】旋转的性质【解析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100∘，再根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数，此题得解．【解答】根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100∘，×(180∘−100∘)＝40∘．∴∠B＝∠ADB=123.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【解答】解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1, 2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0, 0)，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+2．故选D.4.【答案】A【考点】一元二次方程的定义绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】圆心角、弧、弦的关系角平分线的性质圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象与系数的关系【解析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，>0.∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a∵ c<0，∴ 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选D.7.【答案】D【考点】折线统计图算术平均数中位数方差【解析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【解答】①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；8.【答案】D【考点】动点问题【解析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解答】A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；=4.84，D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682故本选项正确；二、填空（18题4分，其余每题2分）【答案】x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】因为x2−2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x(x−2)=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2.【答案】2√3【考点】菱形的性质【解析】过点A作AH⊥BC于H，在直角三角形ABH中求出AH的长，再根据菱形的面积公式计算即可．【解答】如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝2，∠B＝60∘，=√3，∴AH＝AB⋅sinB＝2×√32∴菱形ABCD的面积＝BC⋅AH＝2×√3=2√3．【答案】−x2+2x（答案不唯一）【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象与几何变换【解析】直接利用二次函数的性质分析其a，c的值进而得出答案．【解答】∵开口向下，∴a<0，∵抛物线过坐标原点，∴c＝0，∴答案不唯一，如y＝−x2+2x．【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90∘，并向左平移2个单位得到△DEF【考点】坐标与图形变化-平移几何变换的类型坐标与图形变化-旋转【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】抛物线与x轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】52【考点】垂径定理【解析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．【解答】连接OA，∵C是AB的中点，AB＝2，OC⊥AB，∴AC=12∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝(OA−1)2+22，，解得，OA=52【答案】√15+1【考点】在数轴上表示实数作图—复杂作图【解析】按照要求作图即可得点M，连接AC、BC，由题意知AB=4、BC=1、∠ACB=90∘，从而可得AM=AC=√AB2−BC2=√15，继而可得答案．【解答】如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90∘，则AM=AC=√AB2−BC2=√42−12=√15，∴点M表示的数为√15+1，【答案】②④【考点】二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】①该函数图象的开口向下，a<0，错误；>0，∴b>0，正确；②∵a<0，−b2a③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c>0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．三、解答【答案】3(1+x)7＝15，两边都除以3得，(1+x)8＝5，∴1+x＝±，∴x1＝−1+，x2＝−1−；3x2−4x−2＝0，∵a＝3，b＝−4，△＝b2−4ac＝16+24＝40，∴x＝＝＝，∴x3＝，x6＝．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意有△＝[−(2m−1)]7−4(m2−m)＝7>0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；抛物线过原点，则m2−m＝4，解得m＝0或1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点根的判别式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】y＝(x−1)2−4(−1, 0)、(3, 0)根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：从函数图象看，当−2<x<3时，当x＝−4时，y＝x2−2x−7＝1，函数的顶点坐标为(1, −2)，故y的取值范围为−4<y<1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴∠DOC＝90∘，∵DE // AC，DE＝，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90∘，∴四边形OCED是矩形；由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD // CE，∠OCE＝90∘，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝3，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．【考点】菱形的性质矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝4，∵OC＝4，∴OM＝＝2；连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90∘，∴∠MOC＝∠MCO＝45∘，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45∘，∴∠AOC＝90∘，∴∠B＝45∘，∵∠D+∠B＝180∘，∴∠D＝135∘．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：函数图象关于y轴对称−2.2<a<4【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】观察对应数值表可知：m＝0，用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4−5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2>x1>2时，y1<y2；故答案为<；③观察函数图象，结合对应数值表可知：−2.2<a<4，故答案为：−2.2<a<4．【答案】2∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝3时，y取到在1≤x≤4上的最大值为7．∴4a−8a+5a＝2．解得a＝−2，∴二次函数为y＝−2x2+8x−5，∵当t≤x1≤t+1，x4≥5时，均满足y1≥y3，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，∴t≥−1，t+1≤8，∴−1≤t≤4．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质二次函数的图象二次函数的最值二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【考点】作图-轴对称变换作图-相似变换全等三角形的性质与判定作图-旋转变换作图-位似变换【解析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，可得∠ABH＝90∘−2α，依据BA＝BD，即可得到∠BDA＝45∘+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP ＝∠EBP，BD＝BE，再判定△ABC≅△BDE，可得BC＝DE，进而得到∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，据此可得BC=√2DP．【解答】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【答案】5,±5设点C的坐标(x, y)，∵点C的“最大距离”为2，∴x＝±5或y＝±5，当x＝7时，y＝−7，当x＝−5时，y＝8，当y＝5时，x＝−7，当y＝−4时，x＝3，∴点C(−5, 7)或(3．如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线y＝2，⊙O上存在点M，∴．【考点】一次函数的综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答试卷第21页，总21页。
北京市2020版九年级上学期数学10月月考试卷A卷
北京市2020版九年级上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）下列函数是二次函数的是（）A . y=2x+1B . y=﹣2x+1C . y=x2+2D . y=x﹣22. （2分）已知二次函数，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m－3，m ＋3 时对应的函数值为y1 ， y2 ，则（）A . y1＞0，y2＞0B . y1＞0，y2＜0C . y1＜0，y2＞0D . y1＜0，y2＜03. （2分）能用直接开平方法求解的方程是（）A . x2+3x+1=0B . x2-2x+3=0C . x2+x-1=0D . x2-4=04. （2分）已知函数y=3-(x-m)(x-n)，并且a,b是方程3-(x-m)(x-n)=0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是（）A . m＜n＜b＜aB . m＜a＜n＜bC . a＜m＜b＜nD . a＜m＜n＜b5. （2分）二元二次方程组的解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A . 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B . 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C . 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D . 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位7. （2分）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝ gt2（g为定值）；④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2019九下·锡山月考) 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0；⑦方程ax2+bx+c ＝﹣4有实数解，正确的有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个9. （2分） (2019九上·番禺期末) 某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元。
北京九年级上学期数学10月月考试卷
北京九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019九上·大同期中) 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A . x2+2y=1B . ﹣2=0C . ax2+bx+c=0D . x2+2x=12. （2分）若方程x2－5x＝0的一个根是a，则a2－5a＋2的值为（）A . －2B . 0C . 2D . 43. （2分）(2018·邯郸模拟) 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019九上·武汉月考) 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A . 2根小分支B . 3根小分支C . 4根小分支D . 5根小分支5. （2分）(2019·抚顺模拟) 根据辽宁省人力资源和社会保障厅、辽宁省财政厅关于2018年调整退休人员基本养老金的通知文件精神，从2018年1月1日起，对我市企业退休人员基本养老金进行调整.已知企业退休职工李师傅2016年月退休金为2159元，2018年达到2394元.设李师傅的月退休金从2016年到2018年的年平均增长率为x，可列方程为（）A . 2394（1﹣x）2＝2159B . 2159（1+x）2＝2394C . 2159（1﹣x）＝2394D . 2159+2159（1+x）+2159（1+x）2＝23946. （2分） (2017九上·大庆期中) 若A ，B ，C 为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象上的三点，对称轴为直线x=-1，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（）A . y1＞y2＞y3B . y2＞y1＞y3C . y3＞y1＞y2D . y1＞y3＞y27. （2分）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N 的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程（）A . 2x·x＝24B . (10－2x)(8－x)＝24C . (10－x)(8－2x)＝24D . (10－2x)(8－x)＝488. （2分） (2019九上·镇江期末) 已知二次函数，点与点都在该函数的图象上，且是正整数，若满足的点有且只有3个，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·闵行模拟) 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（）A . 1米B . 2米C . 4米D . 5米10. （2分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2018九下·龙岩期中) 方程x2﹣24＝0的根是________．12. （1分）电流通过导线时会产生热量,设电流是I(安培),导线电阻为R(欧姆),t秒产生的热量为Q(焦),根据物理公式Q=I2Rt,如果导线的电阻为5欧姆,2秒时间导线产生60焦热量,则电流I的值是________ 安培．13. （1分） (2016九上·遵义期中) 某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为________元．14. （1分）在▱ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，则▱ABCD的周长为________15. （1分）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少________ 个时，网球可以落入桶内．16. （1分）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行________千米．三、解答题 (共8题；共76分)17. （15分） (2019八下·大庆期中) 解方程：（1） x2-5x+1=0（2） 3（x-2）2=x（x-2）18. （10分）(2017·云南) 已知二次函数y=﹣2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．（1）不等式b+2c+8≥0是否成立？请说明理由；（2）设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标．19. （7分） (2018九上·丽水期中) 已知抛物线y=－x2＋2x＋3．（1）求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．（2）在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象（3）将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线P P′与y轴的交点坐标20. （10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x﹣1=0．（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x﹣1=0的两根，且 + =2x1x2+1，求m的值．21. （2分） (2016九上·大石桥期中) 如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？22. （6分）(2018·内江) 如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点 .过点作轴，交抛物线于点 .（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.23. （11分）如图，已知ED为☉O的直径且ED=4，点A(不与点E，D重合)为☉O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为☉O上一点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线于点C．（1）求证:△EFB≌△ADE；（2）当点A在☉O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.24. （15分）(2017·七里河模拟) 如图（1），抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1） k=________，点A的坐标为________，点B的坐标为________；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求出点Q坐标，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共76分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、24-4、。
北京 九年级(上)月考数学试卷(10月份)
九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心对称图形的为（）A. B.C. D.2.已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=12x的图象上，则a与b之间的关系是（）A. a>bB. a<bC. a≥bD. a=b3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A. I=3RB. I=−6RC. I=−3RD. I=6R4.如图，已知AB是⊙O的直径，BC=CD=DE．∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠A等于（）A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘6.若关于x的方程（x+1）2=k-1没有实数根，则k的取值范围是（）A. k≤1B. k<1C. k≥1D. k>17.如图，已知⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC，则AC的长为（）A. 5cmB. 52cmC. 53cmD. 6cm8.如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（）A. 点A的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②C. 当点A沿双曲线向下移动时，矩形1的面积减小D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：______．10.若x=-2是关于x的方程x2-2ax+8=0的一个根，则a=______．11.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E．若∠CDB=30°，OA=2，则AB的长为______．12.如图，在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=______．13.如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1．把△ADE绕点A旋转90°，点E的对应点为点F，则F、C两点的距离为______．14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④5a＜b．其中，正确的是______．15.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______．16.如图，小明同学想将AB四等分，他首先作弦AB的垂直平分线与AB交于点C，连接AC，BC；再分别作弦AC，BC的垂直平分线与AB分别交于点D，E．老师说小明的作法是正确的，请写出小明这种作法的依据：______三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解方程：x2+4x-7=0．18.如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）作△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（0，-6），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．19.已知一次函数y=-2x+1的图象与y轴交于点A，点B（-1，n）是该函数图象与反比例函数y=kx（k≠0）图象在第二象限内的交点．（1）求点B的坐标及k的值；（2）试在x轴上确定点C，使AC=AB，直接写出点C的坐标．20.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．则AE与BF是什么关系？请说明理由．21.中踏销售某种商品，每件进价为10元，在销售过程中发现，平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可近似的看做一次函数：y=-2x+60；（1）求中踏平均每天销售这种商品的利润w（元）与销售价x之间的函数关系式；（2）当这种商品的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？22.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．23.已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，求OF的长．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）画出函数的图象；（3）当-2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围．25.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：其中m=______；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质______；②直线y=kx+b经过点（-1，2），若关于x的方程-x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______．26.在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”______（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，-5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=-2x的图象上，直线AB经过点P（12，12），求此抛物线的表达式．27.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．（1）如图1，点D在BC边上．①依题意补全图1；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'=b−1,(当a≥2时)|b|,(当a<2时)，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，2），点（-2，-5）的限变点的坐标是（-2，5），点（1，3）的限变点的坐标是（1，3）．（1）①点（3，-1）的限变点的坐标是______；②在点A（-2，2）、B（2，0）中有一个点是双曲线y=2x上某一个点的限变点，这个点是______；（填“A”或“B”）（2）若点P在函数y=x-3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是-2≤b'≤5，求k的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y=-x2+2tx-t2-t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'≤n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：∵点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数的图象上，∴a==12，b==4．∵12＞4，∴a＞b．故选：A．利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论（利用反比例函数的性质找出y随x（x＞0）的增大而减小亦可解决问题）．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，故选：D．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．4.【答案】B【解析】解：∵==，∠BOC=40°∴∠BOE=3∠BOC=120°∴∠AOE=180-∠BOE=60°故选：B．根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．5.【答案】A【解析】解：如图，∵△ACB绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，点B与B′对应，∴∠BCB′=∠ACA′=40°，∠A=∠A′，∵AC⊥A′B′，∴∠CDA′=90°，∴∠A′=90°-40°=50°，∴∠A=∠A′=50°．故选：A．根据旋转的性质得∠BCB′=∠ACA′=40°，∠A=∠A′，再利用AC⊥A′B′可计算∠A′=50°，所以∠A=∠A′=50°．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．6.【答案】B【解析】解：解方程（x+1）2=k-1得到：x+1=±，∵关于x的方程（x+1）2=k-1没有实数根，∴k-1＜0，解得，k＜1．故选：B．通过直接开平方法解得x+1=±，则根据二次根式有意义的条件得到不等式k-1＜0，由此求得k的取值范围．本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．解题时，利用了二次根式的被开方数是非负数求得k的取值范围．7.【答案】B【解析】解：连接EC，由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90°，∵∠B=∠EAC，∴∠E=∠EAC，∴CE=CA，∴AC=AE=5（cm），故选：B．连接EC，根据圆周角定理得到∠E=∠B，∠ACE=90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可．本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），由图形可知：当x=1时，y＜3，∴k=xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选：D．A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．本题考查了函数图象和新定义，有难度，理由x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．9.【答案】y=-3x【解析】解：∵图象在第二、四象限，∴y=-，故答案为：y=-．根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10.【答案】-3【解析】解：∵x=-2是关于x的方程x2-2ax+8=0的一个根，∴代入得：（-2）2-2a×（-2）+8=0，解得：4+4a+8=0，4a=-12，a=-3，故答案为：-3．把x=-2代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能得出一个关于a的方程．11.【答案】23【解析】解：∵∠CDB=30°，∴∠COA=60°，∴A=30°，∴OE=OA=1，在Rt△AEO中，AE=，∵OC⊥AB∴AB=2AE=2．故答案为：2先求出∠A=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质得出OE，进而用勾股定理求出AE，最后用垂径定理即可得出结论．此题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用，熟记垂径定理是解题的关键．12.【答案】32【解析】解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S1=1×（2-1）=1，S2=1×（1-）=，S3=1×（-）=，∴S1+S2+S3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2-×1=．故答案为：．根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13.【答案】5或37【解析】解：由DE=2，EC=1，可得正方形的边长为3，分两种情况：①如图，△ADE绕点A顺时针旋转90°，则∠ABF=∠D=90°，BF=DE=2，∴∠FBC=180°，∴FC=FB+BC=2+3=5；②如图，△ADE绕点A逆时针旋转90°，则∠H=∠D=90°，HF=DE=2，AH=AD=3，∴BH=6，过F作FG⊥BC于G，则BG=HF=2，CG=3-2=1，FG=BH=6，∴Rt△CFG中，CF===；综上所述，F、C两点的距离为5或．故答案为：5或．分两种情况：①△ADE绕点A顺时针旋转90°，②△ADE绕点A逆时针旋转90°，依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到F、C两点的距离为5或．本题考查了旋转的性质、勾股定理以及正方形的性质，正确理解分两种情况进行讨论是关键．14.【答案】①③④【解析】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==-1，∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；③∵x=1时，由图象可知y=0，故③正确；④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得5a-b=-c＜0，即5a＜b，故④正确；故答案为：①③④．①由图象与x轴有交点，对称轴为x==-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2-4ac＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x==-1，可以②进行分析判断；③由x=1时，由图象可知y=0，可对③进行分析判断；④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得5a-b=-c ＜0，即5a＜b，即可对④进行判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．15.【答案】（6，0）（1，-2018）【解析】解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，-2），A3（-3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，-6），A7（-7，1），A8（1，9）…，∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，-（4n+2）），A4n+3=（-（4n+3），1）．∵5=4+1，2018=504×4+2，∴A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2018的坐标为（0，-2018）．故答案为：（6，0）；（0，-2018）．根据画弧的方法以及罗列部分点的坐标发现：点A x的坐标满足“A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，-（4n+2）），A4n+3=（-（4n+3），1）”，根据这一规律即可得出A5和A2018点的坐标．本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是罗列出部分点的坐标找出“A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，-（4n+2）），A4n+3=（-（4n+3），1）”这一规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键．16.【答案】①弧是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧【解析】解：∵线段AB的垂直平分线是经过圆心的直线，∴=，∵线段AC的垂直平分线经过圆心，∴=，同法可证=，∴===，故答案为：①弧是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．根据圆是轴对称图形，垂径定理即可解决问题；本题考查作图-复杂作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】解：x2+4x-7=0，移项得，x2+4x=7，配方得，x2+4x+4=7+4，（x+2）2=11，解得x+2=±11，即x1=-2+11，x2=-2-11【解析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）如图所示，点P即为所求，其坐标为（0+32，−2+(−6)2），即（32，-4）．【解析】（1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）根据点A的对应点A2的坐标得出平移方向和距离，再利用平移的定义和性质作图可得；（3）连接C1C2，A1A2，交点即为所求点，根据中点坐标公式可得答案．本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．19.【答案】解：（1）∵点B（-1，n）在直线y=-2x+1上，∴n=2+1=3．∴点B的坐标为（-1，3）．∵点B（-1，3）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=-3．（2）当x=0时，y=-2x+1=1，∴点A的坐标为（0，1）．设点C的坐标为（m，0），∵AC=AB，∴m2+1=(−1−0)2+(3−1)2=5，解得：m=±2．∴点C的坐标为（2，0）或（-2，0）．【解析】（1）由点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，根据点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）令x=0利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点C的坐标为（m，0），根据两点间的距离公式结合AC=AB即可得出关于m无理方程，解之即可得出m的值，进而得出点C的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标是解题的关键．20.【答案】证明：结论：AE=BF，AE⊥BF．∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO（SAS），∴AE=BF；延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．【解析】结论：AE=BF，AE⊥BF，只要证明△AEO≌△BFO，即可解决问题，由∠OAC=∠OBF，推出∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）由题意得出：w=（x-10）×y，=（x-10）•（-2x+60）=-2x2+80x-600；（2）∵w=-2x2+80x-600，∴当x=-b2a=20时，w最大=-2×202+80×20-600=200（元）．答：当这种商品的销售价为20元时，可以获得最大利润，最大利润是200元．【解析】（1）由题意得，每天销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）根据公式，求出x=20时W最大，进而得出答案．此题考查了二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．22.【答案】解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x=4m±362=2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．【解析】（1）首先得到△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0证得方程有两个不相等的实数根；（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．23.【答案】解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，∠ADO=∠EFO∠DAO=∠FOEOA=OE，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF=AD=1，【解析】根据垂径定理求出AD，再证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．24.【答案】解：（1）把A（3，0）代入mx2-2mx-3=0得9m-6m-3=0，解得m=1，抛物线解析式为y=x2-2x-3，当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，所以B点坐标为（-1，0）；（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，则抛物线的顶点坐标为（1，-4），当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），如图，（3）当-2＜x＜3时，y的取值范围为-4≤y＜5．【解析】（1）先把A点坐标代入mx2-2mx-3=0求出m得到抛物线解析式为y=x2-2x-3，再解方程x2-2x-3=0得B点坐标；（2）先把解析式配成顶点式为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，则抛物线的顶点坐标为（1，-4），再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（3）先计算x=-2时，y=5，然后利用图象写出对应的y的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．25.【答案】1 函数图象关于y轴对称1＜b＜2【解析】解：（1）当x=-2时，m=-（-2）2+2×|-2|+1=-4+4+1=1．（2）如图所示：（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．②由函数图象知：∵关于x的方程-x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y=x2-2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y 随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26.【答案】都能【解析】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则k=ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba=ab=k，∴（b，a）也在反比例函数y=的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，-5），∴N（-5，2）．设直线MN的表达式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y=-x-3；（3）∵点A在反比例函数y=-的图象上，∴设A（k，-），∵A，B是一对“互换点”，∴B（-，k），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，-1），B（-1，2），或A（-1，2），B（2，-1）．将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y=x2-2x-1．（1）根据乘法满足交换律即可求解；（2）根据“互换点”的意义求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线MN的表达式；（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征可设A（k，-），由“互换点”的意义可得B（-，k），利用待定系数法求出直线AB的解析式，再将A、B的坐标代入y=x2+bx+c，即可求出此抛物线的表达式．本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，方程组的解法，理解“互换点”的意义是解题的关键．27.【答案】解：（1）①补全图形，如图1所示．②如图1②，由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．∵DF⊥BC，∴∠FDB=90°．∴∠ADF=∠EDB．∵∠C=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠DFB=45°．∴DB=DF．∴△ADF≌△EDB．∴AF=EB．在△ABC和△DFB中，∵AC=8，DF=3，∴A=82，BF=32．AF=AB-BF=52即BE=52．（2）如图2，2BD=BE+AB．【解析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF=EB．在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB=，BF=．再根据线段的和差关系得到AF=AB-BF=，即BE=．（2）根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形的性质得到EF=DC．再根据等腰直角三角形的性质得到EF=BE，BC=AB，根据等量关系即可得到BD=BE+AB．考查了作图-旋转变换，全等三角形的判定与性质，关键是根据题意证明三角形全等，同时涉及勾股定理，等腰直角三角形的性质的知识点．28.【答案】（3，1） B【解析】解：（1）①∵点（，-1）的横坐标＜2∴其限变点纵坐标取其绝对值，即1∴限变点的坐标为（，1）故答案为：（，1）．②x=-2时，y==-1，点（-2，-1）的限变点为（-2，1），不是点A，x=2时，y==1，点（2，1）的限变点为（2，0），即点B，故答案为：B．（2）依题意，y=x-3（-2≤x≤k，k＞-2）图象上的点P的限变点Q必在函数b′=的图象上（如图1）．当x=2时，b′取最小值，b'=2-4=-2，当b'=5时，x-4=5或-x+3=5，∴x=9或x=-2，当b′=1时，x-4=1．，∴x=5．∵-2≤b'≤5，∴由图象可知，k的取值范围时：5≤k≤9，（3）∵y=-x2+2tx-t2-t=-（x-t）2-t，∴顶点坐标为（t，-t）．图象上的点P的限变点Q必在函数的图象上．Ⅰ．若t≥2，如图2，b′的取值范围是b′＞m或b′≤n，与题意不符．Ⅱ．若0＜t＜2，如图3，当x＜2时，b′的最小值为t，即m=t；当x≥2时，y的值最大值=-（2-t）2-t-1，即n=-[（2-t）2+t+1]．∴s=m-n=t+[（2-t）2+t+1]=t2-2t+5．∴s关于t的函数解析式为s=t2-2t+5，（t＜2），当t=1时，s取最小值4，∴s的取值范围是s≥4．Ⅲ．若t≤0，如图4，当x＜2时，b′的最小值为0，即m=0；当x≥2时，y的值最大值=-（2-t）2-t-1，即n=-[（2-t）2+t+1]．∴s=m-n=0+[（2-t）2+t+1]=t2-3t+5．∴s关于t的函数解析式为s=t2-3t+5，（t≤0），当t=时，s取最小值，综上所述：s=，当0＜t＜2时，s的取值范围是s≥4．当t≤0时，s的取值范围是．（1）①根据限变点的定义代入式子计算纵坐标即可；②分别把A、B横坐标代入y=求得两个在双曲线上的点坐标，再分别计算其限变点，得到一个限变点为B．（2）根据题意可知y=x-3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上的点P的兄弟点Q必在函数y=的图象上，结合图象即可得到答案；（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t顶点坐标，结合t与2的关系确定y的最值，进而用m和n表示出s，根据t的取值范围求出s的取值范围．本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是：（1）根据限变点的定义找出点A，B的兄弟点的坐标；（2）依照题意，画出函数图象，利用数形结合找出结论；（3）根据限变点的定义得出函数图象，结合图形，确定m，n的值与t的关系。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在 AB 上，则P ∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．下列事件中，为必然事件的是（）A ．任意画一个三角形，其内角和是180°B ．明天会下雪C ．郑一枚骰子，向上一面的点数是7D ．足球运动员射门一次，未射进4．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB=65︒，则∠ADC 的度数为（）A ．65︒B ．35︒C ．32.5︒D ．25︒5．如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A ．3B ．CD ．66．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t （秒）时球距离地面的高度h （米）适用公式2105h t t =-，那么球弹起后又回到地面所花的时间t （秒）是（）A ．5B ．10C ．1D ．27．在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （0，﹣5），若在x 轴正半轴上有一点C ，使∠ACB ＝30°，则点C 的横坐标是（）A ．+B ．12C ．D ．8．如图，边长为a 的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O 点所经过的路径长为（）A ．5aB ．6a CπD ．2a π二、填空题9．如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=︒．10．关于x 的一元二次方程()222310x m x m --++=若m 是方程的一个实数根，则m 的值为．11．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．12．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当0x <时，y 随x 的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是．13．如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 经过点A ，C ，D 与BC 交于点E ，连接AE ，若72D ∠=︒，则BAE ∠=．14．将二次函数2245y x x =-+化成2y a x h k =-+（）的形式为．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：②0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根一个在0和1之间，一个在2-和1-之间；⑤若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确的结论是．16．如图，在ABC 中，4AC BC ==，90ACB D ∠=︒，为AC 上一动点（与点A ，点C 不重合），连接BD ，过点A 作AE BD ⊥的延长线于E ．若H 为BE 中点，则线段CH 的最小值是．三、解答题17．解方程：22430x x --=．18．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60︒”的尺规作图过程．已知：O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于O ，且其对角线,AC BD 的夹角为60 ．作法：如图，①作O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交O 于点D ；④连接,,,AB BC CD DA ．所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明： 点,A C 都在O 上，OA OC ∴=．同理OB OD =．∴四边形ABCD 是平行四边形．AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒（）∴四边形ABCD 是矩形．AB = ______BO =，60AOB ∴∠=︒．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为()()()1,3,4,3,0,0A B O --．(1)画出ABO 关于x 轴对称的11A B O ，并写出点1A 的坐标；(2)画出ABO 绕点O 顺时针旋转90 后得到的22A B O V ，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求线段OA 旋转到2OA 所扫过的面积（结果保留π）．20．已知抛物线242y x x =-+．(1)此抛物线与y 轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ⋯⋯y⋯⋯(3)结合图象回答：①垂直于y 轴的直线l 与抛物线242y x x =-+相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12x x +=______；②若点()5,A t 和点(),B m n 都在抛物线242y x x =-+上，且n t <，则m 的取值范围是______．21．如图，AB 是O 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若10AB =，3CD =，求O 的半径．22．一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．23．已知：关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程有一根小于2，求m 的取值范围．24．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在BC 边上，以CD 为直径的⊙O 与直线AB 相切于点E ，且E 是AB 中点，连接OA（1）求证：OA ＝OB ；（2）连接AD ，若AD O 的半径．25．某广场内有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x 米时水柱距离地面高度为y 米，则y 与x 近似的满足函数关系()()20=-+≠y a x h k a ．现测量出x 与y 的几组数据如下：x （米）01234⋯y （米） 1.75 3.0 3.75 4.0 3.75⋯请解决以下问题：(1)求出满足条件的函数关系式；(2)设身高为1.75米的小明到水枪的水平距离为m 米()0m ≠．若小明被水枪淋到，请直接写出m 的取值范围．26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --都在该二次函数图象上，①请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“=”“<”填空）；②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．已知等边ABC 和等边,CDE AD BE △、相交于点M ．(1)求DME ∠的度数；(2)延长AD 至点K ，使DK AD =，连接KE ．将线段KE 绕点E 逆时针旋转60度得到线段EH ，近接,,BD BH HD ．①依题意补全图形；②判断BDH △的形状并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．(1)已知点()2,0A -．①若点B 是点A 关于y 轴，直线1:3I x =的二次对称点，则点B 的坐标为______；②若点()6,0C -是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的二次对称点，则a 的值为______；③若点()3,1D 是点A 关于y 轴，直线3l 的二次对称点，则直线3l 的表达式为______；(2)O 的半径为1．若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线4:l x b =的二次对称点，且点M '在射线()0y x =≥上，b 的取值范围为______；(3)(),0E t 是x 轴上的动点，E 的半径为2，若E 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线5:13l y x =+的二次对称点，且点N '在y 轴上，直接写出t 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．2．B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=︒，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于O ，∴90BOC ∠=︒∴11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可【详解】解：A 、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；B 、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；C 、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；D 、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．4．D【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等即可得到答案．【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧相同∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角的知识，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角．5．C【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =∴在Rt OAB 中，tan 2OB AB A =⋅∠=，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC =，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．6．D【分析】根据球弹起后又回到地面时0h =，得到20105t t =-，解方程即可得到答案．【详解】解：球弹起后又回到地面时0h =，即20105t t =-，解得10t =（不合题意，舍去），22t =，∴球弹起后又回到地面所花的时间t （秒）是2，故选：D【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．7．A【分析】如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，再证明ABD △是等边三角形，再分别求解,OH CH 即可得到答案.【详解】解：如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，()()0,1,0,5,30,A B ACB -∠=︒ 6,60,,AB ADB DA DB ∴=∠=︒=ABD ∴ 是等边三角形，3,AG BG DG ∴===2,OH DG DH OG AG AO ∴====-=CH ∴=OC OH CH ∴=+=().C ∴故选：.A【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.8．D【分析】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长．首先求得从B 到B '时，圆心O 的运动路线与点F 运动的路线相同，即是 FF'的长，又由正六边形的内角为120︒，求得 FF '所对的圆心角为60︒，根据弧长公式180n R l π=计算即可．【详解】解：∵正六边形的内角为120︒，∴120BAF ∠=︒，∴60FAF '∠=︒，∴ 601803a FF a ππ'⋅==，∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O 点所经过的路径长为：623a a ππ⨯=，故选：D ．9．80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝100°，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．10．13-【分析】本题考查一元二次方程解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据方程解的定义，将m 代入方程得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：∵m 是方程()222310x m x m --++=的一个实数根，∴()222310m m m m --⨯++=，解得：13m =-，故答案为：13-．11．()2150111815x +=【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．12．221y x x =-+-（答案不唯一）【分析】首先由①得到0＜a ；由②得到02b a-≤；只要举出满足以上两个条件的a b c 、、的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，①开口向下，<0a ∴；②当0x <时，y 随着x 的增大而增大，02b a -≥，即0b >；∴只要满足以上两个条件就行，如=1=2=1a b c --，，时，二次函数的解析式是221y x x =-+-．故答案为：221y x x =-+-．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．13．36︒【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得108AEC ∠=︒，进而由邻补角性质解得72AEB ∠=︒，再由平行四边形对角相等性质，解得72B D ∠=∠=︒，最后由三角形内角和180°解题即可．【详解】四边形ABCD 是O 的内接四边形180D AEC ∴∠+∠=︒72D ∠=︒18072108AEC ∴∠=︒-︒=︒，18010872AEB ∴∠=︒-︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，72B D ∴∠=∠=︒18027236BAE ∴∠=︒-⨯︒=︒故答案为：36︒【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．2y 2(x 1)3=-+【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解∶()222245221152(1)3y x x x x x =-+=-+-+=-+，故筦案为∶2y 2(x 1)3=-+．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．15．①③④⑤【分析】本题考查了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数的关系，开口向上，则0a >；反之，a<0．对称轴在y 轴左侧，则,a b 同号；反之，则,a b 异号；图象与y 轴交点在x 轴上方，则0c >；反之，则0c <．二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0y =时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与x 轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解，据此即可求解．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴122b a -=-，a b =∴0ab >由图象可知：抛物线开口向下，故a<0，∴0b <当0x =时，0y c =>∴0abc >，故①正确；由图象可知：当1x =时，0y a b c =++<，又a b =，∴20b c +<，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线12x =-，开口向下，且()15173,32222⎛⎫---=--= ⎪⎝⎭，∴12y y >，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点位于0和1之间，且对称轴为直线12x =-，∴抛物线与x 轴的另一个交点位于2-和1-之间，故关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根一个在0和1之间，一个在2-和1-之间，故④正确；∵关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，∴()2Δ430b ac =--<即：24120b ac a -+<∴2412ac b a->∵2412344ac b a m a a-=<=∴3m <，故⑤正确；故答案为：①③④⑤16+【分析】本题考查了中位线定理、斜中半定理、勾股定理等知识点，根据中点进行联想是解题关键．取AB 的中点F ，取BF 的中点L ，连接FH LH 、，可求得HL ；连接CL ，作LK BC ⊥，可求得CL ；再由CH HL CL +≥即可求解.【详解】解：取AB 的中点F ，取BF 的中点L ，连接FH LH 、，如图所示：∵4AC BC ==，90,ACB ∠=∴AB =45CAB ABC ∠=∠=︒∴12BF AF AB ===∵H 为BE 中点，AE BD ⊥，∴90HF AE FHB ∠=︒，∴12HL BF BL FL ===连接CL ，作LK BC ⊥，如图所示：则45LBK BLK ∠=∠=︒∴BK LK=∵222BL BK LK =+∴1BK LK ==∴3,CK BC BK CL =-===∵CH HL CL+≥∴CH ≥∴CH ≥∴线段CH17．122x =，2x 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可．【详解】解：2a = ，4b =-，3c =-，∴1642(3)400∆=-⨯⨯-=>，则4242x ±==，解得：1x =，2x =．18．(1)见解析(2)直径所对的圆周角等于90︒，AO【分析】本题考查了圆周角定理和矩形的判定，熟记定理内容是解题关键．（1）根据提示即可完成作图；（2）根据推理过程，先证明四边形是平行四边形，再证明是矩形，最后证明等边三角形即可．【详解】（1）解：如图所示：矩形ABCD 即为所求：（2）证明： 点,A C 都在O 上，OA OC ∴=．同理OB OD =．∴四边形ABCD 是平行四边形．AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒（直径所对的圆周角等于90︒）∴四边形ABCD 是矩形．AB = ___AO ___BO =，60AOB ∴∠=︒．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．19．(1)见解析，()11,3A --(2)见解析，()23,1A(3)52π【分析】本题考查了轴对称以及旋转作图，扇形的面积等知识点，找到对应点是作图关键．（1）关于x 轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此即可求解；（2）确定ABO 各顶点绕点O 顺时针旋转90 后的对应点，即可作图；（3）确定扫过的扇形的半径和圆心角度数即可求解；【详解】（1）解：11A B O 如图所示：由图可知：()11,3A --（2）解：22A B O V 如图所示：由图可知：()23,1A （3）解：∵()2221310OA =-+=，∴线段OA 旋转到2OA 所扫过的面积29053602OA ππ=⨯⨯=20．(1)()()0222-，，，(2)见解析(3)①4；②15m -<<【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键．（1）令0x =可得抛物线与y 轴的交点坐标；将一般式写成顶点式可得顶点坐标；（2）列表求出抛物线上的点的坐标，即可描点作图；（3）①根据抛物线的对称轴即可求解；②求出()5,A t 关于直线2x =的对称点即可求解；【详解】（1）解：令0x =，则2y =；∴抛物线与y 轴的交点坐标是()02，()224222y x x x =-+=--，∴顶点坐标是()22-，故答案为：()()0222-，，，（2）解：如图所示：（3）解：①结合图象可知：抛物线的对称轴为直线2x =，∴若垂直于y 轴的直线l 与抛物线242y x x =-+相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x +=，故答案为：4②点()5,A t 关于直线2x =的对称点为()1,t -，∴若点()5,A t 和点(),B m n 都在抛物线242y x x =-+上，且n t <，则m 的取值范围是:15m -<<故答案为：15m -<<21．173【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，根据()22253r r =+-即可求解【详解】解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，∵C 是 AB 的中点，∴152OD AB AD AB ⊥==，在Rt AOD 中，()22253r r =+-，解得：173r =22．（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．【详解】（1）所有可能性如下表：甲乙红1红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率=41123=，乙获胜概率=82123=∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）见解析；（2）m ＞﹣2．【分析】（1）先求出方程的根的判别式，再判断出根的判别式不小于0，即可得出结论；（2）先利用因式分解法求出方程的两根，由一根小于2建立不等式求解，即可得出结论．【详解】（1）关于x 的方程2(2)20x m x m +--=的根的判别式为2(2)41(2)m m ∆=--⨯⋅-整理得：2(2)m ∆=+∵2(2)0m +≥∴0∆≥故关于x 的方程2(2)20x m x m +--=总有实数根；（2）2(2)20x m x m +--=因式分解得：(2)()0x x m -+=解得122,x x m==-∵方程有一根小于2∴2m -<解得2m >-故m 的取值范围为2m >-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的根的判别式与解法是解题关键．24．（1）见解析；（2）1【分析】（1）根据切线的性质可得OE ⊥AB ，再依据题中已知条件E 是AB 中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得OAE OAC ∠=∠，再由三个角之间的等量关系可得：30OAC ∠=︒，设⊙O 的半径为r ，则2CD r =，在Rt AOC △和Rt ACD 中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．【详解】解：（1）证明：在⊙O 中，连接OE ，∵直线AB 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥AB ．∵E 是AB 中点，∴OA OB =；（2）解：∵OA OB =，∴OAE B ∠=∠．∵90ACB ∠=︒，∴AE ，AC 是⊙O 的切线，∴OAE OAC ∠=∠，（切线长定理）∴OAE OAC B ∠=∠=∠，∵90OAE OAC B ∠+∠+∠=︒，∴30OAC ∠=︒，设⊙O 的半径为r ，则2CD r =，在Rt AOC △中，22AO OC r ==，∴AC ==，在Rt ACD 中，∵222AC CD AD +=，AD =∴)()2227r +=，解得1r =，∴⊙O 的半径为1．【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．25．(1)()21344y x =--+(2)67m ≤≤【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键．（1）由表格数据可知：3,4h k ==，将点()1,3代入即可求解；（2）根据对称轴确定点()0,1.75的对称点为()6,1.75；令0y =，求出对应的自变量的值，即可求解；【详解】（1）解：由表格数据可知：3,4h k ==，∴()234y a x =-+，将点()1,3代入()234y a x =-+得：()23134a =-+，解得：14a =-，∴()21344y x =--+（2）解：由（1）可知：抛物线的对称轴为直线3x =，∴点()0,1.75的对称点为()6,1.75令0y =，则()213404x --+=解得：127,1x x ==-（舍去）∴若小明被水枪淋到，则67m ≤≤26．(1)抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3，对称轴2x =(2)①=；②3154a -≤<-【分析】（1）0x =，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；（2）①根据题意可得点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，即可求解；②根据题意可得点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧，然后分两种情况：当0a >时，当a<0时，即可求解．【详解】（1）解：令0x =，则3y =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．对称轴422a x a-=-=．（2）解：①∵函数图象的对称轴为直线2x =，∴点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，∴12y y =，故答案为：=；②∵函数图象的对称轴为直线2x =，3112>>->-，∴点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧．当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴1234y y y y =<<，不合题意．当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则1234y y y y =>>，1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值可以满足12340y y y y >=≥>，∴340,0y y ≥<，即当=1x -时，3430y a a =++≥，当2x =-时，44830y a a =++<．解得3154a -≤<-．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27．(1)60︒(2)①见解析②BDH △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）证≌ACD BCE V V 得ADC BEC ∠∠=即可求解；（2）①根据提示即可作图；②连接CH ，证KED HEC V V ≌，结合由（1）BE AD =再证DCH DEB V V ≌即可求解；【详解】（1）解：由题意得：,,60AC BC CD CE ACB DCE==∠=︒=∠∴ACB BCD DCE BCD∠+∠=∠+∠即：ACD BCE∠=∠∴≌ACD BCEV V ∴ADC BEC∠∠=∴60DME DCE ∠=∠=︒（2）解：①补全图形如下：②BDH △是等边三角形，理由如下：连接CH ，如图所示：由题意得：,60EK EH KEH DEC=∠=︒=∠∴KEH DEH DEC DEH∠-∠=∠-∠即：KED HEC∠=∠∵DE CE=∴KED HECV V ≌∴,DK CH KDE HCE=∠=∠∵60DEB KDE DME KDE ∠=∠-∠=∠-︒,60DCH HCE DCE HCE ∠=∠-∠=∠-︒∴DEB DCH∠=∠∵DK AD=∴CH AD=由（1）得BE AD=∴CH BE=∴DCH DEBV V ≌∴,DH DB HDC BDE=∠=∠∴HDC BDC BDE BDC∠-∠=∠-∠即：60HDB CDE ∠=∠=︒∴BDH △是等边三角形28．(1)①()4,0；②3-；③3y x =-+；(2)12b -≤≤(3)44t --≤-【分析】（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b 的最大值以及最小值即可解决问题；（3）设点E 关于y 轴的对称点为1E ，1E 关于直线13y x =+的对称点为E '，易知当点N 在E 上运动时，点N '在E ' 上运动，由此可见当E ' 与y 轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E '的坐标即可解决问题．【详解】（1）解：①∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，∴点()12,0A 关于直线3x =的对称点()4,0B ，故答案为：()4,0；②∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，又∵点()6,0C -是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的二次对称点，∴()12,0A 、()6,0C -关于直线x a =对称，∴()16232a =-+=-，故答案为：3-；③如图，∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，又∵点()3,1D 是点()2,0A -关于y 轴，直线3l 的二次对称点，∴直线3l 是1A D 的垂直平分线，∴点E 为线段1A D 的中点，1CA D C =，∴点E 的坐标为231,22+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0C m ，∴12CA m =-，()()222310CD m =-+-，即()()()2223102m m -+-=-，∴3m =，∴()3,0C ，设直线1A D 的解析式为y kx b =+，过点()12,0A ，()3,1D ，∴2031k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b ⎧⎨⎩==-，∴直线1A D 的解析式为2y x =-，设直线3l 的解析式为11y k x b =+，过点()3,0C ，51,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴305122k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线3l 的解析式为3y x =-+，故答案为：3y x =-+；（2）如图，∵O 的半径为1．若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线4:l x b =的二次对称点，且点M '在射线()0y x =≥上，∴12b MM '=，由此可知，当MM '的值最大时，可得b 的最大值，∵直线OM '的解析式为y ，当1x =时，y =，∴tan 1M OD ∠'==∴60MM O M OD ∠'=∠'=︒，∵1OM =，∴OM OM '⊥时，MM '的值最大，最大值为1sin sin 60OM MM MM O '===='∠︒∴b的最大值为3；如图，当点M 在x 轴的正半轴上时，可得b 的最小值，最小值为12-；综上所述，满足条件的b取值范围为123b -≤≤故答案为：12b -≤≤（3）如图，设点E 关于y 轴的对称点为1E ，1E于直线1y =+的对称点为E '，∴当点N 在E 上运动时，点N '在E ' 上运动，由此可见当E ' 与y 轴相切或相交时满足条件，连接1E E '交直线1y =+于K ，设直线1y =+交x 轴于点G ，交y 轴于点H ，过点K 作KL x ⊥轴于点L ，对于直线1y x =+，当0x =时，得1y =；当0y =时，得x =∴1OH =，OG =∴tan 3HGO ∠==，∴30HGO ∠=︒，∵GK 是1E E '的垂直平分线，∴190GKE ∠=︒，1E K E K ='，∴1190903060KE G GKE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵(),0E t ，∴()1,0E t -，∴1GE t =-，∴(111122KE GE t ==-，∴(111sin 2KL KE KE G t t =⋅∠=-+=-，∴(3tan 4t KL GL t HGO -==-∠，∴((31344OL GL OG t t =-=-=-，∴3344t K ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭，∵1E K E K ='，由中点坐标公式得：2E t x '+=-，当E ' 与y轴相切时，2=，解得：4t =±，综上所述，满足条件的t的取值范围为44t --≤-答案第23页，共23页【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换，垂直平分线的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，中点坐标及两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题．。
北京四中2014-2015学年九年级上10月月考数学试卷含答案
北京四中2014-2015学年九年级上10月月考数学试卷含答案班级__________学号_____________ 姓名____________ 成绩___ _______A卷一. 选择题1.函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0 D．m、n能够为任意实数2.已知抛物线y=ax2+bx+c，通过A(4，0),B(12,0)两点，那么它的对称轴是（）A.直线x＝7B.直线x＝8C.直线x＝9D.无法确定3.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y＝3(x＋3)2－2B.y＝3(x＋3)2＋2C.y＝3(x－3)2－2D.y＝3(x －3)2＋24.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜05．将抛物线y＝x2＋1绕其顶点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( )A．y＝－x2 B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）7.二次函数2=+的图象如图，若一元二次方程20y ax bx++=有实数ax bx m根，则m的最大值为（）A．3-B．3C．6-D．9第4题第7题第8题第9题8.已知二次函数y1=x2-x-2和一次函数y2=x+1的两个交点分不为A(-1，0)，B(3，4)，当y1＞y2时，自变量x 的取值范畴是（）A ．x ＜-1或x ＞3B ．-1＜x ＜3C ．x ＜-1D ．x ＞39.已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程a x2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情形是( )A.无实根B.有两个相等实根C.有两个异号实根D.有两个同号不等实根 10.二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b ﹣1）x+c=0的一个根； （4）当﹣1＜x ＜3时，ax2+（b ﹣1）x+c ＞0． 其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二．填空题11.抛物线y = 2x2 + 12x – 25的对称轴为直线x = .12.抛物线的形状大小、开口方向都与212y x =-相同且顶点为（1，-2）， 则该抛物线的解析式为.13.已知二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m=. 14.已知二次函数y=ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范畴是_____________．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴过点（1，0）,若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c=____．16.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+2mx对应的函数值分不为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个直角三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范畴是．三．解答题17.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且通过原点（0，0），求该函数的解析式．18.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范畴内时，一次函数的值大于二次函数的值．19.已知二次函数2=+-.y x x246（1）写出其顶点坐标与对称轴方程；（2）求以抛物线与两个坐标轴交点为顶点的三角形面积.（3）当40x -<<时，方程2246x x t +-=有一解，直截了当写出t 的取值范畴_______.20.已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？21.某学生利用暑假20天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x 天销售的有关信息如表所示．销售量p （件）p =50﹣x销售单价q （元/件） 当1≤x ≤20时，q =30+x（1）请运算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；（3）这20天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？22.阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分不作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种运算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列咨询题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B. (1)求抛物线和直线AB 的解析式； (2)求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请讲明理由.图1 图223．在平面直角坐标系中，抛物线22=++通过点A（0，2-），B（3，y x mx n4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G Array有公共点，结合函数图像，求点DB卷24.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．25.如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，3．将矩形OABC 绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分不交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c通过G、O、E三点，则它的解析式为：______________；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s33<≤时，确定点Q的横坐标的取值范畴．s答案： 一、选择题1.B ；2.B ；3.D ；4.B ；5.B ；6.D ；7.B ；8.A ；9.D ；10.B. 二、填空题11.-3；12.21(1)22y x =---；13.1；14.04x <<；15.0；16.72m >-.三、解答题17.解：设二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣1（a ≠0）， ∵函数图象通过原点（0，0）， ∴a （0﹣1）2﹣1=0， 解得a=1，∴该函数解析式为y=（x ﹣1）2﹣1．18.解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点，∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x ﹣1； （2）当y=0时，得x2﹣x ﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴点D 坐标为（﹣1，0）； （3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范畴是﹣1＜x ＜4．19.（1）顶点坐标（-1，-8），对称轴方程x=-1； （2）12；（3）610t -≤<或8t =-.20．（1）证明：∵△=（﹣2m ）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x ﹣m ）2+3，把函数y=（x ﹣m ）2+3的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x ﹣m ）2的图象，它的 顶点坐标是（m ，0），因此，那个函数的图象与x 轴只有一个公共点，因此，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．21.解：（1）当1≤x ≤20时，令30+x=35，得x=10， 即第10天该商品的销售单价为35元/件．（2）当1≤x ≤20时，y=（30+x ﹣20）（50﹣x ）=﹣x2+15x+500， （3）当1≤x ≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x ﹣15）2+612.5， ∴当x=15时，y 有最大值612.5，∴这20天中第15天时该网站获得利润最大，最大利润为612.5元． 22.(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y把A （3,0）代入解析式求得1-=a 因此324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k因此32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)因此当x ＝１时，y1＝4，y2＝2因此CD ＝4-2＝2 ，32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，若P 在直线AB 上方，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB=89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 若P 在直线AB 下方，则2213h y y x x =-=-由S △PAB=89S △CAB 得：2193(328x ⨯⨯=⨯化简得：241290x x --=解得，3x ±=利用直线方程解得P 点坐标为3333(),(2424+----+ 23.（1）2242y x -x-=，直线x=1；（2）443t -≤≤. 24.解：（1）设顶点为（h ，k ）的二次函数的关系式为y=a （x ﹣h ）2+k ，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x ﹣3）2+4． ∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x ﹣3）2+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x ﹣3）2+4与y=3（x ﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x ﹣3）2+4与y=3（x ﹣3）2+4是“同簇二次函数”． ∴符合要求的两个“同簇二次函数”能够为：y=2（x ﹣3）2+4与y=3（x ﹣3）2+4．（2）∵y1的图象通过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．25.解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=，IO==3，JO=，JE=1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵通过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF的中位线，∴xD=xN=•xG=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP），S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xQ），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）+•（yK﹣y Q）•（xH﹣xQ）=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）﹣•（y K﹣yQ）•（xQ﹣xH）=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=﹣x2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．。
2018年10用北京四中初三上月考数学试题及答案
20. （5 分）2014 年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016 年建成，现已成为 青岛北部一个重要的旅游景点，为了测量古城“潮海”门的高度，在数学课 外实践活动中，小明分别在如图所示的 A，B 两点处，利用测角仪对“潮海” 门的最高点 C 进行了测量，测得∠A=30°，∠CBD=45°，若 AB=22 米，求“潮 海”门的最高点 C 到地面的高度为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：
3 （第 7 题图）
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2018-2019 学年度第一学期北京四中初三数学统一练习（一）
7. 二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示，给出下列结论：
① abc 0 ； ② 2a + b = 0 ； ③ a − b + c 0 ；④ b2 − 4ac 0 ．
（1）求这个二次函数的解析式． （2）连接 BC，求线段 BC 的长． （3）若点 P 在 x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，
请直接写出符合条件的所有点 P 的坐标．
23. （10 分）抛物线 y = − 1 x2 + 2 x +1 的顶点为 D，它与 x 轴交于 A，B 两点（点 33
A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A,B,C,D 的坐标； （2）求直线 BC 的解析式； （3）求△BCD 的面积； （4）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使△PBC 面积为 1？若存在，
m 的取值范围是（
A． − 25 m 3 4
C． −2 m 3
）
B． − 25 m 2 4
北京市九年级上学期数学10月月考试卷
北京市九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·徐州模拟) 下列说法中正确的是（）A . 有两个角为直角的四边形是矩形B . 矩形的对角线互相垂直C . 平行四边形的对角线互相平分D . 对角线互相垂直的四边形是菱形2. （2分） (2019九上·武昌期中) 方程3x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A . 3和4B . 3和－4C . 3和－1D . 3和13. （2分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=60°，则∠C的度数为（）A . 60°B . 30°C . 35°D . 40°4. （2分）(2019·镇海模拟) 在一个不透明的口袋里有3个红球，2个黄球，4个蓝球，这些球除颜色外全部相同，搅匀后随机从中摸出一个球，不是红球的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019九上·融安期中) 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年收入400美元，预计2019年年收入将达到1200美元，设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A . 400(1+2x)=12000B . 400(1+x)2=12000C . 400(1+x2)=1200D . 400+2x=120006. （2分）(2020·安徽模拟) 如果，那么的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·泰州模拟) 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A . 对边分别相等B . 对角分别相等C . 对角线互相平分D . 对角线相等8. （2分） (2017七下·龙华期末) 如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上两点，将△ABC沿直线DE折叠，使得点A落在△ABC右侧的A1处，则∠A、∠1、∠2之间满足的关系式是（）A . ∠A=∠1-∠2B . ∠A= ∠1-∠2C . ∠A=∠1-2∠2D . 2∠A=∠1-∠2二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）如果且x+y+z=5，那么x+y﹣z=________10. （1分）有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是________.11. （1分） (2018九上·滨州期中) 已知是关于的一元二次方程,则的值为________.12. （1分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率记为P1 ，指针指向的数为偶数的概率记为P2,请比较P1 、P2的大小：P1________P2（填“>”、“<” 或者“=”）13. （1分） (2017八下·路南期末) 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=________．14. （1分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为________．15. （1分） (2018七下·浦东期中) 在△ABC中, ∠C=60º,BC= 6,AC= 4,AD是高,将△ACD沿着AD翻折,点C 落在点E上,那么BE的长是________；三、解答题 (共7题；共66分)16. （10分）解方程：（1） x2﹣2x﹣5=0；（2）（2x+1）2=3（2x+1）17. （5分）(2018·吉林) 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．18. （10分） (2019八下·新田期中) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于点F.（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF=5，求线段AB的长度.19. （10分） (2016九上·北区期中) 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2 ．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．20. （11分）(2017·天河模拟) 已知：如图，在△ABC中，AB=AC．（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）延长AD至E点，使DE=AD，连接BE、CE．求证：四边形ABEC是菱形．21. （10分）(2017·深圳模拟) “低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆．（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？22. （10分） (2017八下·泉山期末) 如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连结、．（1）求证：平分；（2）在正方形绕点逆时针旋转的过程中，求线段、、之间的数量关系；（3）连结、、、，在旋转的过程中，四边形是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线的解析式；若不能，请说明理由．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共66分)16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题
北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题一、单选题1．一元二次方程220x x +=的解为（ ） A ．2x =-B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-2．抛物线()212y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--3．若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ） A ．36B ．36-C ．9D ．9-4．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．321y y y >>D ．213y y y >>5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．x ＞﹣1C ．﹣1＜x ＜3D ．x ＜﹣1 或 x ＞36．已知AB=10cm ， 以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有( ). A ．无数个 B ．1个 C ．2个 D ．4个7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a+c ＜08．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点，坐标分别为()1,0x ，()2,0x ，且12x x <，图像上有一点()00,M x y 在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A ．0a > B ．()()01020x x x x --< C ．102x x x <<D ．()()01020a x x x x --<二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为． 10．如图，已知O e 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么AB =．11．若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣1＝0的解，则代数式6m ﹣3m 2＋2的值是．12．若抛物线y ＝2x ﹣2x +m 与x 轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是．13．如图，一次函数()10y kx n k =+≠与二次函数()220y ax bx c a =++≠的图象相交于()1,4A -，()6,2B 两点，则关于x 的不等式2kx n ax bx c +>++的解集为．14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为． 15．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程20ax bx m +-=有实数根，则m 的取值范围是．16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为()2,3-，()1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为．三、解答题17．用适当的方法解方程 (1)228=0x x --(2)()()23530x x x ---=．18．如图所示，在O e 中，直径AB ⊥弦CD ，E 为垂足，4AE =，6CE =，求O e 的半径.19．已知二次函数222y x x -=-+．(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)结合函数图象，直接写出方程2220x x --+=的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程()22120kx k x +++=．()1求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；()2当抛物线()2212y kx k x =+++（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线()2212y kx k x =+++恒过定点，求出定点坐标．21．已知：二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()3,0-，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；(3)若抛物线上有一动点Q ，使三角形ABQ 的面积为24，求Q 点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系2()y a x h k =-+(0)a <．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()y a x h k =-+(0)a <；(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d _____ 2d (填“＞”“＝”或“＜”)． 23．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如()22224211415a a a a a +-=++--=+-∵()210a +≥，∴()2224155a a a +-=+-≥-， 因此，代数式224a a +-有最小值5- 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式222a a -+的最小值为 ；(2)试比较2211a b ++与62a b -的大小关系，并说明理由； (3)已知：22450a b ab c c -=+-+=，，求代数式a b c ++的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，()p A p y ，，()q B q y ，和23t C t y ⎛⎫⎪⎝⎭，是抛物线223y x tx =--上三个不同的点．(1)当1t =，p q y y =时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系；(2)当1p =-时，若对于任意的32t q t -≤≤-，都有p q t y y y >>，求t 的取值范围． 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE CF =，AE ，BF 交于点G ．(1)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM ，AGF ∠的角平分线交DM 于点N ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；(2)在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值． 26．【阅读材料】①抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等．例如：已知抛物线2y x =，点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:4l y =-，抛物线上一点()2,Q a a ．作QP l ⊥于点P ，连结QF ．则214QP a =+，214QF a QP ==+=．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．②抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦．与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径． 【解决问题】请你仿照①中的方法，解决以下问题：(1)已知抛物线213y x =，焦点30,4⎛⎫⎪⎝⎭，请计算出准线的解析式；(2)已知抛物线218y x =，准线2y =-，请计算出焦点坐标；(3)综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p =的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）。
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三．解答题
17．；18．；19．﹣6≤t＜10；20．；21．
；22．
；23．
；24．
；
25．y= x2﹣ x；
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1，0），B（3，4），当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 或 x＞3 B．﹣1＜x＜3
C．x＜﹣1
D．x＞3
9．（2 分）已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0
的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
10．（2 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分
对应值如下表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0； （2）当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小． （3）3 是方程 ax2+（b﹣1）x+c=0 的一个根； （4）当﹣1＜x＜3 时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（ ）
点 O 逆时针旋转 30°．得矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y 轴的
直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D，连结 MH．
（1）若抛物线 l：y=ax2+bx+c 经过 G、O、E 三点，则它的解析式为：
；
（2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标；
北京四中九年级（上）月考数学试卷（10 月份）
一.选择题
1．（2 分）函数 y=（m﹣n）x2+mx+n 是二次函数的条件是（ ）
A．m、n 是常数，且 m≠0
B．m、n 是常数，且 m≠n
C．m、n 是常数，且 n≠0
D．m、n 可以为任何常数
2．（2 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c，经过 A（4，0），B（12，0）两点，那么它的
．
16．（2 分）已知当 x1=a，x2=b，x3=c 时，二次函数 y=x2+2mx 对应的函数值分别
为 y1，y2，y3，若正整数 a，b，c 恰好是一个直角三角形的三边长，且当 a＜b
＜c 时，都有 y1＜y2＜y3，则实数 m 的取值范围是
．
三．解答题 17．（5 分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），
m=
．
14．（2 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当 y＜5 时，x 的取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围是
．
15．（2 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于
y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a﹣2b+c 的值为
值大于二次函数的值．
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19．（6 分）已知二次函数 y=2x2+4x﹣6．
（1）写出其顶点坐标与对称轴方程；
（2）求以抛物线与两个坐标轴交点为顶点的三角形面积．
（3）当﹣4＜x＜0 时，方程 2x2+4x﹣6=t 有一解，直接写出 t 的取值范围
．
20．（8 分）已知二次函数 y=x2﹣2mx+m2+3（m 是常数）．
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1）
C．（﹣1，1） D．（1，1）
7．（2 分）二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数
根，则 m 的最大值为（ ）
第1页（共8页）
A．﹣3
B．3
C．﹣6
D．9
8．（2 分）已知二次函数 y1=x2﹣x﹣2 和一次函数 y2=x+1 的两个交点分别为 A（﹣
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
5．（2 分）将抛物线 y=x2+1 绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为
（）
A．y=﹣x2
B．y=﹣x2+1
C．y=﹣x2﹣1
D．y=x2﹣1
6．（2 分）二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
（3）在（1）（2）的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l
上且在 R、E 两点之间（不含点 R、E）运动，设△PQH 的面积为 s，当
时，确定点 Q 的横坐标的取值范围．
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北京四中九年级（上）月考数学试卷（10 月份）
参考答案
一.选择题 1．B；2．B；3．D；4．B；5．C；6．D；7．B；8．A；9．D；10．B；
对称轴是（ ）
A．直线 x=7
B．直线 x=8
C．直线 x=9
D．无法确定
3．（2 分）把抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的
抛物线是（ ）
A．y=3（x+3）2﹣2
B．y=3（x+3）2+2
C．y=3（x﹣3）2﹣2
D．y=3（x﹣3）2+2
4．（2 分）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
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二．填空题
11．（2 分）抛物线 y=2x2+12x﹣25 的对称轴为直线 x=
．
12．（2 分）抛物线的形状大小、开口方向都与 y=﹣12x2 相同且顶点为（1，﹣2），
则该抛物线的解析式为
．
13．（2 分）已知二次函数 y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2 的图象关于 y 轴对称，则
求该函数的解析式． 18．（6 分）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A（2，0），B（0，﹣1）
和 C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线 y=x+1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的
（2）已知关于 x 的二次函数 y1=2x2﹣4mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5，其中 y1 的图象
经过点 A（1，1），若 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式，并
求出当 0≤x≤3 时，y2 的最大值．
25．（9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2，0）、C（0，2 ）．将矩形 OABC 绕
销售量 p（件）
p=50﹣x
销售单价 q 当 1≤x≤20 时，q=30+ x （元/件）
（1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？ （2）求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式； （3）这 20 天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 22．（9 分）阅读材料： 如图 1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线
坐标为 t，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）．若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围．
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24．（8 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函
数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
到顶点 C 时，求△CAB 的铅垂高 CD 及 S△CAB； （3）是否存在抛物线上一点 P，使 S△PAB= S△CAB？若存在，求出 P 点的坐标；若
不存在，请说明理由．
23．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（0，﹣2）， B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，且点 D 纵
之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长 度叫△ABC 的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S△ABC= ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
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如图 2，抛物线顶点坐标为点 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于点 B． （1）求抛物线和直线 AB 的解析式； （2）点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接 PA，PB，当 P 点运动
（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与
x 轴只有一个公共点？
21．（9 分）某学生利用暑假 20 天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种
成本为 20 元/件的新型商品在 x 天销售的相关信息如表所示．