高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第三节 圆的方程课件 理

求圆的方程的方法 (1)方程选择原则 求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需 要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐 标、半径无直接关系，常选用一般方程．
(2)求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法ห้องสมุดไป่ตู้待定系数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； ③解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
25＋4＋5D＋2E＋F＝0， 则9＋4＋3D－2E＋F＝0，
2×－D2 ＋E2－3＝0，
D＝－4， 解得E＝－2，
F＝－5，
∴所求圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将 P、Q 两点的坐标分别代入得23DD－－4EE＋－FF＝＝－201，0.
[听前试做] (1)法一：由题意知 kAB＝2，AB 的中点为(4,0)， 设圆心为 C(a，b)，
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上．
则a－b 4＝－12， 2a－b－3＝0，
解得ba＝＝12，， ∴C(2,1)，
∴r＝|CA|＝ 5－22＋2－12＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
解析：选 C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即
可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D 四个选项中，只有 C 选项 中的直线经过圆心．
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取 值范围是________．
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以(1 －a)2＋(1＋a)2<4.
值范围是( )
A．(－∞，－2)∪23，＋∞ C．(－2,0)
B.－23，0 D.－2，23
解析：选 D 由题意知 a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－
2＜a＜23.
3．将圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0 平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0
B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y＋3＝0
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则25a－－ab－2＋3＝2－0，b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2，
解得ba＝＝12，， r＝ 10，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法 三： 设圆 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2 － 4F>0)，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径 r＝2 2，故圆的方程 为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
y0＝－4x0， 根据已知条件得|x30－＋xy020－2＋1|＝－r2，－y02＝r2，
x0＝1， 解得y0＝－4，
r＝2 2. 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
考纲要求： 1.掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程．
1．圆的定义及方程
定义 平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r>0)
圆心 C： (a，b) 半径： r
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 一般方程
0(D2＋E2－4F>0)
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，
F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－
8y＝0.
(3)法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得43x－0－x02＝1，
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋ Dx0＋Ey0＋F>0.( )
(5)已知圆的方程为 x2＋y2－2y＝0，过点 A(1,2)作该圆的切线 只有一条．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2．方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取
圆心：－D2 ，－E2
半径：r＝
D2＋E2－4F 2
2.点与圆的位置关系 (1)理论依据： 点 与 圆心 的距离与半径的大小关系． (2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)， ①(x0－a)2＋(y0－b)2 = r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2⇔点在圆内．
即 a2<1，故－1<a<1.
答案：(－1,1)
5 ． 经 过 三 点 (2 ， － 1) 、 (5,0) 、 (6,1) 的 圆 的 一 般 方 程 为 ________________．
解析：设所求方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则2522＋＋0－2＋152D＋＋2D0＋－FE＝＋0F，＝0， 62＋12＋6D＋E＋F＝0，
D＝－4， 解得E＝－8，
F＝－5，
故所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－8y－5＝0.
答案：x2＋y2－4x－8y－5＝0
[典题 1] 根据下列条件，求圆的方程． (1)经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线 2x－y－3＝0 上； (2)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (3)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切 于点 P(3，－2)．
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程 是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( ) (3)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.( )
(2015·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心 且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的 圆的标准方程为________________．