微积分下教学大纲

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数学科目考试大纲

本章教学目的:掌握函数的概念;了解函数的几何特性并掌握其几何特性的图形特征;了解反函数的概念并会求反函数;理解复合函数的概念并掌握将复合函数分解为简单函数的方法;理解基本初等函数的概念并熟练掌握基本初等函数的定义域、值域和基本性质;理解初等函数的概念;了解分段函数的概念。

本章主要内容:函数的概念;函数的几何性质;反函数;复合函数;基本初等函数;初等函数。

重点:1、函数的定义。

2、初等函数的定义。

难点:复合函数的分解。

本章思考题:

1、什么是初等函数?

2、如何对一个给定的复合函数进行分解?

第一节实数

1. 实数及其几何表示

2. 实数的绝对值及其性质

3. 区间与邻域的概念

第二节函数的概念

1. 常量与变量

2. 函数的概念及其表示法

3. 函数的定义域与值域的概念和计算

4. 分段函数的概念

第三节函数的性质

函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的概念及其图形特征第四节反函数与复合函数

1. 复合函数与反函数的概念

2. 复合函数的分解与反函数的求法

第五节 初等函数

1. 基本初等函数的概念、定义域、值域、基本性质,及其图形

2. 初等函数的概念

第二章 极限与连续

本章教学目的:了解数列与函数极限的概念;理解无穷小量与无穷大量的概念;了解无穷小量与无穷大量的关系;掌握无穷小量的性质与无穷小量的比较;了解极限存在性定理;熟练掌握极限运算法则;熟练掌握两个重要极限;掌握求极限的基本方法;理解函数连续性的概念;理解函数间断的概念;了解连续函数的性质;了解初等函数在其定义区间必连续的结论;了解闭区间上连续函数的性质;掌握用连续的定义讨论函数连续性的方法。

本章主要内容:数列的极限;函数的极限;无穷小与无穷大;极限的运算;极限存在准则;两个重要极限;无穷小的比较;等价无穷小;函数连续的概念;间断点;基本初等函数和初等函数的连续性;闭区间上连续函数的最大值最小值定理及介值定理。

重点:1、极限的概念、无穷小量的概念

2、极限的求法

3、连续性的概念

难点:1、极限定义的理解

2、分段函数的极限与连续

本章思考题:

1、∞→x 时,函数的极限与+∞→-∞→x x ,时函数的极限关系。

2、若)(lim x f x ∞→不存在,)(lim x g x ∞→也不存在,则)]()([lim x g x f x +∞→是否也一定不存在?

3、同一极限过程下的两个无穷小量是否一定能够比较它们阶的高低?

4、如果函数)(x f ,)(x g 在区间],[b a 上连续,那么)()(x g x f 一定在连续吗?

5、若对任意的0>ε,)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 是否一定在),(b a 内连续?

6、在求极限时,分子与分母中代数和的无穷小项能不能用等价无穷小代换?

7、在某一区间上永不为0的连续函数在该区间上不会改变符号,对吗?请给出理由。

第一节 数列的极限

1. 数列的概念

2. 数列极限的概念及其几何意义

第二节 函数的极限

1. 0x x →时,函数)(x f 的极限

2. ∞→x 时,函数)(x f 的极限

3. 单侧极限及极限的其它类型、极限的几何意义、左右极限与 双侧极限的关系

第三节 无穷大量与无穷小量

1. 无穷小量的概念

2. 无穷小量的性质

3. 无穷小量的比较

4. 无穷大量的概念、无穷小量与无穷大量的关系

第四节 极限的性质与运算法则

1. 极限的基本性质

2. 极限的四则运算法则及其推论、运用极限的四则运算法则及其推论求极限

第五节 极限存在性定理与两个重要极限

1. 极限存在性定理

2. 两个重要极限、运用两个重要极限求极限

第六节 函数的连续性

1. 变量的改变量

2. 连续函数的概念、左连续与右连续的概念、连续与极限的关系

3. 函数的间断点

4. 连续函数的和、差、积、商的连续性;反函数与复合函数的连续性;初等函数的连续性

5. 闭区间上连续函数的性质

第三章 导数与微分

本章教学目的:理解导数的概念;了解导数的几何意义;了解可导与连续的关系;熟练掌握基本初等函数的导数公式;熟练掌握导数的四则运算法则;掌握反函数的求导法则;熟练掌握复合函数的求导法则;掌握对数求导法与隐函数求导法;了解微分的概念及其几何意义;掌握可导与可微的关系;了解高阶导数的概念,掌握求二阶、三阶导数及简单函数的n 阶导数问题;掌握微分的基本公式与运算法则;熟练掌握求微分的方法;了解微分形式的不变性;了解经济函数的边际与弹性的概念及其计算。

本章主要内容:导数的概念及几何意义;基本初等函数的导数公式;函数的和、差、积、商的求导法则;复合函数的导数;隐函数的导数;对数求导法;高阶导数;微分的概念;微分的运算法则。

重点:1、导数、微分的概念

2、求导法则

3、导数的应用

难点:1、复合函数的求导法则

2、导数在经济上的应用

本章思考题:

1、函数的导数的定义域与该函数的定义域有什么关系?请给出例子。

2、函数3)(x x f =的图形在原点有切线吗?请给出理由。

3、 ))(())](([''x f x f ϕϕ=?请给出理由。

第一节 导数的概念

1. 引例

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