《气体》专题一 变质量问题(教师版)

《气体》专题一 变质量问题
对理想气体变质量问题，可根据不同情况用克拉珀龙方程、理想气体状态方程和气体实验定律进行解答。

方法一：化变质量为恒质量——等效的方法
在充气、抽气的问题中可以假设把充进或抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把变质量问题转化为恒定质量的问题。

方法二：应用密度方程
一定质量的气体，若体积发生变化，气体的密度也随之变化，由于气体密度 m V
ρ=，故将气体体积m
V
ρ
=
代入状态方程并化简得：
2
22111T p
T p ρρ=，这就是气体状态发生变化时的密度关系方程．
此方程是由质量不变的条件推导出来的，但也适用于同一种气体的变质量问题；当温度不变或压强不变时，由上式可以得到：2
2
1
1
ρρp p =
和T T 211ρρ=，这便是玻意耳定律的密度
方程和盖·吕萨克定律的密度方程． 方法三:应用克拉珀龙方程
其方程为。

这个方程有4个变量：p 是指理想气体的压强，V 为理想气体的
体积，n 表示气体物质的量，而T 则表示理想气体的热力学温度；还有一个常量：R 为理想气体常数，R=8.31J/mol.K=0.082atm.L/mol.K 。

方法四: 应用理想气体分态式方程
若理想气体在状态变化过程中，质量为m 的气体分成两个不同状态的部分，或由若干个不同状态的部分
的同种气体的混合，则应用克拉珀龙方程
易
推出：
上式表示在总质量不变的前提下，同种气体进行分、合变态过程中各参量之间的关系，
可谓之“分态式”状态方程。

1.充气中的变质量问题
设想将充进容器内的气体用一根无形的弹性口袋收集起来，那么当我们取容器和口袋内的全部气体为研究对象时，这些气体状态不管怎样变化，其质量总是不变的．这样，我们就将变质量的问题转化成质量一定的问题了．
例1．一个篮球的容积是2.5L ，用打气筒给篮球打气时，每次把5
10Pa 的空气打进去
3125cm 。

如果在打气前篮球里的空气压强也是510Pa ，那么打30次以后篮球内的空气压强
是多少Pa ？（设在打气过程中气体温度不变）
图1
解析： 由于每打一次气，总是把V ∆体积，相等质量、压强为0p 的空气压到容积为0
V 的容器中，所以打n 次气后，共打入压强为0p 的气体的总体积为n V ∆，因为打入的n V ∆体积的气体与原先容器里空气的状态相同，故以这两部分气体的整体为研究对象．取打气前为初状态：压强为0p 、体积为0V n V +∆；打气后容器中气体的状态为末状态：压强为n p 、体积为0V ．
令2V 为篮球的体积,1V 为n 次所充气体的体积及篮球的体积之和
则1 2.5300.125V L L =+⨯
由于整个过程中气体质量不变、温度不变，可用玻意耳定律求解。

1122p V p V ⨯=⨯
55112210(2.5300.125)Pa 2.510Pa 2.5
p V p V ⨯⨯+⨯===⨯
2.抽气中的变质量问题
用打气筒对容器抽气的的过程中，对每一次抽气而言，气体质量发生变化，其解决方法同充气问题类似：假设把每次抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把变质量问题转化为恒定质量的问题。

例2.用容积为V ∆的活塞式抽气机对容积为0V 的容器中的气体抽气，如图1所示。

设容器中原来气体压强为0p 后，容器中剩余气体的压强n p 为多大？
解析：如图是活塞抽气机示意图，当活塞下压，阀门a 关闭，b 打开，抽气机气缸中ΔV 体积的气体排出．活塞第二次上提（即抽第二次气），容器中气体压强降为P 2．根据玻意耳定律得
第一次抽气
0010()p v p v v =+∆ 0
100v p p v v =
+∆
第二次抽气
1020()p v p v v =+∆ 20
200(
v p p v v
=+∆
以此类推，第n 次抽气容器中气体压强降为 0
00(
n n v p p v v
=+∆
[拓展]. 某容积为20L 的氧气瓶里装有30atm 的氧气，现把氧气分装到容积为5L 的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为4atm ，如每个小钢瓶中原有氧气压强为1atm 。

问最多能分装多少瓶？（设分装过程中无漏气，且温度不变）
解析：设最多能分装N 个小钢瓶，并选取氧气瓶中的氧气和N 个小钢瓶中的氧气整体为研究对象。

按题设，分装前后温度T 不变。

分装前整体的状态
分装后整体的状态：
由此有分类式：
代入数据解得：
，取34瓶
说明：分装后，氧气瓶中剩余氧气的压强应大于或等于小钢瓶中氧气应达到的压强
，即
，但通常取。

千万不能认为
，因为通常情况下不可能将氧
气瓶中的氧气全部灌入小钢瓶中。

例3.开口的玻璃瓶内装有空气，当温度自0C 升高到100C 时，瓶内恰好失去质量为1g 的空气，求瓶内原有空气质量多少克？
解析：瓶子开口，瓶内外压强相等，大气压认为是不变的，所以瓶内的空气变化可认为是等压变化．设瓶内空气在0C 时密度为1ρ，在100C 时密度为1ρ，瓶内原来空气质量为
m ，加热后失去空气质量为m ∆，由于对同一气体来说，m ρ∝，故有
m
m m
∆-=21ρρ ① 根据盖·吕萨克定律密度方程：T T 211ρρ= ② 由①②式，可得：
2212731
3.73373273
T m m g g T T ⋅∆⨯=
==--
3、巧选研究对象
两个相连的容器中的气体都发生了变化，对于每一个容器而言则属于变质量问题，但是如果能巧妙的选取研究对象，就可以把这类变质量问题转化为定质量问题处理。

例4 . 如图2所示，A 、B 两容器容积相同，用细长直导管相连，二者均封入压强为p ，温度为T 的一定质量的理想气体，现使A 内气体温度升温至T '，稳定后A 容器的压强为多少？
解析：因为升温前后，A 、B 容器内的气体都发生了变化，是变质量问题，我们可以把变质量问题转化为定质量问题。

我们把升温前
整个气体分为()V V -∆和()V V +∆两部分（如图3所示），以便升温后，让气体()V V -∆充满A 容器，气体()V V +∆压缩进B 容器，于是由气态方程或气体实验定律有：
()p V V P V
T T '-∆='
①
A B
图2
()p V V P V '+∆= ②
联立上面连个方程解得：2T P p T T '
'='
+
4、虚拟中间过程
通过研究对象的选取和物理过程的虚拟，把变质量问题转化为定质量问题。

例5.如图4所示的容器A 与B 由毛细管C 连接，
3B A V V =,开始时，A 、B 都充有温度为0T ,压强为0p 的空气。

现使A 的温度保持0T 不变，对B 加
热，使B 内气体压强变为02p ，毛细管不传热，且体积不计，求B 中的气体的温度。

解析：对B 中气体加热时，B 中气体体积、压强、温度都要发生变化，
将有一部分气体从B 中进入A 中，进入A 中的气体温度又变为0T ，虽然A 中气体温度不变，但由于质量发生变化，压强也随着变化（p 增大）,这样A 、B 两容器中的气体质量都发生了变化，似乎无法用气态方程或实验定律来解，那么能否通过巧妙的选取研究对象及一些中间参量，把变质量问题转化为定质量问题处理呢？
加热后平衡时两部分气体压强相等，均为02p ，因此，可先以A 、B 中的气体作为研究对象（一定质量），假设保持温度0T 不变，压强由0p 增至02p ，体积由（A B V V +）变为V ；再以此状态时体积为（A V V -）的气体为研究对象，压强保持02p 不变，温度由0T 升到T ,体积由（A V V -）变为3B A V V =,应用气体定律就可以求出T 来。

先以AB 中气体为研究对象
初状态0p ，0T ,4A B A V V V += 末状态02p ，T ,V 由波义耳定律0042A p V p V ⋅= ① 再以B 中剩余气体为研究对象
初状态20p ，0T ,A V V - 末状态02p ，T ,3B A V V = 由盖⋅吕萨克定律得
03A A
V V V T T
-= ② 由①②得 03T T = 5. 气体混合问题
两个或两个以上容器的气体混合在一起的过程也是变质量气态变化问题。

例6. 如图2所示，两个充有空气的容器A 、B ，以装有活塞栓的细管相连通，容器A 浸在温度为
℃的恒温箱中，而容器B 浸在
℃的恒温箱中，彼此由活塞栓隔
开。

容器A 的容积为，气体压强为；容器B 的容积为
，气体压强为
，求活塞栓
打开后，气体的稳定压强是多少？
解析：设活塞栓打开前为初状态，打开后稳定的状态为末状态，活塞栓打开前后两个容器中的气体总质量没有变
V V -∆
V V +∆
图3
B
A
C
图4
化，且是同种气体，只不过是两容器中的气体有所迁移流动，故可用分态式求解。

将两容器中的气体看成整体，由分态式可得：
因末状态为两部分气体混合后的平衡态，设压强为p”，则，代入有关的数据得：
因此，活塞栓打开后，气体的稳定压强为2.25atm。