专题二弹性力学内容提要1杆的拉伸弯曲和扭转杆的三种常见变形

专题二弹性力学

Elasticity

内容提要

•1. 杆的拉伸、弯曲和扭转•2. 板（膜）的弯曲•3. 弹性力学基本方程

§1. 杆的拉伸、弯曲和扭转

Stretch, bend and twist of rods

杆的三种常见变形模式

拉伸应力(正应力)

A为杆的截面积应变与泊松比

纵向应变

横向应变

泊松比

单位体积的应变能胡克定律

•理想线弹性材料

E称为材料的杨氏模量

实际材料的应力应变曲线

杆（梁）的弯曲

•应力与力（偶）矩

•中性面假设：中面的线元无伸长或压缩

z

截面惯性积

对于矩形截面，

•沿轴线单位长度的弯曲能•等截面杆的一般弯曲问题

压杆的失稳问题

•当力超过临界值后，杆突然弯曲

假定弯成半径R

的弧

•临界力扭转杆中的剪切应变（力）

•胡克定律

G称为材料的剪切模量

(各向同性材料)

•剪应力互等定理

•扭转杆的剪切应变与半径成线性关系•扭转杆的剪切应力与半径也成线性关系•圆截面杆扭矩与扭角成正比

弹簧的劲度系数

•习题：将弹簧每一小段看成扭转杆，利用

扭转杆的公式证明弹簧劲度系数满足

R扭转杆的截面半径; R0弹簧圈的半径

N弹簧的圈数;G 剪切模量

§2. 板（膜）的弯曲Bending of shells (membranes)

将弯曲的板抽象成曲面•板的厚度<<板的横向尺度

弯曲需要两个曲率半径表示各向同性板的弯曲能量

§3. 弹性力学基本方程

应力张量•应力张量坐标表示

平衡方程

x方向:

应变张量（几何方程）

正应变剪切应变

本构关系•胡克定律

•各向同性材料

边界条件单位面积的力

法矢量

弹性力学问题封闭方程组•平衡方程（3个）

•几何方程（3个）

•本构关系（6个）

•边界条件（3个）

共计15个方程