利用函数与不等式解策划方案设计与决策型问题

利用函数与不等式解方案设计与决策型问题
一、从一道例题的解答看方案设计与决策型问题
引例：恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台，从北京某厂购得挖机10台。

现在决定运往重庆分公司8台，其余都运往汉口分公司；从上海运往汉口、重庆的运费分不是300元/台、500元/台，从北京运往汉口、重庆的运费分不是400元/台、800元/台。

（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应多少台？
解:(1）设上海运往汉口应x台，则
400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400
解得:x=4因此，若总运费为8400元，上海运往汉口应4台。

（2）若总运费少于8400元，有哪几种调运方案？
解:（2）由题意知：
200x+7600＜8400
解得:x ＜ 4
∵x为非负整数∴x=0、1、2或3
∴若要求总运费不超过 8400元，共有4种调运方案。

如下表：
（3）求出总运费最低的调运方案，总运费是多少？
设总运费为y元，由题意知：
y= 200x+7600
∵200＞0 ∴x=0时y最小，为7600元。

调运方案如下: 北京到汉口6台，北京到重庆4台，
上海到重庆4台.
二、方案设计与决策型问题的差不多解题方法
方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，推断，设计的一种数学试题。

纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖不致。

其类型有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。

其中以利用函数与不等式解决的方案设计
问题为最多。

利用函数与不等式解决的方案设计问题的差不多方法是：（1）依照题意建立一次函数关系式；（2）依照实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）依照函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用一次函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。

三、2009年全国中考中的利用函数与不等式解决的方案设计问题
类型一、利用不等式解决的方案设计问题：
【2009绵阳市中考题】李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？
（2）李大爷目前预备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．假如要求卖出的A 种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．
解：（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意可列方程为
x + 20 = 2x －10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔．
（2）设李大爷卖A 种兔x 只，则卖B 种兔30－x 只，则由题意得 x ＜30－x ， ①
15x +（30－x ）×6≥280， ②
解 ①，得 x ＜15； 解 ②，得x ≥
9100， 即 9100≤x ＜15． ∵ x 是整数，9
100≈11.11， ∴ x = 12，13，14． 即李大爷有三种卖兔方案：
方案一 卖A 种种兔12只，B 种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）；
方案二 卖A 种种兔13只，B 种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）；
方案三 卖A 种种兔14只，B 种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）．
显然，方案三获利最大，最大利润为306元．
类型二、利用函数知识解决的方案设计问题：
【2009清远市中考题】某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种
饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；
请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？
【答案】解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+
（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)
x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤……… 解不等式（1）得：30x ≤
解不等式（2）得：28x ≥
∴不等式组的解集为2830x ≤≤
150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤
∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，
成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）
类型三、利用不等式比较方案的优劣：
【2009潍坊市中考题】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分不写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y （元）
关于x （个）的函数关系式；
（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并讲明理由．
【答案】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x =
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+．
（2）当1y ＜2y 时，2.4x +16000＜4x ，解得：10000x <，
当1y ＝2y 时，2.4x +16000＝4x ，解得：10000x =，
当1y ＞2y 时，2.4x +16000＝4x ，解得：10000x >，
因此，当10000
x<时，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低；当10000
x=时，两种方案都能够，两种方案所需的费用相同；当10000
x>时，选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．
四、差不多训练
1．（2009威海）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额
不超过
．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分不为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．
(1)至少购进乙种电冰箱多少台？
(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
2．（2009年益阳市）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钞票买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购
买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数许多于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.
3．(2009年内江市)我市部分地区近年出来持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的方法筹集资金维护和新建一批储水池。

该村共有243户村民，预备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
已知可支配使用土地面积为106㎡，若新建储水池X个，新建和维护的总费用为y万元。

（1）求y与x 之间的函数关系；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分不是多。