2011年高考数学试题理(全国新课标)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ） 35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3 （8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈ 其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p（11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O-ABCD 的体积为_____________．（16） ABC ∆中，60,B AC =︒，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）如果当x>0，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题（13）-6 （14）221168x y += （15） （16）三、解答题 （17）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =． 由条件可知c>0，故13q =． 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =． 故数列{a n }的通项式为a n =13n ． （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+(18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A，()0B，()C -，()0,0,1P ．(11),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-u u u v u u v u u u v设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ⋅=⋅=u u u ru u u r00z =-=因此可取n= 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ⋅=⋅=uu u r uuu r 可取m=（0，-1， cos ,m n == 故二面角A-PB-C 的余弦值为 （19）解（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，，054，0.42，因此 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42， 即X 的分布列为X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68(20）解：(Ⅰ)设M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1). 所以MA u u u r =（-x ，-1-y ）， MB uuu r =(0，-3-y)， AB uu u r =(x ，-2).再由题意可知（MA u u u r +MB uuu r ）• AB uu u r=0， 即（-x ，-4-2y ）• (x ，-2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0，y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x ，所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=．则O 点到l的距离2d =又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.（21）解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--．考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=．(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0 从而当x>0，且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0，故'h (x ）>0，而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0，与题设矛盾． （iii ）设k ≥1.此时'h （x ）>0，而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x - h （x ）<0，与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为（-∞，0]解：（2）由（1）知ln 1()1x f x x x=++． 故要证：ln ()1x f x x >- 只需证ln 1ln 11x xx x x +>+-为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论： 当x>1时，需证2(1)ln 1(1)ln x x x x x x x -+->+即21ln x x x-< 即需证1ln x x x <-． （1）设1()ln g x x x x =-+，则1'()1g x x=- 由x>1得'()0g x <，所以1()ln g x x x x=-+在（1，+∞）上为减函数．又因g （1）=0所以 当x>1时 g （x ）<0 即（1）式成立． 同理0<x<1时，需证1ln x x x>-（2） 而由0<x<1得'()0g x >，所以1()ln g x x x x=-+在（0，1）上为增函数．又因g （1）=0所以 当0<x<1时 g （x ）<0 即（2）式成立． 综上所证，知要证不等式成立．点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算．（22）解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12. 故 AD=2，AB=12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52 （23）解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(2,2YX ).由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂+=∂=s i n44c o s 4y x从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．理科数学 第 11 页 共 11 页射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||AB ρρ-==（24）解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-． 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤- 由题设可得2a -= 1-，故2a =。