(卫生统计学)第四章 常用概率分布
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第4章 常用概率分布
分析：血铅的分布为偏态分布， 分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。
（二）质量控制 为了控制实验中的检测误差，常用 上下警戒线，以
±2S作
±3S作为上下控制线。这里的2S和3S可视
为1.96S 和2.58S的约数。其依据是正常情况下检测误差是服从 正态分布的。但影响某一指标的随机因素很多，如果该指标的 随机波动属于随机误差，则往往符合正态分布，如果不服从正 态分布，则有可能存在系统误差
Z=
标准正态分布的密度函数： 标准正态分布的密度函数：
-∞＜Z＜+∞ ＜ ＜
X− µ
σ
为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。 为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。
二、正态曲线下面积的分布规律 正态方程的积分式(分布函数 分布函数)： 正态方程的积分式 分布函数 ：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横 轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累计面积 。
已知某地1986年120名8岁男童身高均数 例 2 已知某地 年 名 岁男童身高均数
，
S=4.79 cm ，估计(1)该地 岁男孩身高在 该地8岁男孩身高在 以上者占该地8 估计 该地 岁男孩身高在130 cm以上者占该地 以上者占该地 岁男孩总数的百分比； 身高界于 身高界于120cm~128cm者占该地 岁 者占该地8岁 岁男孩总数的百分比；(2)身高界于 者占该地 男孩总数的比例； 该地 该地80%男孩身高集中在哪个范围？ 男孩身高集中在哪个范围？ 男孩总数的比例；(3)该地 男孩身高集中在哪个范围 （1）先做标准化变换 先做标准化变换: 先做标准化变换
卫生统计学
第四讲卫生统计学 常用概率分布
• 至少有2名感染钩虫的概率为：
P ( X ≥ 2) =
X =2
∑ P( X ) =
150
150 ! ∑2 X !(150 − X )! 0.13 X (1 − 0.13 )150 − X X=
150
= 1 − [ P ( X = 0) + P ( X = 1)]
= 1 − [8.47 × 10 −10 + 1.80 × 10 −8 ] ≈ 1
第四章
常用概率分布
第一节
二项分布
一、二项分布的概念与特征 （一）摸球模型与二项分布
一个袋子里有5个乒乓球，其中 个黄球 个黄球， 个白球 个白球， 一个袋子里有 个乒乓球，其中2个黄球，3个白球， 个乒乓球 我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4， 我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是 ，摸到 白球的概率是0.6，这个实验有三个特点： 白球的概率是 ，这个实验有三个特点：一是各次摸球 是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果， 是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果，或 黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球） 黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率 是固定的。具备这三点， 次中有 次摸到黄球（或白球） 次中有X次摸到黄球 是固定的。具备这三点， n次中有 次摸到黄球（或白球） 的概率分布就是二项分布。 的概率分布就是二项分布。
二项分布的概率函数 （二）二项分布的概率函数
二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。 可用公式（ ）来计算。 二项分布的概率函数 可用公式
P( X ) = C nX π X (1 − π ) n − X
C
X n
n! = X ! ( n − X )!
常用概率分布
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x处
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
常用概率分布.ppt
表4—1 抛掷一枚硬币发生正面朝上的 试验记录
上一张 下一张 主 页 退 出
从表4-1可看出，随着实验次数的增多， 正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接 近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率p是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
上一张 下一张 主 页 退 出
二、概 率
（一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机
事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的 可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规 律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻 划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应 该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，人们称之为概率（probability）。 事件A的概率记为P（A）。
P(x=xi)=pi i=1,2,… (4—3) 则称 （4—3）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
上一张 下一张 主 页 退 出
x1 x2 … xn …. p1 p2 … pn … 显然离散型随机变量的概率分布具有pi≥0 和Σpi=1这两个基本性质。 三、连续型随机变量的概率分布
第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
上一张 下一张 主 页 退 出
一类是可预言其结果的，即在保持条件不 变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称 为必然ite phenomena）。
这样定义的概率称为 统计概率 （statistics probability），或者称后验概 率（posterior probability）。
概率分布医学统计学
5.70
1.42
150 143 .07
u2
5.70
1.22
身高范围 所占面积
故估计该地12男孩身高在 135cm以下者约占7.78％； 身高界于135cm～150cm 范围内者约占81.10％。
三、正态分布的应用
（一）制定医学参考值范围 参考值范围也称为正常值范围。医学上常把绝大数正常人的某指
中西医结合学院
医学统计学
中西医结合学院
第四章 概率分布
正态分布 及其应用
学 习
掌握正态分布的概念，
要
意义和特点；正态曲线
求
下面积的分布规律
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征
正态分布（normal distribution）： 也称高斯分布，是医学和生物学最常见的连续性
分布。如身高、体重、红细胞数、血红蛋白等。
事实上，我们得不到总体均数（μ）与总体标 准差（σ），于是只好用样本均数（ ）与样本标准 差（S）来替代。于是得到： ±u·S
Thank For You Attention！
（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%； ②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间
（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%； ③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间
（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。
例：
某年某市120名12岁健康男孩身高，已知均数=143.07cm， 标准差S=5.70cm,
标范围称为该指标的正常值范围。这里的“绝大多数”可以是90％、 95％、99％，最常用的是95％。 （二）质量控制
卫生统计学七版 第四章常用概率分布
上限： X 1.96s 117.4 1.9610.2 137.39( g / l ) 下限： X 1.96s 117.4 1.9610.2 97.41( g / l )
该地健康女性血红蛋白的95%医学参考值范围在 137.39～97.41之间。
2、质量控制图 随机误差服从正态分布，而系统误差 则不服从正态分布。
例4 10
如果某地居民脑血管疾 病的患病率为 150/ 10万，
那么调查该地 1000 名居民中至多有 2人患脑血管疾病的概率 有 多大？至少有 3人患脑血管疾病的概率 有多大？
n 1000 0.0015 1.5
调查该地 1000 名居民中至多有 2人患脑血管疾病的概率 为0.809, 至少有3人患脑血管疾病的概率 为0.191 。
那么调查该地 1000 名居民中有2人患脑血管疾病的概率 有多大？
n 1000 0.0015 1.5
2 1 . 5 P( X 2) e 1.5 0.251 2!
调查该地 1000 名居民中有2人患脑血管疾病的概率 为25.1%。
2、累积概率计算
稀有事件发生次数至多为k次的概率为：
2、累积概率计算 二项分布出现阳性次数最多为k次的概率：
二项分布出现阳性次数至少为k次的概率：
二项分布出现阳性次数至少为k次至至多为K次的概率（k<K）：
n! P(k X K ) P( X ) X (1 ) n X k X k X !( n X )!
K K
（1） 百分位数法 适用范围：偏态分布的资料。
双侧界值：P 和P 2.5 97.5 单侧上界：P 95 单侧下界：P 5
（2） 正态分布法 适用范围：正态或近似正态分布的资料。
该地健康女性血红蛋白的95%医学参考值范围在 137.39～97.41之间。
2、质量控制图 随机误差服从正态分布，而系统误差 则不服从正态分布。
例4 10
如果某地居民脑血管疾 病的患病率为 150/ 10万，
那么调查该地 1000 名居民中至多有 2人患脑血管疾病的概率 有 多大？至少有 3人患脑血管疾病的概率 有多大？
n 1000 0.0015 1.5
调查该地 1000 名居民中至多有 2人患脑血管疾病的概率 为0.809, 至少有3人患脑血管疾病的概率 为0.191 。
那么调查该地 1000 名居民中有2人患脑血管疾病的概率 有多大？
n 1000 0.0015 1.5
2 1 . 5 P( X 2) e 1.5 0.251 2!
调查该地 1000 名居民中有2人患脑血管疾病的概率 为25.1%。
2、累积概率计算
稀有事件发生次数至多为k次的概率为：
2、累积概率计算 二项分布出现阳性次数最多为k次的概率：
二项分布出现阳性次数至少为k次的概率：
二项分布出现阳性次数至少为k次至至多为K次的概率（k<K）：
n! P(k X K ) P( X ) X (1 ) n X k X k X !( n X )!
K K
（1） 百分位数法 适用范围：偏态分布的资料。
双侧界值：P 和P 2.5 97.5 单侧上界：P 95 单侧下界：P 5
（2） 正态分布法 适用范围：正态或近似正态分布的资料。
生物统计附实验设计课件 第四章 常用概率分布
第四章 常用概率分布
第一节 随机事件与概率
1. 随机事件 随机试验: 科学研究中，有一类试验可以在相同条件 下重复进行，每次试验存在多种可能的结果，而究竟 出现哪种结果在试验之前不能肯定，这类试验称为随 机试验。随机试验的结果重复性越好，结果越可靠。 随机事件: 随机试验的每一种可能结果，在一定条件 下可能发生，也可能不发生，称为随机事件,用A、B、 C等表示。
F(-0.5)=0.69146-0.30854=0.3829 (F值查附表) 由于合格与不合格为对立事件，所以任一扇贝 不合格的概率P=1-0.3829=0.6171
常用概率分布
若记随机变量X的取值落入（-∞，������）的概率为 F（x）,则。
������
������ ����� =
������ ������ ������������, 称������ ������ 为连续型随机变量������
−∞
的分布函数。分布函数和密度函数为积分与微分的 关系。它具有两条性质: 1）F(x)为单调不减函数， 右连续，即������������ <������������ 时，F(������������ )<F(������������ ); 2）F(−∞)=0, F(+∞)=1。 计算落入[a, b]的x值概率，用分布函数表示为： ������ ������ ������ P(a≦x≦b)= ������ ������ ������ ������������ = −∞ ������ ������ ������������ − −∞ ������(������) ������������ = F(b)-F(a)
概率的乘法法则 对于两事件A、B，若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B/A); 若P（B）>0,则有P(AB)=P(B)P(A/B),其中P(B/A)是指 事件A发生条件下事件B的条件概率。 若事件A与事件B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)
第一节 随机事件与概率
1. 随机事件 随机试验: 科学研究中，有一类试验可以在相同条件 下重复进行，每次试验存在多种可能的结果，而究竟 出现哪种结果在试验之前不能肯定，这类试验称为随 机试验。随机试验的结果重复性越好，结果越可靠。 随机事件: 随机试验的每一种可能结果，在一定条件 下可能发生，也可能不发生，称为随机事件,用A、B、 C等表示。
F(-0.5)=0.69146-0.30854=0.3829 (F值查附表) 由于合格与不合格为对立事件，所以任一扇贝 不合格的概率P=1-0.3829=0.6171
常用概率分布
若记随机变量X的取值落入（-∞，������）的概率为 F（x）,则。
������
������ ����� =
������ ������ ������������, 称������ ������ 为连续型随机变量������
−∞
的分布函数。分布函数和密度函数为积分与微分的 关系。它具有两条性质: 1）F(x)为单调不减函数， 右连续，即������������ <������������ 时，F(������������ )<F(������������ ); 2）F(−∞)=0, F(+∞)=1。 计算落入[a, b]的x值概率，用分布函数表示为： ������ ������ ������ P(a≦x≦b)= ������ ������ ������ ������������ = −∞ ������ ������ ������������ − −∞ ������(������) ������������ = F(b)-F(a)
概率的乘法法则 对于两事件A、B，若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B/A); 若P（B）>0,则有P(AB)=P(B)P(A/B),其中P(B/A)是指 事件A发生条件下事件B的条件概率。 若事件A与事件B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)
卫统(第四讲 常用概率分布)
有一个点距中心线的距离超过3个标准差控制限以外在中心线的一侧连续有9个点连续6个点稳定地增加或减少连续14个点交替上下连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差警戒限以外连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差以内中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围
总体阳性率 样本含量 n 在总体率为 的总体中随机抽样，抽取样本含量 为n的样本中，有X例为阳性的概率：
X (1 ) n X P( X ) C
X n
称X服从二项分布，记为：
X～B(n,)
二项分布的概率
发生阳性结果的人数X服从二项分布，那么发生阳 性数为X的概率为：
n=3,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
n=6,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
x
9 10 11 12 13 14 15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
n=20,π =0.3
Poisson分布
Poisson分布的应用2：累计概率计算
例4-8：如果某地新生儿先天性心脏病的 发病概率为8‰，那么该地120名新生儿中 至少有5人患先天性心脏病的概率有多大？
n 120 0.008 0.96
P( X 5) 1 P( X 4) 1 0.997 0.003
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8
总体阳性率 样本含量 n 在总体率为 的总体中随机抽样，抽取样本含量 为n的样本中，有X例为阳性的概率：
X (1 ) n X P( X ) C
X n
称X服从二项分布，记为：
X～B(n,)
二项分布的概率
发生阳性结果的人数X服从二项分布，那么发生阳 性数为X的概率为：
n=3,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
n=6,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
x
9 10 11 12 13 14 15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
n=20,π =0.3
Poisson分布
Poisson分布的应用2：累计概率计算
例4-8：如果某地新生儿先天性心脏病的 发病概率为8‰，那么该地120名新生儿中 至少有5人患先天性心脏病的概率有多大？
n 120 0.008 0.96
P( X 5) 1 P( X 4) 1 0.997 0.003
P(x)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8
卫生统计学简答题(3)
第四章 常用概率分布一、二项分布的特征①二项分布图的高峰在μ=n π处或附近；②π为0.5时，图形是对称的；当π不等于0.5时，分布不对称③当对同一n,π离0.5愈远，对称性愈差④对同一π，随着n 的增大，分布趋于对称⑤当n →∞时，只要π不太靠近0或1，特别是当n π与n(1-π)均大于5时，二项分布趋于对称。
⑥当n →∞时，且π→0时，二项分布近似Poisson 分布二、二项分布的应用条件是什么？①实验总次数n 一定②每次试验只有两个可能结果且相互独立，不予考虑“可疑”等模糊结果，属于二分类资料 ③每次试验只出现一个结果并且是两个可能结果中的一个结果④已知发生某结果与概率为π且不变，则其对立结果的概率为（1-π）⑤n 次试验在相同条件下进行且各次试验结果相互独立三、Possion 分布的特征？①Possion 分布的总体均数与总体方差相等，均为λ②当λ较小时，图形呈偏态分布；当λ较大时，图形呈正态分布③Poisson 分布的观察结果具有可加性四、正态分布的定义若连续性随机变量X 的概率密度函数为：222)(21)(σμσπ--=x e x f其中μ为均值，σ为标准差，则随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，σ2 )相应的分布函数（概率密度的累积函数）为： ⎰∞---=x x dx e x F 222)(21)(σμσπ五、正态曲线的性质①曲线在x 轴的上方，与x 轴的上方，与x 轴不相交②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称③曲线在x=μ处达到峰值（最高点），在x=μ±σ处有拐点④曲线与横轴x 所夹面积为1⑤均值μ反应随机变量的平均水平（位置参数），向右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减少。
⑥标准差σ反映随机变量的集中趋势（形状参数），σ越大曲线越“矮胖”，表示分布越分散；σ越小曲线越“瘦高”，表示分布越集中。
当n很大，π很小时，nπ=λ为一常数时，二项分布近似于Poisson分布P(nπ)当n较大时，π不接近0也不接近m时，二项分布近似于正态分布，N（nπ,nπ(1-π)）当λ≥20时，Poisson分布渐近正态分布N（λ，λ）六、简述二项分布、Possion分布、正态分布的区别与联系区别：二项分布、Possion分布是离散型概率分布，用概率函数描述其分布状况，而正态分布是连续型概率分布，用密度函数和分布函数描述其分布状况。
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第二节 Poisson分布的概念与特征
一、Poisson分布概念与特征
若某一随机变量X的取值为0，1，2，…，且X=k 的概率为：
P(X k) k e
k!
记作 X~P（ λ ）
其中 自然数e≈2.7182; λ 是大于0的常数，称X服从以λ 为参数的Poisson分布。
Poisson分布主要用于描述在单位时间（空间）内稀有事件的发生数。例如：放 射性物质在单位时间内的放射次数、单位容积内充分摇匀的水中的细菌数、染色 体异变数等。
350 300 250 200
人数
150 100
50 0
109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143
不同参数µ和σ下的正态分布曲线
正态分布函数
1.Gauss函数 （Gauss, 1777~1855 德国人）
某地正常成人心率（次/分）的频率分布
频数 1 5 12 13 26 31
组段 75~ 80~ 85~ 90~ 95~ 100~105
频数 24 15 9 7 5 2
心率频数分布
35
30
25
20
人数
15
10
5
0
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95 100~105
正态曲线
例4-10 某地1986年120名8岁男孩身高频数图
百分位数法
例4-13
282名正常人尿汞值（g/L）测量结果
尿汞值 0~ 8.0~
16.0~ 24.0~ 32.0~ 40~ 48.0~ 56.0~ 64.0~72.0
人数f 45 64 96 38 20 11 5 2 1
累计频数∑f 45 109 205 243 263 274 279 281 282
用A表示感兴趣的事件，则P(A)为所感兴趣事件发生的概率。
Bernoulli 试验序列
满足以下三个条件的n 次试验构成Bernoulli试验序列 1.每次试验只有两个互斥的结果之一（A或非A） 2.每次试验的条件不变（即每次试验有P(A)=π ） 3.各次试验独立
4 1
例4-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一 例有效的概率为π。某医生用此法治疗头痛患者5例，3例有效 的概率是多少？
3
e66x
0.062
x0
x0 x!
多于 1个的概P率 （x2） 1P（x1） 0.983
第三节 正态分布
( normal distribution )
一、 正态分布的概念和特征
在医学资料中有许多变量的频数分布具有对称性。如观察某地150名正常成人心 率的规律。如表4-3：
表4-3
组段 45~ 50~ 55~ 60~ 65~ 70~
μ =121.95 不同范围的概率值
身高范围 cm
理论频率 实际 实际频率
%
频数
%
μ ±σ
121.95±4.72
117.23~126.67
68.27
75
68.18
μ ±1.28σ
121.95±1.28（4.72） 115.91~127.99
80.00
95
79.17
μ ±1.96σ
121.95±1.96（4.72） 112.70~131.20
95.00 104
94.55
μ ±2.58σ
121.95±2.58（4.72） 109.77~134.13
99.00 109
99.10
1 12 .66 7
P
e(x2 14.7 2 .922 )1 5 2d x6.2 8% 7
11 .27 324.72
3.正态曲线下面积（概率）的计算
μ–σ有拐点
2
解： 至多2有 名感染的P概 （x率 2） C1x500.13x0.87150x 2.31107 x0 150 至少2有 名感染的P概 （x率 2） C1x500.13x0.87150x 1P（0）P（1）1 x2 150 至少2有 0名感染的P概 （x率 20） C1x500.13x0.87150x 0.4897 x2 0
2.5%
95%
μ +1σ有拐点
2.5%
4. Z变换
-1.96
不同范围的概率值
μ ±σ μ ±1σ μ ±1.28σ μ ±1.96σ μ ±2.58σ
z x一般
+1.96
概率(%) 68.27 80.00 95.00 99.00
二、 标准正态分布 standard normal distribution
Poisson 分布图
=3 0.2 P (X)
=5
0.1
=10
=20
0.0 0 4 8 0 4 8 12
4 8 12 16 20 X
8 12 16 20 24 28 32
二、Poisson分布的均数与方差 Poisson分布的均数与方差都等于λ，因此参数λ的统计意义就是平均值。
三、Poisson分布的可加性 若X1,X2,…Xk 相互独立，且分别服从以λ1, λ2,…, λk 为参数的Poisson分布，
0,1时的分布称为标准正态分布
标准正态分布界值表值
三、 正态分布的应用
1.估计频数分布 2.制定医学参考值范围 3.质量控制
1. 估计频数分布
例4-11-1 出生体重低于2500克为低体重。若由某项研究得某地婴儿体重均数为3200 克，标准差为350克，估计该地当年低体重儿所占的比例。
解：设 X表示婴儿体重（克）， 因为X~N（3200，3502）
例如
某地20年间共出生肢短畸形儿10名，平均每年0.5名。分析每年出生畸形 儿数的概率分布。 分析：出生畸形儿是个稀有事件，设x为每年出生畸形儿数，=0.5
则P(Xk)0.5k e0.5 k!
每年出生肢短畸形儿概率分布
X=k
0
1
2
3
4
≥5
P
0.607
0.303
0.076
0.013
0.002
0.000
f(x) 1 e(x22)2
2
x
记作 X~N（ μ, σ2）
2.两个参数的意义 ⑴几何意义：μ 是位置参数;σ 是形状参数（σ ＞0）. ⑵统计意义： μ 是总体平均数;σ 是总体标准差.
实际应用中 X~N（ x , s2 ）
表4-4
350 300 250 200 150 100
50 0
109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143
本例为Bernoulli试验序列 ，5 次试验中，事件“有效”出现的次数 X=3的概率分布为：
P (X 3 ) C 5 33 1 5 3
二项分布图 (1)
P(x) 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0 012345
n=3,π=0.5
0.3 P(x) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
P(x4)0.96 4e0.960.014 4!
递推公式： P(X 1) P(X)
X 1
P5 P41 P4 0.960.0026
41
2. 单侧累计概率
例4-8 在例4-7中， (1)至多有4人发病的概率有多大？ (2)至少有5人发病的概率有多大？
4
解： 至多 4人 有发病的 P（ 概 x4率 ）
pP(X13)01P(X13)01(13012.302)1(1.46)7.21% 4.79
pP(120X12)8(12812.302)(12012.302)(1.04)(0.63)58.65%
4.79
4.79
pP(Z1 XZ2)12P(XZ)0.80Z1.28
即 x12.3021.28 11.69x12.92 4.79
p P ( X 2) 5 ( 2 0 5 3 0) 0 2 0 0 0 ( 2 ) 0 0 . 0 2 2 . 2 % 2 8 8 350
例4-11 -2
某地1986年120名8岁男孩身高均数 x12.302cm， S=4.79
（1）试估计身高在130cm以上的百分比； （2）身高在120cm~128cm的百分比； （3）该地80%的男孩身高集中在哪个范围？ 解：
总体均数x 30.61.（ 8 人） 总体标准差 x 30.60.4 0.8（ 5 人） 总体方差x2 0.7225
样本率的误差估计—频率的标准误
用样本率p估计总体率π存在抽样误差，样本率p的总体均数和标准差为：
p
1nx
1(n)
n
p
x
n
(1)
n
当n 较大时，对随机抽取的一个样本而言，95%的可能样本与总体率间的误
第四章 常用概率分布
Common Probability Distribution
要求： 1.熟悉三个分布的（图形与数字）特征和性质 2.掌握三个分布的概率计算，尤其是正态分布 3.了解三个分布之间的关系 4.掌握用正态分布法估计医学参考值范围
第一节 二项分布
在医学卫生领域的许多试验（或观察）中，人们感兴趣的是某事 件是否发生。例如：用白鼠作某药物的毒性试验，感兴趣的是白鼠是 否死亡；某新药、新疗法的临床试验观察患者是否治愈；观察某项指 标的化验结果是否呈阳性等。
则X= X1+X2+…+Xk 服从λ = λ1+ λ2+…+ λk 的Poisson分布。