图像变换的基本模型

图像变换的基本模型
一、常用图象的变换模型
变换模型是指根据待匹配图像与背景图像之间几何畸变的情况，所选择的能最佳拟合两幅图像之间变化的几何变换模型。

可采用的变换模型有如下几种:刚性变换、仿射变换、透视变换和非线形变换等，如下图2.4。

(1) 刚体变换
如果一幅图像中的两点间的距离经变换到另一幅图像中后仍然保持不变，则这种变换称为刚体变换(Rigid Transform)。

刚体变换仅局限于平移、旋转和反转(镜像)。

在二维空间中，点(x,y)力经过刚体变换到点(x',y')的变换公式为:
''cos sin sin cos 1001x y x t x y t y ϕϕ⎡⎤±⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=±⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ (2.25) 上式中ϕ为旋转角度，,T x y t t ⎡⎤⎣⎦为平移变量。

(2) 仿射变换
如果一幅图像中的直线经过后映射到另一幅图像上仍为直线，并且保持平行关系，则这种变换称为仿射变换(Affine Transform 。

仿射变换适应于平移、旋转、缩放和反转(镜像)情况。

可以用以下公式表示:
'12'3
4
10011x y x a a t x y a a t y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2.26)
其中(,)x y t t 表示平移量，而参数i a 则反映了图像旋转、缩放等变化。

将参数,,(1~4)x y i t t a i =计算出，即可得到两幅图像的坐标变换关系。

(3) 投影变换
如果一幅图像中的直线经过后映射到另一幅图像上仍为直线，但平行关系基本不保持，则这种变换称为投影变换(Projective Transform )。

二维平面投影变换是关于齐次三维矢量的线性变换，在齐次坐标系下，二维平面上的投影变换具体可用下面的非奇异3x3矩阵形式来描述，即：
图2.4 图象的坐标变换模型
'012'3
45'678x m m m x y m m m y w m m m w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2.27)
则二维投影变换按照式(2.27)将像素坐标点(x,y)映射为像素坐标点''(,)x y .
'012678'3
45678m x m y m x m x m y m m x m y m y m x m y m ++⎧=⎪++⎪⎨++⎪=⎪++⎩
(2.28)
它们的变换参数(0,1,...,8)i m i =是依赖于场景和图像的常数。

(4) 非线性变换 非线性变换又称为弯曲变换(Curved Transform)，经过非线性变换，一幅图像上的直线映射到另一幅图像上不一定是直线，可能是曲线,在二维空间中，可以用以下公式表示：
''(,)(,)x y F x y = (2.29)
式中，F 表示把一幅图像映射到另一幅图像上的任意一种函数函数形式。

多项式变换是典型的非线性变换，如二次、三次函数及样条函数，有时也使用指数函数,多项式可以用以下公式表示:
'22001001011102'22001001201102......x a a x a y a x a xy a y y b b x b y b x b xy b y ⎧=++++++⎪⎨=++++++⎪⎩
(2.30) 在得到两幅图像间的变换模型参数后，要将输入图像做相应参数的变换使之与参考图像处于同一坐标系下，则可实现目标图像与背景的图像的匹配，这里目标图像变换后所得点坐标不一定为整像素数，此时应进行插值处理。