桌椅设计模型

2011西安交通大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：西安交通大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 马健

2. 刘小康

3. 窦竟铭

日期： 2011 年 3 月 28 日

一种给力的桌椅设计

一、问题重述（四号黑体）

1.1问题背景

自习室的桌椅主要有两大用途：看书和睡觉。各个自习室桌椅的高度和水平距离通常都是固定的，使得对不同使用目的同学有不同的影响。通过分析人体的脊柱模型，设计出一种较适宜学习的桌椅。

1.2 目标任务

问题一：将脊柱模型抽象为弹力层与刚性金属段组合而成的模型，通过对该弹性模型的受力与形变分析，进一步推导出受力与不适度的关系。

问题二：通过受力与不适度的关系指导设计出对于符合概率分布的体型正常男性大学生睡觉不适度尽可能大、学习不适度尽可能小的桌椅。

问题三：通过优化求得满足睡觉不适度尽可能大和学习不适度尽可能小的两种情况下的桌椅设计最优解。

二、模型的假设

1）假设该脊柱可抽象为由金属刚体与弹力层构成；

2）假设金属刚体段的质量分布服从人体的质量分布，同时假设各脊柱长度之间的差异，即金属刚体长度之间的差异可忽略不计；

3）假设椎间盘的弹力与弹性系数和弧度有关；且椎间盘的质量可忽略不计，即弹力层的质量可忽略不计。

4）假设桌椅模型中桌面与椅面均平行地面，椅背垂直地面，人在任何坐姿下均假设尾椎在椅面与椅背相交处。

5）考虑到手臂的质量，但由于在学习及睡觉状态时手臂均在桌面上，假设桌面对手臂的支持力与其自身重力相平衡，所以不考虑它对身体的力的作用。

三、符号说明 符号 意义 单位

n ，i 以第一节颈椎为起始标号下的第n ，i 节脊椎

m 每节刚体段（脊椎骨）的

等效质量

kg g 重力加速度

m/s 2 k 椎间盘的弹性系数

1N rad -⋅ n θ 第n 节脊椎的轴线与竖

直方向的夹角

rad n θ∆ 第n 节脊椎与第1n +节

脊椎的轴线夹角

rad x 、y 以尾椎为原点的直角坐

标系

m ln F 第n 节脊椎下表面受到

的压力

N sn F 第n 节脊椎下表面受到

的剪力

N n θ 第n 节脊椎的方向与竖

直方向的夹角

rad α 椎间盘所受压力产生的

不适度的系数

β 椎间盘所受剪力产生的

不适度的系数

c U 不适度指数

D 椅背距桌面水平距离

m H

桌面距椅面的竖直距离 m

四、模型建立与求解

4.1问题一

对于问题一，由于每节脊椎骨抽象为一段圆柱形刚体而椎间盘抽象为底面直径相同的圆柱体弹性材料，所以不能将整段脊柱当做弹性杆模型，但可抽象为由金属刚体与弹力层构成，仅弹性层发生形变，又由于实际问题中椎间盘的厚度最大仅为17mm ，因此仅考虑弹性层形变致使刚体段发生角度的变化，而忽略弹性层位移形变。

4.1.1模型１：刚性金属段（脊椎骨）模型

由于脊椎骨处于平衡状态，且看做刚体段，因此可选取一节脊椎进行受力分析。

由几何关系可得(如图1)：

1n n θθθ+∆=-

第n 节椎间盘上表面受到的压力，为前n 节脊椎骨作用在其上的压力，表示如下（如图2）：

ln cos n F nmg θ=

第n 节椎间盘上表面受到的剪力，为前n 节脊椎骨作用在其上的剪力，表示如下：

sin sn n F nmg θ=

第n 节椎间盘下表面受到的压力，为前n 节脊椎骨作用在其上的压力，表示如下：

ln 1cos n F nmg θ+=

第n 节椎间盘下表面受到的剪力，为前n 节脊椎骨作用在其上的剪力，表示如下：

1sin sn n F nmg θ+=

4.1.2模型２：弹性层（椎间盘）形变模型

为求解出相联脊椎间θ的关系，即n θ与1n θ+的关系（如图3）。 椎间盘的弹力与弹性系数和弧度有关，所以

/F k θ∆= (1)

取椎间盘的对称面，则作用在对称面上的剪力为

sin()2

n n n F nmg θθ∆=- (2) 将(2)式代入(1)式，得

sin()2n n n nmg k

θθθ∆-∆= (3) 其中k 的数值可根据实际情况拟合得到。

图3 弹性层的形变与受力分析图

图1 刚体段几何角度关系图

图2 刚体段受力分析图

由几何关系，得

1

11n n i i θθθ-==-∆∑ (4)

通过式(3)和式(4)可得，若已知人体脊柱（或组合模型棒）任一节脊椎骨（或刚体段）的轴线与竖直方向的夹角，则可推算出每一节脊椎骨（或刚体段）的轴线与竖直方向的夹角，即任一坐姿都可唯一确定各节脊椎骨（或刚体段）的轴线与竖直方向的夹角。

坐姿应由24θ确定，但为便于计算，由上述讨论的唯一性可知，给定1θ即可确定该坐姿，也就是确定n θ组。

对于给定的n θ组，即可绘制出脊椎（弹力层与刚性金属段组合模型棒）曲线，

24

sin n

n i i x h θ==∑ （i=24, 23……2,1）

24

cos n n i i y h θ==∑ （i=24,23……2,1）

4.1.3问题的综合分析与进一步研究（小四号宋体）

根据已求出的n θ组可求得弹性层压力和剪力的大小分别为：

ln cos n F nmg θ=

sin sn n F nmg θ=

由于人体脊柱的不适度由椎间盘所受的剪力和压力共同影响，因此人体脊柱的不适度为：

2424

ln 11c sn n n U F F αβ===+∑∑ （5）

因为椎间盘角度的形变受剪力影响较大，所以α的权重相对较大。 α，β应由具体医学数据得到。