第六章量子计算模型

0 1 即為量子位元的內容， , ， , 稱為振幅(amplitude)，且
1 ，故一個量子位元可在數學上視為二維複數向量空間上的單位向
量。若 並不是恰處於某一組計算基底上時，吾人稱其處於疊加 (superposition)。 基於量子力學的基本假設， n 個量子位元所組成的系統乃是由各別的量子位元進 行張量積所組成，並可視為在一 2n 維複數向量空間上的單位向量。 量子力學的另一基本假設為，吾人對於任何量子位元所進行的運算，皆必須使其 結果仍然為二維複數向量空間上的單位向量 ， 亦即任何運算均可以一 2 2 的么正 n 矩陣表示之。若是對一具有 n 個量子位元的系統進行運算，則可以一 2 2n 的么 正矩陣表示。 量子力學的另一基本假設為，任何量子位元的真實狀態吾人均無從得知，欲讀取 量子位元的內容，需要進行量測(量測) 的動作。進行量測時需給定一組正交歸 一基底(orthogonal basis)(可以是計算基底，亦可以為其他基底)，則量測的結 果，將會是此基底的其中一組，其機率為該組基底所對應之振幅。而量測的動作， 將會破壞其內容，使其「塌陷」之該組基底。舉一例子而言，吾人在對 0 1 進行量測前，其實完全無法得知其內容，今若以計算基底 0 、 1 對 進行量測，則可能以機率 得到結果為 0 ，以機率 得到結果為 1 ， 且若量測的結果為 0 ，則此時 將由 0 1 變為 0 ，若量測的結果為 1 ， 則此時 將由 0 1 變為 1 。這是量子位元和一般位元極大的不同之處。
6.4 量子杜林機(Quantum Turing machine) 6.4.1 簡介 在原始的杜林機(以下簡稱 TM)的定義中可得知，在任一時間點，TM 的組態(讀寫 頭位置、磁帶內容、TM 狀態)均是可明確得知的。在量子杜林機(以下簡稱 QTM) 的模型中，吾人需額外考慮到量子力學之基本假設所造成之效用，故 QTM 的組態 不再是可明確得知的，而是變為由所有可能的組態為基底，進行複數線性組合而 成的「疊加 (superposition)」 ，故可視為一個量子態 。而當吾人確實需取得 QTM 的詳細組態時，需要進行「量測(measurement)」的動作。根據前述量子力 學之基本假設，對一量子態 進行量測時，將會以一定機率得到其中一組基底
L 及 R 。代表讀寫頭將往左或往右移動一格。
吾人定義 TM 之組態 (configuration) 如下。 定義 6.2(杜林機 TM 之組態) TM M 的組態為 c ，代表在一時間點上，所有可用以描述 M 之資訊， 包括 M 之磁帶中的所有內容、讀寫頭所在位置、TM 所處狀態 q Q 。 TM M 假設處於組態 c 的狀況，吾人定義其後續組態 (successor configuration) c ' 為依照狀態轉換函數，考慮目前所處之狀態 q 及讀 寫頭所在之磁帶內容 後，所得之結果。吾人以 c c ' 表示此一 M 轉換動作。 吾人規定 TM M 初始時的組態(initial configuration)為:讀寫頭在 位置 0；TM 所處之狀態為 q0 ；磁帶上之輸入資料為有限個，假設輸入 資料數量 s ，則它們在磁帶上的位置為 1 ~ s 。 TM M 的終止條件為當其進入一特別定義的狀態 q f ，此時 M 之組態 稱為其終止時的組態 (final configuration)。 當 TM 開始運算之前，磁帶上會先儲存著對於此運算的輸入資料，輸入資料的內 容必須是有限多組，其餘部份均為空白符號 # 。讀寫頭初始的位置處於 0，狀態 為 q0。接著 TM 便開始依照δ進行運算，直到進入狀態 q f 。 下圖是一個狀態轉換函數的範例，它會在輸入字符為 {a, b} 的情形下，將輸入資 料拷貝一份，接在輸入資料後面，舉例來說，如果輸入資料是 # ab # ，則 TM 運算 終止後，磁帶上資料為 # ab # ab # 。圖中的圓圈代表 TM 的狀態，箭頭代表狀態轉 換的流程，箭頭上的文字 (a / b, X ) 代表在輸入為 a 的情形下將該儲存格寫入 b ， 並往 X 方向移動一格 ( X 可能為 L ，代表向左，或是 R ，代表向右)。
圖 6.1 TM 的磁帶及讀寫頭
上圖是一個簡單的 TM 的範例圖，磁帶上的儲存格自 0 開始向無限大延伸， 讀寫頭一開始指向磁帶位置 0 的儲存格，並處於狀態 q0 。
圖 6.2 TM 運算過程
上圖是 TM 的運算過程的範例，原本讀寫頭指向儲存格 2 並處於狀態 q0 ，控 制程序依照狀態 q0 及儲存格上的資料 a ，決定將該格資料更改為 b ，並將讀 寫頭左移至儲存格 1，同時將狀態改為 q1 。 吾人綜合前述內容，將 TM 正式定義如下。 定義 6.1(杜林機 TM) 一部 TM 是一個三元組 M (Q, , ) ，其中 Q 是一有限非空集合，表示 TM 的狀態。 是一有限非空集合，表示運算開始前的輸入資料的字符，其中有一特 別的符號 # 代表空白。 δ 是 表 示 TM 的 控 制 程 序 的 狀 態 轉 換 函 數 ( 狀 態 transition function)，它一個部份函數(部份函數)，自 Q 對映至 Q {L, R}，
第六章
量子ห้องสมุดไป่ตู้算模型
蔡錫鈞 國立交通大學資訊工程學系 6.1 引言(Preamble) 計算機科學自肇始以來，即以研究問題的可計算性及演算法的效率為職志。由於 計算機的製造及運作方式各異，需有一理論性的模型來統一進行探討。杜林機乃 是由 Alan Turing 提出，可有效描述任意計算機的計算行為的數學模型。杜林機 的模型雖然抽象，但是一般計算機上的演算法，均可有效轉化在杜林機上進行運 算。Alonzo Church 及 Turing 因此提出 邱池杜林理論，其中提出杜林機即是所 有可有效計算的問題的模型。多年以來此一假設仍無法找出反例，因此吾人均相 信杜林機確為正確描述計算過程的模型。 在杜林機的模型中， 「計算」的動作乃是依照古典物理的原則進行。二十世紀八 十年代以來 ，開始有物理學者提出疑問是否可以利用量子力學的特性可以建造超 越杜林機限制的計算機(Feynmann 1982)。此一問題在 1994 年由 Peter 修爾 (Shor 1994)給出肯定的解答。質因子分解在傳統計算機上至今仍找不到有效的 演算法可進行運算，但是藉由基於量子力學進行運算的計算機 (量子計算)，此 問題可被有效地計算得出解答。在此之後，陸陸續續地產生許多結果指出量子計 算的確可以超越傳統杜林機的限制，更快速地計算出問題的解答。 本章將會介紹兩類量子計算的模型: 量子杜林機與量子電路 ，在介紹此二模型之 前，先介紹傳統杜林機的模型以及量子力學的基本原則，以導引讀者入門。 6.2 杜林機(Turing machine) 6.2.1 杜林機基本構造 杜林機(以下簡稱 TM)是由 Alan Turing 所提出用來描繪計算過程的數學模型。 它的主要構成和一般計算機的結構類似，具有處理單元以及記憶單元。利用一組 設定好的控制程序，TM 可以進行運算工作。 TM 的主要構成共有: 1 記憶單元 TM 的記憶單元可以想像成是一條磁帶，磁帶上有一連串的儲存格，利用一組 固定的字符(alphabet)記載著資料。磁帶的長度不受限制，可以是無限長。 這是 TM 和一般計算機最大的不同之處，因為一般計算機的記憶體不論其硬 體能力如何，總是有限的。磁帶上記錄著運算過程開始前輸入的資料、運算 途中可能暫時產生的資料，和運算終止時輸出的資料。 2 處理單元 TM 的處理單元可以想像成是一個讀寫頭，讀寫頭指向磁帶中某個儲存位置，
2 2 2 2
6.3.2 布洛赫球面表示法
吾人可利用布洛赫球面，用幾何的方式來詮譯單一量子位元的狀態。假設一量子 位元 ，其狀態為 0 1 ，由於 1 。吾人可將前式改寫為:
2 2
0 ei sin 1 ) 2 2 i 其中 , , 均為實數。一般而言吾人將忽略 e ，因為其將不會在吾人進行量測時 產生任何效果。 ( , ) 可用來描述三維空間中單位球上的一點，以下圖示之，這 種表示法即為布洛赫球面表示法。 (cos sin ,sin cos , cos ) 被稱為 Bloch 向 量。注意 0 處於布洛赫球面的北極(即 z 方向)，而 1 處於布洛赫球面的南極 ( z 方向)。 ei(cos
讀寫頭可以讀取該位置之資料，或是寫入新值，並可在磁帶上進行左右的移 動。讀寫頭中另有一暫存器記錄 TM 當下所處的狀態(狀態)。 3 控制程序 TM 的控制程序負責決定讀寫頭在不同狀態下遇到不同資料時所進行的操 作，讀寫頭可以對磁帶寫入資料，或是移動位置至左右兩邊之儲存格，也可 更改 TM 的狀態。整個圖機的運算過程可以說是由控制程序完全決定。

圖 6.3 狀態轉換函數的範例
6.2.2 計算複雜度、萬用杜林機(Universal Turing machine)及邱池杜林理論 利用前述的 TM 定義，吾人可以將各式演算法以 TM 的狀態轉換函數δ表示之，一 個演算法的良窳 ，通常可利用其所需耗用的執行步驟數及所需使用到的磁帶長度 進行評估。TM 的執行步驟數即其所耗用的時間，使用到的磁帶長度代表其所耗 用的空間。在計算理論中，吾人可針對演算法對於時間及空間耗用程度進行歸 類，亦即探討其計算複雜度。吾人在探討時間 t 、空間 s 的複雜度時，均是試圖 求出 s, t 相對於輸入資料長度 n 的函數關係。在考慮時間複雜度時，若執行時間 t 與輸入資料長度 n 可以多項式函數表示，則吾人一般認為這是有效率的演算法， 若 t 必須以 n 的指數函數表示，則吾人認為這是沒有效率的演算法。更多有關計 算複雜度的敘述，請參考(Papadimitriou 1994)。 由前述的 TM 定義可知，面對不同的計算問題，吾人需藉由調整狀態轉換函數δ 而定義不同的 TM。若將狀態轉換函數δ想像為一組程式、其所處的 TM M 想像 為一台計算機 ，則為每一組程式吾人均得建造一台特別的計算機！這顯然相當沒 有效率，其實吾人可將所有的狀態轉換函數經過統一的編碼之後，由一台「萬用 杜林機 UTM」進行模擬任何 TM 的動作，概念上就如同吾人在同一台計算機上可 以執行多支使用同樣指令集撰寫的程式。有關 UTM 的詳細定義及模擬過程，請參 考(Sudkamp 1997)。 雖然目前仍沒有辦法證明或給出反例，一般咸認為，TM 的模型可以完全描述一 般的計算過程，邱池杜林理論即是自此點出發，斷言在 TM 上可被有效率的演算 法計算之問題即為所有可被任何其他計算模型有效率計算出之問題 。這個斷言相 當嚴厲，代表若有一計算問題在 TM 的模型中找不到有效率的演算法，則這個問 題必定不可能在任何計算模型中找到有效率的演算法。
量子計算被視為一可能打破邱池杜林理論的計算模型，因為在 1994 年 Peter Shor(Shor 1994)提出在量子計算的模型下提出了一個有效率的質因子分解演算 法，而一般均認為在一般傳統的計算機模型內，無法找到有效率的質因子分解演 算法。 6.3 量子力學基本原則(Basic Principles of Quantum Mechanics) 6.3.1 量子位元與量子力學之基本假設 位元(bit)，在傳統計算機中，是儲存資料的最小單位，而在量子計算中，量子 位元(Qubit)則是相對應的儲存資料的最小單位。量子位元和傳統計算機之位元 最大不同之處在於:在傳統計算機中，一個位元可以儲存的值為 0 或 1，而且同 時僅能存放一個值而已，而在量子力學的基本假設中，一個量子位元可儲存的值 是一個量子態(quantum state)，是由計算基底(計算基底) 0 、 1 的複數線性 組合(複數線性組合):