清华大学微积分期末试题
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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【清华】2013年大一下微积分A2期末样题答案
解：建立直角坐标系，使得两个球体可表为：
小球： x2 y2 z2 1，大球： x2 y2 (z 2)2 4 。于是两个球面的交线方程为
x2 y2 z2 1
由 Green 公式，
X (x, y)dx Y (x, y)dy D
Y
D
x
X y
dxdy
Y x
X y
( , )
1r2 2
其中 ( ,) 为 D 中一点。而
两者相等，
X (x, y)dx Y (x, y)dy L
2．（8 分）设 f (x) 是 2 周期的连续函数,记 F (x) f (t) f (x t)dt 。
（I）求证 F (x) 也是 2 周期的连续函数；
（II）记{an ,bn} 与{An , Bn}分别是 f (x) 与 F (x) 的 Fourier 系数列,求证:
A0 a02 , An an2 bn2 , Bn 0, ( n 1, 2, )
3．设 S 为上半单位球面 x2 y2 z2 1, z 0 ，则 (x 1)2 dS =
S
(x 1)2 dS (x2 1)dS 1
(x2 1)dS
S
S
2 x2 y2 z2 1
答案：
1 1
(x2 y2 z2 )dS 1
而 f (x) 是 2 周期的连续函数,于是
A0
1
F (x)dx
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式:设)(x f 为],[b a 上的下凸函数,则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11.（4）Holder 不等式:设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ,则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
微积分A1期末考试卷
考试课程
系名
一元微积分期末考题（A）
班级 姓名 学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 空） （请将答案直接填写在横线上！ ）
e−x 1． lim x → +∞ x
2
∫t
0
x
2 t2
e dt =
cos x
。
2．设 f (x) 为连续函数， F ( x ) =
∫
0
f ( x − t ) dt ，则 F ′(x) =
。
3．
−1
∫ (sin x
1
3
+ 1 − x 2 dx =
)
。
4．
∫ x ln x dx =
+∞
。
5．
∫ 1+ e
0
dx
x
=
。
6．
∫
1 1 sin dx = 2 x x
+∞
。
7．当 p 的取值范围为
时，广义积分
∫
2
dx 收敛。 x ( x − 2) p −1
p
8．设幂级数
( x − a) n ∑ n 在点 x = 2 收敛，则 a 的取值范围为 n =1
在 x0 = −1 点的 Taylor 级数展开式为
。 第 页/共 页
13．级数
∑n
n =1
+∞
n!
n 2
是收敛还是发散？
（填上收敛或发散） 。
14．微分方程初值问题 ⎨ dx
⎧ dy ⎪ − 2y = 1 ⎪ y (0) = 0 ⎩
的解为
。
15．微分方程
dy − y = y 2 的通解为 dx
完整版)大一期末考试微积分试题带答案
完整版)大一期末考试微积分试题带答案第一学期期末考试试卷一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置。
答错或未答，该题不得分。
每小题3分，共15分。
）1.XXX→0sinx/x = ___1___.2.设f(x) = lim(n-1)x(n→∞) / (nx+1)，则f(x)的间断点是___x=0___.3.已知f(1)=2，f'(1)=-1/4，则df-1(x)/dx4x=2.4.(xx)' = ___1___。
5.函数f(x)=4x3-x4的极大值点为___x=0___。
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分。
）1.设f(x)的定义域为(1,2)，则f(lgx)的定义域为___[ln1,ln2]___。
2.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，使lim[g(x)-φ(x)] = a，则limf(x) x→∞ = ___存在但不一定等于零___。
3.极限limex/(1-2x) x→∞ = ___e___。
4.曲线y=(2x)/(1+x2)的渐近线的条数为___2___。
5.曲线y=(2x)/(1+x2)的渐近线的条数为___2___。
三、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）4.设f(x)=(ex-sinx-1)/(sinx2)，f'(x)=(ex-cosx)/sinx2，lim(x→sinx/2)f(x) = lim(x→sinx/2)(ex-sinx-1)/(sinx2) =___1/2___。
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）1.lim(x→0)(cosx1/x)x = ___1___。
五、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
）确定常数a,b，使函数f(x)={x(secx)-2x。
x≤a。
ax+b。
x>a}处处可导。
因为f(x)处处可导，所以f(x)在x=a处连续，即a(sec(a))-2a=lim(x→a)(ax+b)，得到a=1/2.根据f(x)在x=a处可导，得到a(sec(a))-2=lim(x→a)(ax+b)/(x-a)，得到b=-1/2.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分。
清华大学微积分b期末考试试题及答案
清华大学微积分b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 12x + 11 \)B. \( x^3 - 6x^2 + 11 \)C. \( 3x^2 - 12x + 6 \)D. \( x^3 - 6x + 11 \)答案：A2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 1B. 0C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是：A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A4. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的不定积分是：A. \( x\ln(x) \)B. \( x\ln(x) + x \)C. \( x\ln(x) + 1 \)D. \( x\ln(x) - x \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( \frac{2}{x^3} \)2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是 \( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( \frac{1}{3} \)3. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( y = \ln(x) \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_ \)。
答案：\( (1, 1) \)4. 函数 \( y = \tan(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{4} \) 处的导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
清华微积分题库
x y z 如何？( B ) y z x
x y z 1 y z x Fy Fy Fz Fx F F ) ( z ) ( x ) 1 (B) 该式 ( Fx Fy Fz Fx Fy Fz
(C) 因为一个方程 F ( x, y , z ) 0 可以确定一个函数，不妨设 z 为函数，另两个变量 x, y 则为自变量，于是 给表达式为 0 。 (D) 仿(C)不妨设由 F ( x, y , z ) 0 确定 z 为 x, y 的函数,因 58．设
dy dt , t' 。 dx dx (B) Fx Fy ( f x f t t x ) Ft t x 0 。
(A) Fx Fy y ' Ft t ' 0 ,其中 y ' 60． lim
x y （ 0 x x xy y 2 y
(A) .设方程 z x y a , Fx 2 zz x 2 x, Fz 2 z , 代入 z x
2 2 (C) 求 z x y 平行于平面 2 x 2 y z 0 的切平面,因为曲面法向量 n (2 x,2 y,1) //( 2,2,1) ,
54．以下各点都是想说明 lim f ( x, y ) 不存在的，试问其理由是否正确？( B
x , y 0
)
xy ，理由是 y x 时函数无定义。 x y xy , y x (B) 对 f ( x, y ) x y , 理由是令 y x 2 或 x 2 x 将得到不同的极限值 0,1 。 0, y x y ,x 0 , 理由是令 y 1 x ，即知极限不存在。 (C) 对 f ( x, y ) x 0, x 0
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限 存在，证明 ． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
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2/2
3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（ ）对于任意的 ，均有 ． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（ ） ， ，只要 ，就有 ． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（ ） ， 以及 ，只要 ，就有 ． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列 若不收敛，则必存在两个子列 ， ，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
清华大学2013级微积分B(2)第二学期期末试题及参考答案
1．设 z = arctan 答案： 1 ， −1 2．曲面 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6 在点 (1,1,1) 处的切平面方程为 答案： x + 2 y + 3z = 6 3．微分方程 y ′ − 答案： x (C + e x ) 4．设曲线段 L 是曲线 y = x 上从点 (1,1) 到点 (4, 2) 的部分，则 ∫ ydl =
≤1} ，计算二重积分
I = ∫∫ ( x 2 − 3 y 2 )dxdy ．
D
解
I = ∫∫ ( x 2 − 3 y 2 )dxdy = ∫ 2π dθ ∫
D −
π
2cosθ
2
0
(r 2 cos 2 θ − 3r 2 sin 2 θ )rdr
= 4∫ 2π (cos 2 θ − 3sin 2 θ ) cos 4 θ dθ
Ω ．则
I=
( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy ． ∫∫ ( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy − ∫∫ Σ Σ Σ
3 3 3 3 +
1 1
因为
∫∫ ( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy Σ Σ
=
1 2 2 x4 x4 2 ′ ( x + + 1) ln( x + + 1)dx 2 ∫0 4 4
2
1 x4 x4 x4 = [( x 2 + + 1) ln( x 2 + + 1) − ( x 2 + + 1)] 2 4 4 4 0 = 9 ln 3 − 4 。
微积分(3)2009秋期末试题
+ xy − y )dx + (e x + y +
1 2 x )dy 。 2
解：设曲线 C 所围区域为 D ，由 Green 公式 原积分＝
∫∫
D
dxdy ＝ ∫ dt ∫
0
2π
cos6 t + sin 6 t
0
rdr ＝
2π
3π 。 16
( 我算得结果 π
5 8
， ∫ dt ∫
0
2π
cos 6 t + sin 6 t
14．
（6 分）设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数,而 y = ϕ ( x) 是方程
dy + y = f ( x) dx (1)
的解,且满足 ϕ (T ) = ϕ (0) .求证 ϕ ( x) 以 T 为周期。 证明：由 f ( x + T ) ≡ f ( x ) 知 ϕ ( x + T ) 也是方程(1)的解……………………(2 分) 证明
u = 4e − y + ce −2 y ,………………………….(2 分) dy = ± 4e − y + ce −2 y . dx
e y = x 2 + c1 x + c2 ……………………………(1 分)
（10 分） 求函数 f ( x, y ) = 2 xy + y 在闭圆域 x 2 + y 2 ≤
原积分= ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………………………………(1 分)
S
= ∫∫∫
0≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2
div( F )dV − ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………….(4 分)
清华大学微积分期末试题
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
∫ ∫ ∫ 1.（8 分）设 f ∈ C[0,1]，利用分部积分证明
1⎡ 0 ⎢⎣
x x2
f (t)dt⎥⎦⎤dx =
1
(
0
x − x2 ) f (x)dx 。
2.（7 分）设 a(x) 和 b(x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方程
d
2x
ln(1 + sin t)dt =
dx x2
。
5. 求曲线 y = ex 、 y = − cosπ x 、 x = − 1 、 x = 1 围成的区域面积
2
2
∫ 6. π sin x − sin3 xdx = 0
。
∫ 7.
dx =
x(x2 + 1)
。
∫ 8. 2 dx =
1 x+ x
。
9. 悬链线 y = 1 (ex + e−x ) ，| x |≤ 1的弧长 L = 2
dy = a(x) y + b(x) 解的情况。 dx （I）举出 a(x),b(x) 的一个例子，使得该方程的解为下列三种情况之一：
（a）没有以 2π 为周期的解； （b）只有一个以 2π 为周期的解； （c）任意解都以 2π 为周期。
（只要就上面三种情况中的一种举一个例子即可） （II）证明该方程解的情况只能是上述三种之一。
10. 二阶方程 x2 y''−xy'−3y = 0 的通解为
。 。
11.
⎧ dy
一阶线性常微分方程组
⎪ 43; 2z
的通解为
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题1.微积分的概念是由谁提出的？A.牛顿B.莱布尼茨C.高斯D.欧拉答案：B2.一个物体在 t 秒后的位移函数为 s(t) = 4t^3 - 2t^2 + 5t + 1。
求该物体在 t = 2 秒时的速度。
A.10B.23C.35D.49答案：C3.定义在[a,b]上的函数 f(x) 满足f(x) ≥ 0，对于任意 x ∈ [a,b] 都有∫[a,b] f(x) dx = 0，则 f(x) =A.常数函数B.0C.连续函数D.不满足条件，不存在这样的函数答案：B4.若函数 f 在区间 [a,b] 上连续，则在区间内至少存在一个数 c，使得A.∫[a,b] f(x) dx = 0B.∫[a,b] f(x) dx = f(c)C.∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)D.∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F 为 f 的不定积分答案：D5.已知函数 f(x) = x^2，求在点 x = 2 处的切线方程。
A.y = 2x - 2B.y = 2x + 2C.y = -2x + 2D.y = -2x - 2答案：A二、计算题1.计算∫(2x - 1) dx。
解：∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C。
2.计算极限lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2)。
解：lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2) = ∞。
3.计算导数 dy/dx，其中 y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1。
解：dy/dx = 15x^2 - 4x + 7。
4.计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的驻点。
解：驻点为 f'(x) = 0 的解。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 = 0，解得 x = -1 或 x = 5/3。
5.计算定积分∫[0,π/2] sin(x) dx。
微积分上册期末考试试题
微积分上册期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续也不可导D. 有界但无界的2. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相切的点是：A. \( (0,0) \)B. \( (2,8) \)C. \( (1,1) \)D. \( (4,16) \)3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，则函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 3C. 无穷大D. 不存在4. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的最大值是：A. 1B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \pi \)D. \( \frac{\pi}{4} \)5. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，且 \( f(x) \) 在\( [0,1] \) 上连续，则 \( f(x) \) 在 \( [0,1] \) 上的平均值是：A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数是：A. \( x \ln(x) \)B. \( x \ln(x) + x \)C. \( x \ln(x) - x \)D. \( x \ln(x) + C \)7. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的零点是：A. 0, 3B. -3, 0C. 1, 3D. -3, 18. 若 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 3 \)，且 \( f(x) = x^2 \)，则\( a \) 和 \( b \) 的值分别是：A. \( -1, 1 \)B. \( 0, 2 \)C. \( -2, 2 \)D. \( 1, 2 \)9. 函数 \( f(x) = \tan(x) \) 在区间 \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) 上是：A. 连续的B. 可导的C. 有界但无界的D. 不连续也不可导10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，则\( f(x) \) 在无穷远处的渐近线是：A. \( y = 0 \)B. \( y = x \)C. \( y = -x \)D. \( y = \infty \)二、计算题（每题15分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。
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期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
答案：8 10. 设参数曲面θϕθϕθcos ,sin )sin ( ,cos )sin (:b z b a y b a x S =+=+=，πϕπθ20,0≤≤≤≤，其中0>>b a ，则S 的单位法向量±=n ；面积微元=dS 。
答案：)cos ,sin sin ,cos sin (θϕθϕθ±=n ，ϕθθd d b a b dS )sin (+=11．设S 为3R 中的平面圆盘：0=z ，222≤+y x ，正法向向下，则第二型曲面积分=++⎰⎰Sdxdy z y x )(222 。
答案：π2- 12．设S 为单位球面1)()()(222=-+-+-c z b y a x ，外法向为正，则第二型曲面积分⎰⎰=++Szdxdy ydzdx xdydz 。
答案：π413．设向量场)(,,(z y x y xz xyz -+=F ，记}10 ,20:),,{(22≤+≤≤≤=Ωy x z z y x ， 记n 是Ω∂的单位法向，指向外侧，则向量场F 通过Ω边界向外的发散通量=⋅⎰⎰Ω∂dS n F 。
答案：π2)1(==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdV dV x yz14. 设S 为圆柱面}20,1:),,{(22≤≤=+z y x z y x ，法向指向外侧，则第二型曲面积分=++++⎰⎰Sz dxdy e dzdx x z dydz z y 2)()( 。
答案：0二、计算题（4题38分，列出计算过程和必要的根据）1.（9分）计算第二型曲面积分⎰⎰+-=Szdxdy dzdx xy dydz x I 3y 22，其中定向曲面S 为 球面2222x y z z ++=在平面1=z 下方的部分，法向朝下。
解：依照题意S 为下半球面1,1)1(222≤=-++z z y x 的外侧，再取平面圆盘1,1:22≤+=∑y x z ，法向朝上，令Ω为S 和∑包围的半球区域，则∑+=Ω∂S ； ………… 3分应用Gauss 公式可得π233y 22==+-⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂dxdydz zdxdy dzdx xy dydz x， ………… 4分而π333y 22==+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy zdxdy dzdx xy dydz x ， ………… 2分 所以 πππ-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∂32SI 。
2.（9分）设S1z ≤的边界构成的封闭曲面，求第一型曲面积分⎰⎰++=Sd z y x I S )(222。
解：由题意S 为有限锥体的表面，由两部分构成： 有限锥面221:y x z S +=，122≤+y x ，其面积微元dxdy dS 2=，πθπ222)(22S )(1320122222221==+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+dr r d dxdy y x d z y x y x S ，……5分平面圆盘1:2=z S ，122≤+y x ，其面积微元dxdy dS =；23)1()1(S )(1220122222222πθπ=+=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+rdr r d dxdy y x d z y x y x S ，……3分 综上得到 π)232(+=I 。
…… 1分 3.（10分）已知S 为锥面22y x z +=被圆柱面ax y x 222=+（0>a ）截下的部分，设S 质量均匀，求其重心坐标),,(z y x 。
解：将S 投影到xy 平面上区域222)(:a y a x D ≤+-，锥面上dxdy dS 2=…… 2分不妨令S 的密度为1，则总质量、静力矩依次为 222a dxdy dS M DSπ===⎰⎰⎰⎰， …… 2分32/2/cos 2022cos 22a dr r d xdxdy xdS M a DSyz πθθππθ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-， …… 2分 0sin 222/2/cos 202====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ππθθθa DS xz dr rd ydxdy ydS M ， …… 1分32/2/cos 20222293222a dr r d dxdy y x zdS M a DSxy ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ππθθ，…2分 所以 a x =，0=y ，a z π932=。
4．（10分）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=Lyzdz xydy dx z I 2，其中有向曲线L 为上半球面222y x a z --=与柱面ay y x =+22的交线，从z 轴正向看过去逆时针方向为L 的正向。
解：令S 为上半球面被柱面截下的部分，外侧为正向，则L S =∂，应用Stokes 公式⎰⎰⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂==∂SSSydxdy zdzdx zdydz dxdy dzdx dydz yz xy z z y x I 22，…………5分 记),2,(y z z =F ，已知S 的单位正法向az y x ),,(=n ，因此有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=⋅=SS S dS a zy x dS a yz xz dS I )3(3n F ， ………… 3分 注意到222:y x a z S --=，ay y x ≤+22，dxdy zadS =， 3833)3(2222a ydxdy dxdy y x I ayy x ayy x π===+=⎰⎰⎰⎰≤+≤+ ………… 2分三、证明题（2题17分，写出详细论证过程）1. （9分）令0>a ，求证：对于xy 平面上任何绕原点的分段连续可微的简单（不自交）闭曲线C ，曲线积分π22222=+-⎰-C y ax a ydxxdy ，其中C 取逆时针方向为正向。
证明：首先取1C 为曲线22222ε=+-y ax a （0>ε），逆时针方向为正向，则πεεε221222-2211222222==-=+-⎰⎰⎰⎰≤+-y a x a C C dxdy ydx xdy y ax a ydx xdy 。
……… 3分对于任意绕原点逆时针为正向的分段连续可微的简单闭曲线C ， 令1C 同上，且与C 不相交（0>ε充分小），记二曲线之间包围的区域为D ，则1C C D -=∂，所以⎰⎰⎰+=∂1C DC………… 3分注意D ∉)0,0(，因此在D 中有，22222222222222222()x y a y a x x a x a y y a x a y a x a y ----⎛⎫⎛⎫∂∂--== ⎪ ⎪∂+∂++⎝⎭⎝⎭， 应用Green 公式便知， 002222==+-⎰⎰⎰∂-DD dxdy y a x a ydxxdy ， ………… 3分 所以 π2122222222=+-=+-⎰⎰--C C y a x a ydx xdy y a x a ydx xdy 。
2．（8分）设⎰=π20cos )sin cos()(dx x u eu f xu ，（1）验证⎰+=π20cos )()sin cos()(dx x u nx e u fx u n ；（2）进一步证明≡)(u f 常数（考虑在0=u 点的Taylor 级数展开）。
解：（1）利用归纳推导，已知n=0时等式成立（或验证n=1时成立）， ………… 1分假设⎰+=π20cos )()sin cos()(dx x u nx e u f x u n ，则 ⎰+∂∂=+π20cos )1()]sin cos([)(dx x u nx e u u fxu n ⎰+-+=π20cos )]sin sin(sin )sin cos([cos dx x u nx x x u nx x e x u⎰++=π20cos )sin )1cos((dx x u x n e x u ，归纳完成。
………… 4分（2）由（1）可得0)cos()0(20)(==⎰πdx nx fn ， ,2,1=n ， ………… 1分且任取0>M ，M u ≤||时，对于所有 ,2,1=nM u u x u n e e dx e dx e u f ππππ22|)(|2020cos )(≤=≤≤⎰⎰，因此M u ≤||时成立Taylor 级数展开+++''+'+=n n u f n u f u f f u f )0(!1)0(!21)0()0()()(2 ππ21)0(20⎰===dx f 。
………… 2分。