无铰拱计算

A D R Φ0
f=2.5m
Φ0
O l =10m
解:求R和φ0
R=6.25m
x = R sin ϕ y′ a=∫ ds EI
1 2
y ′ = y + a = R cos ϕ ds = ∫ EI 5.39 m
x’
sin ϕ 0 = 0 .8 cos ϕ 0 = 0 .6
ϕ = 0 .9273 rad
0
当附加竖向刚臂长度变化时，就 当附加竖向刚臂长度变化时， 可能使： 可能使：δ 即得：
21
= δ
12
= 0
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0 δ 33 X 3 + ∆ 3P = 0
δ 11 X 1 + ∆1P = 0 δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0 δ 33 X 3 + ∆ 3 P = 0
形象解释 EI
即：若取刚臂端点到x’轴 若取刚臂端点到 轴 距离为a， 距离为 ，则δ 12=0 ，该点 称为弹性中心。 称为弹性中心。 。
1 EI
（a） ）
1 1 ds ⋅ yo = ∫ ds ⋅ y ′ ∫ EI EI
y′ ∫ EI ds yo = =a 1 ∫ EI ds
ϕo
ds = Rdϕ
= R sin ϕ 0
x′
a=
2 ∫ R cos ϕ ⋅ Rdϕ
0
2 ∫ Rdϕ
0
ϕo
ϕ0
将积分转化到极坐标系下进行。
5
例题5-8 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x A X2 R R Φ0 O φ Φ0 X1 X1 X2 R x
M =1 M = − y = a − y′ EI δ = ∫ M ds = 1.855 R
2 11 1
EI δ = ∫ M ds = 0 .027 R
2 22 2
3
6
-q 2 MP = x 2 EI∆1 P = ∫ M 1 M P ds = −0.224qR 3 EI∆ 2 P = ∫ M 2 M P ds = −0.0223qR 4 H = X 2 = 51.7 kN M 0 = X 1 − X 2 ( R − a) = 2.64kN .m
y′
x′
2.5m
y′
1 ∫ y′ EI ds a= 1 ∫ EI ds
ϕ ϕ0 ϕ0 l=10m
y′
y ′ = R cos ϕ
ϕo
ds = Rdϕ
= R sin ϕ 0
x′
a=
2 ∫ R cos ϕ ⋅ Rdϕ
0
2 ∫ Rdϕ
0
ϕo
ϕ0
l/2 5 sin ϕ 0 = = = 0.8 R 6.25
a=5.39m
y′ − a − y′ 1 δ 12 = − ∫ ds = ∫ ds + a ∫ ds EI EI EI
2
15
y
y´
令δ 12=0
则
X2
0
X2 y
X1 X1
a
y′
x
x'
1 ds EI a= 1 ∫ EI ds
∫ y′
y′ − a 1 − y′ δ 12 = − ∫ ds = ∫ ds + a ∫ ds EI EI EI
1
14
y
y´
X2
0
X2
y a
y′
Q2
x
X1 X1
y
1Βιβλιοθήκη Baidu
x'
y x
ϕ y N2
ϕ
y
{
X1 =1
M1 = 1
X2 =1
x
N1 = 0
Q1 = 0
y δ 12 = − ∫ ds EI
{
M2 = − y
N 2 = − cos( −ϕ ) = − cos ϕ Q2 = sin( −ϕ ) = − sin ϕ
另选座标 x′oy ′ 则 y = y ′ − a
弹性中心法（对称无铰拱的计算） 5-7 弹性中心法（对称无铰拱的计算）
EI=∞ （a） （c） （b）与（c）具有完全等效关系。 ） ）具有完全等效关系。
X2
X1 X
X3
2
此时将图（ 在对称轴位置截断， 此时将图（c）在对称轴位置截断， 对于两对称内力： 对于两对称内力：X1、X2。
（b） （1）利用对称性 ）
ϕ 0 = 0.9273(rad )
x′
a=5.39m
4
17
试确定图示园弧拱的弹性中心， =常数，半径R=6.25m 试确定图示园弧拱的弹性中心，EI=常数，半径 =6.25m 。
y′
x′
2.5m
y′
1 ∫ y′ EI ds a= 1 ∫ EI ds
ϕ ϕ0 ϕ0 l=10m
y ′ = R cos ϕ
X1 = − X2 =−
∆1 P
δ
= 0.121qR 2 = 47.1kN .m = 0.827 qR = 51.7 kN
11
∆2P
δ
22
M A = M B = X 1 + X 2 (a − R cosϕ 0 ) = 6.89kN .m
A
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x X1 X2 X1 X2 φ Φ0 O Φ0 R x
讨论：与拱轴相同的三铰拱比较， 讨论：与拱轴相同的三铰拱比较， 在同样荷载作用下， 在同样荷载作用下，拱脚的水平 推力（本例50）非常接近。 推力（本例 ）非常接近。
R
7
x’
352，
5-7-3
（仅要求：）计算其弹性中心位置。 仅要求：）计算其弹性中心位置 ：）计算其弹性中心位置
8
。 yo y′ （b） ） 等截面时
∫ y′ds a= ∫ ds
16
要点： 、先计算a； 、将未知力放在弹性中心； 独立方程， 考虑N。 3、 要点：1、先计算 ；2、将未知力放在弹性中心； 、独立方程，δ 22考虑 。 3
例
试确定图示园弧拱的弹性中心， =常数，半径R=6.25m 试确定图示园弧拱的弹性中心，EI=常数，半径 =6.25m 。