圆锥曲线的第三定义

2015.1.23 JZX

圆锥曲线的第三定义及运用

成都石室中学 蒋宗汛

一、 椭圆和双曲线的第三定义

1. 椭圆

x

y

2

2

在椭圆 ：

中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一

C 1 a b 0

a

b

2

2

点，若k 、k 存在，则有： PA

PB

k

k = e

1=

2

PA

PB

b 2

a

2

证明：构造△PAB 的 PA 边所对的中位线 MO ，k k ，由点差法结论：

k

k = e

1=

2

PA MO MO

PB

b

2

a

2

知此结论成立。

2. 双曲线

x

y

2

2

在双曲线C ：

1中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一点，若k 、k

2

2

PA

PB

a b

存在，则有：

k k =e

1=

2

PA PB b 2 a 2

证明：只需将椭圆中的b2 全部换成b2 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

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二、与角度有关的问题

x y 3

2 2

例题一：已知椭圆

： a b 的离心率e ，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双

曲C 1 0

a b 2

2 2

线x y

2 2

1的一个交点，令PAB=，

APB=，则

7 8

cos

=

cos 2

.

解答：

令PBx =，由椭圆第三定义可

知：

2 1

tan tan =e 1=

4

cos cos cos cos sin sin 1 tan tan 3 = = =

cos 2cos cos cos sin sin 1 tan tan 5 点评：

其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联

想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题

目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

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变式 1-1：（石室中学2015 级高二下4月18 日周末作业）

已知双曲线C：x2 y2 2015 的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线右支一点，且PAB=4APB ，求.

PAB=

解答：

令= 0，，PBA= 0

PAB ，，则 =5，由双曲线的第三定义知：

2 2

tan tan =tan tan5=e 1=1

2

1

则：

tan= =tan 5= 5

=

tan5 2 2

12

点评：

与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。

三、与均值定理有关的问题

x y

2 2

例题 2：已知 A、B 是椭圆

2 2 1 a b 0 长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两

a b

点，直线 AM、BN 的斜率分别为k 、k ，且

1 2 k1k2 0 。

若

k k 的最小值为 1，则椭圆的离心率

1 2

解答一（第三定义+均值）：

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2015.1.23 JZX 由题意可作图如下：

b

2

连接 MB，由椭圆的第三定义可知：，而

k k =e 1= k k

2

AM BM BM BN

2

a

b

2 k k

1 2 = 2

a

2b b 1 3

k k 2 k k = =1= e=

1 2 1 2

a a 2 2

解答二（特殊值法）：

1 这道题由于表达式 1

2 min 1 k k 时可取最值，k k 非常对称，则可直接猜特殊点求解。= =

1 2

2

则 M、N 分别为短轴的两端点。此时：

b 1 3 k = k = = e= 。

1 2

a 2 2

点评：

对于常规解法，合理利用 M、N 的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用 a、b 表

示出最值 1。当然将k 、k 前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解

1 2

法相同，即变式 2-1。

x y

2 2

变式 2-1：已知 A、B 是椭圆

长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的

2 2 1 a b 0

a b