答：可分拓扑空间的商空间必定可分。可分拓扑空

问题三：

1． 可分拓扑空间的子空间不一定是可分的。

答：可分拓扑空间的商空间必定可分。可分拓扑空间的开子空间也一定可分。但是，可分拓扑空间的闭子空间未必可分。证明和反例如下：

（1） 可分拓扑空间的商空间必定可分。

设X 是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令{[]|}B x x A =∈，则B 是可数集，下证X B =∼。事实上，[]X x ∀∈∼，对[]x 的任意一个开邻域U ，有1()p U −是x 的开邻域，于是1()p U A −≠∅∩。设1()y p U A −∈∩，则[]y U B ∈∩，故U B ≠∅∩，于是[]x B ∈，从而X B =∼。所以X ∼可分。

（2） 可分拓扑空间的开子空间也一定可分。 设X 是拓扑空间，C 是X 中的非空开集，A 是X 的可数稠密子集，则A X =。令B A C =∩，则B 是可数集，下证B C =。事实上，x C ∀∈，对x 的任意一个开邻域U （在C 中），U 也是x 在X 中的开邻域，从而U C ∩是x 在X 中的开邻域。因A X =，故()U C A ≠∅∩∩，于是

()U B U C A =≠∅∩∩∩，故x B ∈，所以B C =。故C 是可分空间。

（3） 可分拓扑空间的闭子空间未必可分。

反例：设X 为不可数集，p X ∈。命X 的开集为∅以及含有点p 的任意子集。易见，单点集{}p 在X 中稠密，从而X 可分。又，{}X p −是X 的闭子空间，因X 不可数，{}X p −中的任意一个子集既是开集，又是闭集，故{}X p −不可分。

2． 设X 是拓扑空间，,A B 为X 的非空闭子集，A B ∪和

A B ∩连通，则A 和B 连通。

证：假设A 不连通，则存在A 的非空闭子集1A 和2A 使得12A A A =∪，12A A =∅∩。而

1212()()()A B A A B A B A B ==∩∪∩∩∪∩

因A B ∩连通，1A B ∩和2A B ∩都是A B ∩的闭子集，且12()()A B A B =∅∩∩∩，于是1A B ∩和2A B ∩中至少有一个是空集，不妨设1A B =∅∩。

1212()()A B A A B A A B ==∪∪∪∪∪，

12121()()()A A B A A A B ==∅∩∪∩∪∩

于是A B ∪可以分解成两个互不相交非空闭集的并，

故A B ∪不连通，这与A B ∪连通矛盾。所以A 连通，同理可证B 连通。

3． 设X 是拓扑空间，,A B 为X 的子集，则

（1）d(A B)=d(A)d(B)∪∪；

见熊金城著的点集拓扑讲义（第二版）第61页。

（2）d(A B)=d(A)d(B)∩∩。

该命题错误。

反例1：设X = ，取通常拓扑。

(0,1),(1,2)A B ==，则d(A B)=d()=∅∅∩，

d(A)d(B)=[0,1][1,2]={1}≠∅∩∩。

反例2：设X = ，

取通常拓扑。A = ，B =− ，则 d(A B)=d()=∅∅∩，d(A)d(B)=≠∅∩ 。