第二章质点动力学
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令：F Fi ，为系统所受合外力 i 1
则： F dp dt
上式表明系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。 显然，外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的总动 量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。
第 15 页
三、动量守恒定律
如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即：
t0
p0
令：I
t
Fdt
t0
，表示力F 在t0到t内的冲量（impulse）
我们可以得到动量定理的积分形式：
I p p0
通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量增量的 方向相同。由力的冲量（I）、质点的初动量（p0）和末动量（p） 三者组成一个矢量三角形。
第 11 页
冲量和动量都是矢量，我们可以将动量定理在直角坐标系中进行分 解，得到的分量式为：
v0
0
L
m k
wenku.baidu.com
v0
第9页
第二节 力的时间积累效应 动量守恒定律
将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的过 程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，并 将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题的 解，这是物理学研究问题的一般方法。
一、质点的动量定理
将牛顿第二定律改写为： Fdt dp
p2 )
m1
F1
第 13 页
很容易将上式推广到N个质点所组成的质点系的情况 ：
N
N
Fi
i 1
i 1
N j i
fij
d dt
N i 1
pi
NN
fij 0 i1 ji
N
i 1
Fi
d dt
N i 1
pi
质点系动量定理的微分形式 ：
N
N
Fidt d pi
i 1
i 1
第 14 页
N
令： p pi ，为质点系内所有质点动量的和 i 1 N
式中乘积Fdt表示力F在dt时间内的积累，称为在dt时间内质点所受 合外力F的冲量。上式表明，质点所受合外力在dt时间内的冲量等 于同一时间内质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式 。
如果整个过程持续的时间为从t0时刻到t时刻，我们将上述结论对整 个过程进行叠加得到：
第 10 页
t
p
Fdt dp
F12 F21
（1）作用力和反作用力同时存在。 （2）分别作用于两个物体上，不能抵消。 （3）属于同一种性质的力。
第5页
二、基本力简介
电磁力： 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电磁力。长程力。 引力： 强度仅为电磁力的1/1037 强力： 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百倍。力程约为
10-15m 弱力： 存在于基本粒子之间，强度只是强力的一百万亿分之一。
第 12 页
F
F
t
t0
t
二、质点系的动量定理
由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 我们将牛顿第二
定律应用在由两个质点组成的质点系上：
F1
f12
dp1 dt
F2
f21
dp2 dt
由于： f12 f21 0 ，容易得：
F2
m2
f12
f21
F1
F2
dp1 dt
dp2 dt
d dt
( p1
N
F Fi 0 i 1
则：
N
p pi 常 矢 量 i 1
第二章 质点动力学 Chap.2 Kinetics
本章要点
动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒
第2页
第一节 牛顿运动定律
一、牛顿运动三定律
牛顿第一定律（Newton's first law）： 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有力加 于其上迫使它改变这种状态。
设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发 动机停机后所能前进的最大距离。
第8页
解：
m dv kv （式中负号表示力和速度的方向相反 ） dt
作如下变换 ： m dv ds mv dv kv ds dt ds
分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为L：
即可解得：
0
L
mdv kds
I
x
t
t0 Fxdt px p0x mvx mv0x
I
y
t
t0 Fydt py p0 y mvy mv0 y
I
z
t
t0 Fzdt pz p0z mvz mv0z
冲力（impulsive force） ：
F
t2 Fdt
t1
p2
p1
t2 t1 t2 t1
平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程 中的作用力。
惯性(inertia)： 物体保持其运动状态不变的性质。 惯性参照系的概念 力(force)： 物体间相互作用，是改变速度的原因。
第3页
牛顿第二定律（Newton's second law）： “运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方 向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的”。
动量(momentum)：p＝mv
F d(mv) dp dt dt
理解牛顿第二定律的要点：
（1） 质点 惯性系 （2） 瞬时性 矢量性 （3） m 不变时，F ma
（4）力为合力， F F1 F2 Fn
第4页
牛顿第三定律（Newton's third law）： “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体 之间的相互作用永远相等，并且指向对方。”
式中A、B、为常数，求物体受到的作用力。
解：由牛顿第二定律 F ma m d2r
dt
F
m
d2 dt 2
Asin(t)iˆ
B cos(t)
ˆj
m2 Asin(t)iˆ m2B cos(t) ˆj
m2r
第7页
第二类问题：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动现律。 这类问题情况比较复杂，须据受力情况来定：如果力是恒力，或是 时间、速度的函数，这时，或用“隔离体法”求解，或对动力学方程 分离变量后积分；如果力是坐标x的函数，则需先作变量变换，再 利用分离变量求积分的方法来解决。 例2 质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。
力程：约为10-17m
第6页
三、牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题
第一类问题：已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方程 r=r (t)，求作用于质点的力。
将运动学方程对时间求二阶导数，算出质点的加速度，进而便可求 得作用于质点的力。
例1 一个质量为m的质点在xy平面上运动，运动方程为：
r Asin(t)iˆ B cos(t) ˆj
则： F dp dt
上式表明系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。 显然，外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的总动 量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。
第 15 页
三、动量守恒定律
如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即：
t0
p0
令：I
t
Fdt
t0
，表示力F 在t0到t内的冲量（impulse）
我们可以得到动量定理的积分形式：
I p p0
通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量增量的 方向相同。由力的冲量（I）、质点的初动量（p0）和末动量（p） 三者组成一个矢量三角形。
第 11 页
冲量和动量都是矢量，我们可以将动量定理在直角坐标系中进行分 解，得到的分量式为：
v0
0
L
m k
wenku.baidu.com
v0
第9页
第二节 力的时间积累效应 动量守恒定律
将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的过 程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，并 将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题的 解，这是物理学研究问题的一般方法。
一、质点的动量定理
将牛顿第二定律改写为： Fdt dp
p2 )
m1
F1
第 13 页
很容易将上式推广到N个质点所组成的质点系的情况 ：
N
N
Fi
i 1
i 1
N j i
fij
d dt
N i 1
pi
NN
fij 0 i1 ji
N
i 1
Fi
d dt
N i 1
pi
质点系动量定理的微分形式 ：
N
N
Fidt d pi
i 1
i 1
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N
令： p pi ，为质点系内所有质点动量的和 i 1 N
式中乘积Fdt表示力F在dt时间内的积累，称为在dt时间内质点所受 合外力F的冲量。上式表明，质点所受合外力在dt时间内的冲量等 于同一时间内质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式 。
如果整个过程持续的时间为从t0时刻到t时刻，我们将上述结论对整 个过程进行叠加得到：
第 10 页
t
p
Fdt dp
F12 F21
（1）作用力和反作用力同时存在。 （2）分别作用于两个物体上，不能抵消。 （3）属于同一种性质的力。
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二、基本力简介
电磁力： 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电磁力。长程力。 引力： 强度仅为电磁力的1/1037 强力： 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百倍。力程约为
10-15m 弱力： 存在于基本粒子之间，强度只是强力的一百万亿分之一。
第 12 页
F
F
t
t0
t
二、质点系的动量定理
由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 我们将牛顿第二
定律应用在由两个质点组成的质点系上：
F1
f12
dp1 dt
F2
f21
dp2 dt
由于： f12 f21 0 ，容易得：
F2
m2
f12
f21
F1
F2
dp1 dt
dp2 dt
d dt
( p1
N
F Fi 0 i 1
则：
N
p pi 常 矢 量 i 1
第二章 质点动力学 Chap.2 Kinetics
本章要点
动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒
第2页
第一节 牛顿运动定律
一、牛顿运动三定律
牛顿第一定律（Newton's first law）： 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有力加 于其上迫使它改变这种状态。
设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发 动机停机后所能前进的最大距离。
第8页
解：
m dv kv （式中负号表示力和速度的方向相反 ） dt
作如下变换 ： m dv ds mv dv kv ds dt ds
分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为L：
即可解得：
0
L
mdv kds
I
x
t
t0 Fxdt px p0x mvx mv0x
I
y
t
t0 Fydt py p0 y mvy mv0 y
I
z
t
t0 Fzdt pz p0z mvz mv0z
冲力（impulsive force） ：
F
t2 Fdt
t1
p2
p1
t2 t1 t2 t1
平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程 中的作用力。
惯性(inertia)： 物体保持其运动状态不变的性质。 惯性参照系的概念 力(force)： 物体间相互作用，是改变速度的原因。
第3页
牛顿第二定律（Newton's second law）： “运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方 向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的”。
动量(momentum)：p＝mv
F d(mv) dp dt dt
理解牛顿第二定律的要点：
（1） 质点 惯性系 （2） 瞬时性 矢量性 （3） m 不变时，F ma
（4）力为合力， F F1 F2 Fn
第4页
牛顿第三定律（Newton's third law）： “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体 之间的相互作用永远相等，并且指向对方。”
式中A、B、为常数，求物体受到的作用力。
解：由牛顿第二定律 F ma m d2r
dt
F
m
d2 dt 2
Asin(t)iˆ
B cos(t)
ˆj
m2 Asin(t)iˆ m2B cos(t) ˆj
m2r
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第二类问题：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动现律。 这类问题情况比较复杂，须据受力情况来定：如果力是恒力，或是 时间、速度的函数，这时，或用“隔离体法”求解，或对动力学方程 分离变量后积分；如果力是坐标x的函数，则需先作变量变换，再 利用分离变量求积分的方法来解决。 例2 质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。
力程：约为10-17m
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三、牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题
第一类问题：已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方程 r=r (t)，求作用于质点的力。
将运动学方程对时间求二阶导数，算出质点的加速度，进而便可求 得作用于质点的力。
例1 一个质量为m的质点在xy平面上运动，运动方程为：
r Asin(t)iˆ B cos(t) ˆj