流体力学第九章 相似理论[精]
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相似理论
(9-12)
12
9.2.3 流动相似的充要条件
边界条件的无量纲表达式有 固壁条件：
~ vi 0
它们的有量纲式分别是vi=0(粘 附条件)； Vi＝Vcosαi(αi是V的方向余弦角)；
~ 来流条件： v0i cos i
自由面运动学条件：
~ ~ ~ ~ v z Sr ~ v x ~ t x
7
9.1.2 特征量和无量纲量
物理量与其特征量之比为无量纲量，常用上 ~ ~ ~ =v /V, p=p/p , t=t/T等分别 标“~”表示。例如，vx x 0 是无量纲速度分量，无量纲压力，无量纲时间等。 在相似流场中，对应点的同名无量纲量相等。这 一重要特性可以直接从相似流场的定义得到证明。 以速度为例，根据流场相似的定义(9-1)式和(92)式，在任意两组对应点上，它们的速度比尺一 样，因而有
14
9.2.4 相似参数的物理意义
流动相似的充要条件要通过无量纲参数Sr, Fr, Eu, Re是否相等来加以判定，所以常常将这些
参数称为相似参数。这些参数的物理意义可以
从 (9.2.5) 式 到 (9.2.6) 式 的 过 程 ， 以 及 各 参 数 在 (9.2.6)式中的位置看出来。下面对它们的物理意 义作简要说明。
9
9-3 流动相似的充要条件
常粘性不可压缩流动有量纲变量的纳维—斯托克斯方 程组为 i=1,2,3——行标记 v j (a) 0 j=1,2,3——列标记 x j
v i v v i f 1 p ( v i ) j i t x j x i x j x j
21
9.2.5 相似理论的应用
2. 局部相似 水面船舶的阻力包括粘性阻力和兴波阻力两部分，相应的 船模试验应该满足两个相似条件：Re和Fr分别相等。在 水池中用缩尺模型想一次完成这个试验是不可能的。原因 很简单，若用下标“m”表示模型，用“p”表示实船，根 据相似律，应有
流体力学第九章 量纲分析和相似原理PPT
a=3/2 b=0 c=1/2
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
qkH 3/2 0g1/2kgH 3/2
即
q kg H 3 2 k 12 g H 3 2 m 02 g H 3 2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m0，由实验
来确定。
题目
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功
率N 与单位体积水的重量 g 、流量Q、扬程
D Q a1 b1 1
c1
2
D2
D Q a2 b2 c2 1
3
p
D Q a3 b3 c3 1
其中ai、bi、ci 为待定指数。
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数 对于π1，其量纲式为：
L 1 T 1 M L a 1(L 3 T 1 )b 1(L 3 M )c 1
2
l2
体积比尺：V
Vp Vm
l3p lm3
lp lm
3
3l
A : 面积比尺 V : 体积比尺
运动相似
定义：指两个流动(原型和模型)相应点速度方向相 同，大小成比例。
up1 um1
up2 um2
up um
u
u：速度比尺
v
vp vm
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
z1pg 12 v1 g 2 z2pg 22 v2 g 2 hw
9.2 量纲分析法
瑞利法(物理量不超过4个)
试用瑞利法分析溢
题目
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右图 所示，已知1-1断面和2-2断 面之间的压强差△p随流量Q ，流体密度ρ，液体粘度η 以及大小直径D1，D2变化。 试用π定律求出的压强降落 △p表示的流量公式。
流体力学第九章 相似理论[精]
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Re大：表示粘性作用小， Re小：表示粘性作用大。 对于理想流体ν →0，此时Re→∞
（２）佛劳德数 (Froude number) Fr v
gl
惯性力 质量力
v2 l
/g
v2 gl
Fr 2
反应重力（质量力）对流体的作用,Fr相等 表示现象的重力作用相似。
与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰 船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。
实际问题中，先保证佛劳德数相似，进行试验， 然后进行修正。
§９-４ 因次分析法与Π 定理 几个基本概念： • 因次（或量纲）：物理量测量单位的种类 • 基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量
纲独立的量。 在不可压流体力学中，通常有:
长度[L], 质量[M], 时间[T], 其余可由这三个基本量纲导出(见p179.)
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
CP
1 2
Pp
pvp2
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对CF Pm
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
流体力学龙天渝相似性原理和因次分析
Pp
式 中 L、 V 、 P均 为 定 性 量
❖ 将方程组无量纲化，也即将〔１０－１６〕式代入〔１０
－１５〕式，得并整理方程组得：
u x
x
u y y
u z z
0
u x
u x x
u y
u x y
u z
u x z
P V
2
p x
VL
2 u x x 2
2 u x y 2
❖
着黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力，那么模 F型n流动Fp中n 也F同Gn样的F作In 用 着FEn黏性力、压力、重力、惯
F性m力、Fp弹n 性F力Gm。相F应Im 的FEm
❖重 式同 成力 中名比、 ，力 例惯 成 ，、性比 即P力 、例、 G，、弹是I性 、 指力 F原分 。 型别流表动示和黏模性型力流、动压的力同、名力
Eu
p x
1 Re
2 u x x 2
2 u x y 2
Hale Waihona Puke 2 u x z 2u x
u z x
u y
u z y
u z
u z z
1 Fr
Eu
p z
1 Re
2 u z x 2
2 u z y 2
2 u z z 2
❖ 式中Eu,Re,Fr即分别为上述的准那么数欧拉数，雷诺数和弗 汝得数。自然，如果我们考虑的是可压缩流体，还将出现马 赫数Ｍａ。 相似理论的第一定理表明：两个相似的现象，它们的同名相 似准数必定相等，即相同名称的相似准数相等。 相似理论的第二定理阐明：由定性物理量组成的相似准数， 相互间存在着函数关系。在考虑不可压缩流体流动的动力相 似时，决定流动平衡的四种力，黏滞力、压力、重力和惯性 力并非都是独立的，根据力的平行四边行法则，其中必有一 力是被动的其中必有一力是被动的，只要三个力分别相似， 则第四个力必然相似。 相似理论的第三定理告诉我们：两个现象相似的充分必要条 件除了由基本规律导得的相似准数相等外，还包括单值性条 件相似。所谓单值性条件是指把某一现象从无数个同类现象 中区分开来的条件。单值性条件相似包括包括几何相似，边 界条件和初始条件相似，以及由单值性条件所导出的相似准 数相等。
009量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。
工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。
实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。
借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。
而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。
因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。
一、量纲分析一、量纲分析基本概念物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim 表示。
一个物理量可以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。
例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L 。
由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。
基本量纲是相互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M 、 L 、T ）作为基本量纲。
在一般的力学问题中，任意一个物理量B 的量纲都可以用M ， L ，T 这三个基本量纲的指数乘积来表示dim B =M αL βT γ在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ，称为无量纲量，用M 0L 0T 0表示。
无量纲量就是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。
例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim （υvl）=000121T L M T L L LT =-- 为一个无量纲的量。
《流体力学》课件 4.10 相似原理
p x
2
u
2 l
2u 2
u
x
y
w
z
2
p l
1
p y
2
u
2 l
2
2
ut
w t 2
2 u
l
u
w x
w y
w
w z
2
p l
1
p z
2
u
2 l
2w 2
对比流(3)和(2)，则必有：
u
2 u
p
u
t
l
l
2 l
l ut
p
2 u
ul
1
Sr
l ut
，Eu
p
u 2
，Re
ul
Sr1 Sr2，Eu1 Eu2，Re1 Re2
3. 动力相似—牛顿相似准则
实物流动与模型流动受同种外力作用，而且对应点上 的对应力成比例。
F
F F
ma ma
Va V a
3 L
L
2 t
2 2
L
F
F F
2 2
L
L2 2 L2 2
Nu
F
L2 2
F
L2 2
Nu
二、相似准则惯性力重力2Lg
Fr
1.作用在流体上的力
惯性力
压力
2
p
1 Eu
惯性力=－质量×加速度
2. 粘性不可压缩流动动力学相似的充要条件
u x
y
w z
2
0
u t
u
u x
u y
w
u z
2
1
p x
2u 2
⑵
流体力学 - 相似理论
μ , 密度 ρ 有关，试用Π定理导出推力的关系式。
解：将该流动问题所涉及的物理量共有 n=6, 由下列关系式描述：
T = f ( D,U , ρ, n, μ )
取基本量 ρ,U, D，可组成余下的n-p=3 个无量纲数Π1 ，Π2和Π3的组合。
Π1 = T ρ aU b Dc = MLT −2 (ML−3 )a (LT −1 )b (L)c = M L T 1+a 1−3a+b+c −2−b
⎧1 + a = 0 ⎨⎪−1 − 3a + b + c = 0 ⎪⎩−1 − b = 0
a = −1, b = −2, c = −2
a = −1, b = −1, c = −1
所以两个无量纲数分别为：
Π1
=
R ρU 2 D2
，
Π2
=
μ ρUD
球体在流体中运动的五个物理量通常由函数式： R = f (U , D, ρ , μ ) 来描述，但是 R 与
当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺 数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应 的雷诺数也不同。
二、重点、难点 重点：
1. 相似的概念。 2. 量纲分析法，Π定理，以及应用。 3. 相似准则数的物理意义。 4. 相似准则数的应用，自动模拟的概念。
第九章 相似理论
一、内容小结
研究流体力学问题主要有两条不同的途径，一是利用数学分析方法寻求流体运动规 律，建立基本方程并设法求解这些方程；二是通过实验研究的方法寻求流体运动各物理量之 间的规律性关系。而实验研究由可分为直接实验和模型试验研究，直接实验得出的结果只能 适用于特定的实验条件，或者只能推广到完全相同于实验条件的问题中。显然，直接实验方 法研究流体力学问题具有非常大的局限性。而基于相似原理的模型试验研究方法已经被证实 在相似条件下具有推广意义。本章内容就是介绍指导模型试验、实验数据的分析整理的有关 内容。 1. 流动的力学相似
流体力学相似原理的应用
流体力学相似原理的应用1.背景介绍流体力学相似原理是流体力学领域中的基本概念，用于描述不同条件下的流体行为之间的相似性。
相似原理指出，当两个流体系统在某些关键参数上具有相同比例尺时，它们的流体行为将具有相似性。
这个原理为研究和设计各种工程问题提供了便捷的思路和方法。
2.原理说明流体力学相似原理建立在物理和数学原理的基础上。
当两个流体系统在以下几个参数上具有相同比例尺时，它们的流体行为将具有相似性：•几何形状和尺寸•流体密度•流体黏度•流体速度根据相似原理，可以通过在实验室环境中对小比例模型进行测试，获得与实际情况相似的流体行为数据，从而进行预测和分析。
3.应用领域流体力学相似原理的应用非常广泛，以下是几个常见的应用领域：3.1.飞行器设计在飞行器设计中，流体力学相似原理被广泛应用于飞行器的气动外形设计。
通过在实验室中制作与实际飞行器大小比例相同的模型，可以模拟飞行器在不同速度下的气动性能。
借助相似原理，设计师可以在不实际建造全尺寸原型的情况下，预测和分析飞行器的飞行性能。
3.2.水力工程在水力工程中，流体力学相似原理被用于模拟和研究各种水工结构的水流行为。
通过在实验室中建立与实际大小比例相同的模型，可以研究水流对于不同结构的影响，优化水力工程设计。
例如，通过在模型中测试风力发电机组，可以预测在实际风场下的性能表现。
3.3.汽车工程流体力学相似原理在汽车工程中的应用主要集中在汽车外形设计和空气动力学性能研究上。
通过制作与实际汽车大小比例相同的模型，可以在实验室中测试不同造型和设计对汽车空气阻力的影响。
基于相似原理的测试结果，设计师可以优化汽车的外形，降低空气阻力，提高燃油效率。
3.4.建筑工程在建筑工程中，流体力学相似原理被用于研究建筑物的气候适应性和空气流动性能。
通过在实验室中制作与实际建筑物大小比例相同的模型，可以模拟不同气候条件下的风场和热场。
这些实验可以为建筑物的设计和改进提供有效的参考和指导。
流体力学三大相似准则
流体力学三大相似准则流体力学是研究流体运动和应力分布的科学。
在流体力学中，有三个重要的相似准则被广泛应用，它们是相似性原理、雷诺数相似和马赫数相似。
本文将详细介绍这三个相似准则的概念和应用。
相似性原理是流体力学中最基本的准则之一。
它指出，当两个流体力学问题的几何形状和流体性质相似时，在相似几何条件和相似边界条件下，两个问题的流体运动和应力分布将是相似的。
通过相似性原理，我们可以将具有复杂几何形状的流体力学问题简化为具有简单几何形状的模型，从而进行更加便捷的分析和实验研究。
雷诺数相似是描述流体动力学行为的重要准则之一。
它是根据惯性力和粘性力之比来判断流体流动的性质。
当两个流体力学问题的雷诺数相等时，它们的流动特性将是相似的。
雷诺数越大，惯性力相对于粘性力的作用越显著，流体流动趋向于湍流；雷诺数越小，则趋向于层流流动。
马赫数相似是描述压缩性流体流动的准则之一。
马赫数是表示流体流动中的声速与流体自由流速之比。
当两个流体力学问题的马赫数相等时，它们的流动特性将是相似的。
马赫数相似主要应用于研究超音速和高超声速领域的流体力学问题。
相似准则的应用可以大大简化流体力学问题的研究和实验分析。
通过建立相似模型，我们可以在实验室中使用较小的尺度和流体样品进行试验，从而节省成本和时间。
同时，相似准则也为工程实践提供了重要的指导。
通过在设计过程中考虑相似性原理、雷诺数相似和马赫数相似，工程师可以根据实际需求预测和优化流体力学系统的性能。
在航空航天领域，相似准则的应用十分广泛。
航空器的设计和性能评估通常需要进行风洞试验。
通过将飞行器的几何尺寸缩小到风洞模型的尺度，同时保持相似的雷诺数和马赫数，可以在实验室中模拟真实飞行的各种流动情况。
相似性原理则使得我们可以通过对风洞模型的试验结果进行改变尺度的换算，从而预测实际飞行器的流体力学性能。
此外，相似准则在管道输送、河流和海洋工程、风力发电等领域也有广泛应用。
工程实践中的流体力学问题往往涉及复杂的流动现象和多种流体特性，使用相似准则可以大大简化问题，并提供有力的理论支持和指导。
流体力学相似原理与PPT课件
Fm
ml
2 m
vm2
上式可写成
Fp Fm
p
l
2 p
v
2 p
m
l
2 m
vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
Ne
F
l 2v 2
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个 流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。
在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数，
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§5－2 相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
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§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就
能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。
牛顿内摩擦定律
粘性力 粘性力比尺
T A du A du
（1）求模型的最小高度hm
对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为
l v 1
由于 1 ， 故
l
1
v
vm vp
hm
hp
l
hp
vp vm
1.5 1081000 1(m) 45 3600
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（2）求原型汽车所受的阻力 由在推导牛顿数得到的力的比尺为
f l22v
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一、几何相似
几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且 对应部分的线尺寸均成一定比例。
对应角相等 θp = θm 以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。 线性尺寸成比例
l
lp lm
dp dm
第九章量纲分析和相似原理
第6页 页
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第一节
量纲分析和Π定理
例题8.1 如图8.1所示，一单摆质量为m，摆长为l，初始摆角为ϕ0，初始角 例题 速度为零，欲求该单摆周期TP。请分析哪些是被定特征量？哪些是主定特 征量？并选择量纲无关量按式（8.2）将量纲相关量组成无量纲量Π。 解: 量纲分析时，我们规定：被定特征量写在左边，主定特征量写在右边， 中间用符号‖隔开，量纲无关量下面加·符号。 Tp m, l , ϕ 0 , g
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第一节
量纲分析和Π定理
凡是一个物理量的量纲不能用其它物理量的量纲组合来表示的，则这个 物理量的量纲是独立的，或者说量纲无关的。对某一物理现象进行量纲分 析时，一开始总要选择一组（尽可能多的）彼此量纲无关的有量纲量，作 为量纲独立量，其余的有量纲量则是量纲相关量。 确定哪些物理量是量纲独立量，哪些物理量是量纲相关量时要注意： （1）在一般流体力学问题中，独立量纲量的数目≤4。对于流体运动学问 1 ≤4 题，独立量纲量只有两个，对于不可压缩流体动力学问题，不讨论热交换 及温度场时，独立量纲量为3个，其它一般的流体动力学问题（不包括电磁 流体力学）独立量纲量为4个。 （2）独立量纲量不一定选具有基本单位的物理量。例如，若取t和l作为 量纲独立量，则w是量纲不独立量；反之，若取l和w作为量纲独立量，则t 是量纲不独立量。显然，t和l是具有基本单位的物理量，而w是具有导出单 位的物理量。
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第一节
量纲分析和Π定理
一、物理量的单位和量纲 （一）单位及单位系统 度量物理量要有单位，如时间t的单位有s，min，hr…等，长度l的单位 有mm，cm，m…等。单位分为基本单位和导出单位。在一般流体力学问 题中时间、长度、质量和温度的单位为基本单位，它们构成一个基本单 位系统，例如在国际单位制中选用的kg，m，s，K为一种基本单位系统。 其余物理量的单位均是导出单位。 （二）量纲 用基本单位系统来表示物理量单位的式子称为该物理量的量纲，用[ ]或 可用该物理量的大写字母表示。如时间的量纲为[t]或T，长度的量纲为[l] 或L，质量的量纲为[m]或M，温度的量纲为[T]或Θ，速度的量纲为[l][t]-1 或LT-1，力的量纲为[m][l][t]-2或MLT-2。取那些不存在任何联系的性质不同 的量纲作为基本量纲，而把那些可以由基本量纲导出的量纲作为导出量纲。 显然，基本量纲的选取带有任意性。
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量纲分析和Π定理
例题8.1 如图8.1所示，一单摆质量为m，摆长为l，初始摆角为ϕ0，初始角 例题 速度为零，欲求该单摆周期TP。请分析哪些是被定特征量？哪些是主定特 征量？并选择量纲无关量按式（8.2）将量纲相关量组成无量纲量Π。 解: 量纲分析时，我们规定：被定特征量写在左边，主定特征量写在右边， 中间用符号‖隔开，量纲无关量下面加·符号。 Tp m, l , ϕ 0 , g
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第一节
量纲分析和Π定理
凡是一个物理量的量纲不能用其它物理量的量纲组合来表示的，则这个 物理量的量纲是独立的，或者说量纲无关的。对某一物理现象进行量纲分 析时，一开始总要选择一组（尽可能多的）彼此量纲无关的有量纲量，作 为量纲独立量，其余的有量纲量则是量纲相关量。 确定哪些物理量是量纲独立量，哪些物理量是量纲相关量时要注意： （1）在一般流体力学问题中，独立量纲量的数目≤4。对于流体运动学问 1 ≤4 题，独立量纲量只有两个，对于不可压缩流体动力学问题，不讨论热交换 及温度场时，独立量纲量为3个，其它一般的流体动力学问题（不包括电磁 流体力学）独立量纲量为4个。 （2）独立量纲量不一定选具有基本单位的物理量。例如，若取t和l作为 量纲独立量，则w是量纲不独立量；反之，若取l和w作为量纲独立量，则t 是量纲不独立量。显然，t和l是具有基本单位的物理量，而w是具有导出单 位的物理量。
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第一节
量纲分析和Π定理
一、物理量的单位和量纲 （一）单位及单位系统 度量物理量要有单位，如时间t的单位有s，min，hr…等，长度l的单位 有mm，cm，m…等。单位分为基本单位和导出单位。在一般流体力学问 题中时间、长度、质量和温度的单位为基本单位，它们构成一个基本单 位系统，例如在国际单位制中选用的kg，m，s，K为一种基本单位系统。 其余物理量的单位均是导出单位。 （二）量纲 用基本单位系统来表示物理量单位的式子称为该物理量的量纲，用[ ]或 可用该物理量的大写字母表示。如时间的量纲为[t]或T，长度的量纲为[l] 或L，质量的量纲为[m]或M，温度的量纲为[T]或Θ，速度的量纲为[l][t]-1 或LT-1，力的量纲为[m][l][t]-2或MLT-2。取那些不存在任何联系的性质不同 的量纲作为基本量纲，而把那些可以由基本量纲导出的量纲作为导出量纲。 显然，基本量纲的选取带有任意性。
流动相似、相似原理、相似准则及量纲分析全析
02 基本相似准则-相似准则的导出
将比例系数代入相似模型方程
非定常运动特征惯性力 定常运动特征惯性力
特征体积力 特征压力
令比例系数等于1
特征粘性力
知自行强合不一息、 厚经 德世 载致 物用
①
斯特劳哈尔数
②
弗劳徳数
③
欧拉数
④
雷诺数
T s i n g hCue an t Ur anl i vSeorustiht yU on if v Ce rhsi int ay
在两个几何相似的流动中，如果各对应点的温度之比为常值，则称为热力学 相似。如果各对应点的密度之比为常值，则称为质量相似。 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相 似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现；
在低速风洞试验中，主要是实现模型试验和实物运行（或飞行）的几何相似、 运动相似和动力相似。
知自行强合不一息、 厚经 德世 载致 物用
Central South University
01 流动相似基本理论——几何相似
几何相似是流动相似最基本的条件，简单讲一个物体经过各向等比例变形后能够与另一个物体完全 重合，则说明这两个物体几何相似。变形后能够相互重合的点称为“对应点”，同一物体上对应点 之间的连线称为“对应线”。两个几何相似物体的对应线长度成比例。 几何相似：指的是试验研究对象的缩比模型与所研究对象的实物(原型)之间的全部线性长度成同一 比例。比如管道，线性长度包括管道内径d、管道长度L等，即几何相似应满足:
欧拉数(Euler number)
物理意义：压力与惯性力之比
它是表征压力对流动影响的相似准则，流体力学中的压力系数Cp即是欧拉数。如果模型试验流场与实物相 似，那么两者表面各对应点的压力系数相等。
相似理论与量纲分析
• 在无粘性圆柱绕流中
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
流体力学复习思考题
EXIT
8. 流体微团由 大量流体质点组成的微小质团 (D) 是质量、体积均可忽 略的微元
9. 流体微团运动的基本形式包括 (D) 。
(A) 平 移 和 旋 转 (B) 平 移 和 变 形 (D) 平移、旋转和变形 10. 流体作有旋运动的特征是 (C) 。 (A) 流体质点运动轨迹是圆形 (B) 旋转角速度矢量的三个 分量都不等于零 (C) 速度场的旋度不等于零 (C) 旋 转 和 变 形
EXIT
11. 速度势只存在于 (C) 。 (A) 不可压缩流体流动中 (B) 可压缩流体流动中 (C) 无旋 流动中 (D) 有旋流动中 12. 流动无旋的等价命题是： (B) 。
(A) 流动是均匀流 (B) 速度场有势 (C) 流线为互相平行的 直线 (D) 流体微团没有变形
13. 什么是流线与迹线，二者有什么区别？在什么条件下流线 与迹线重合，为什么？
EXIT
第1章
第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章
第9章
绪 论 流体静力学 流体运动学 流体动力学基础 层流、紊流及其能量损失 孔口、管嘴出流与有压管流 明渠均匀流 渗 流 量纲分析与相似理论
EXIT
第一章 绪论 复习思考题
1. 在常温下水的密度为 (D) kg/m3 (A) 1 (B) 10 (C) 100 (D) 1000 2. 在标准大气压下200C时空气的密度为 (A) kg/m3 (A) 1.2 (B) 12 (C) 120 (D) 1200 3. 温度升高时，水的粘性 (A) 。 (A) 变小 (B) 变大 (C) 不变 (D) 不能确定
EXIT
17. 理想流体假设认为流体 (C) 。 (A) 不可压缩 (B) 粘性系数是常数 (C) 无粘性 (D) 符合 牛顿内摩擦定律 18. 不可压缩流体的特征是 (B) 。
8. 流体微团由 大量流体质点组成的微小质团 (D) 是质量、体积均可忽 略的微元
9. 流体微团运动的基本形式包括 (D) 。
(A) 平 移 和 旋 转 (B) 平 移 和 变 形 (D) 平移、旋转和变形 10. 流体作有旋运动的特征是 (C) 。 (A) 流体质点运动轨迹是圆形 (B) 旋转角速度矢量的三个 分量都不等于零 (C) 速度场的旋度不等于零 (C) 旋 转 和 变 形
EXIT
11. 速度势只存在于 (C) 。 (A) 不可压缩流体流动中 (B) 可压缩流体流动中 (C) 无旋 流动中 (D) 有旋流动中 12. 流动无旋的等价命题是： (B) 。
(A) 流动是均匀流 (B) 速度场有势 (C) 流线为互相平行的 直线 (D) 流体微团没有变形
13. 什么是流线与迹线，二者有什么区别？在什么条件下流线 与迹线重合，为什么？
EXIT
第1章
第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章
第9章
绪 论 流体静力学 流体运动学 流体动力学基础 层流、紊流及其能量损失 孔口、管嘴出流与有压管流 明渠均匀流 渗 流 量纲分析与相似理论
EXIT
第一章 绪论 复习思考题
1. 在常温下水的密度为 (D) kg/m3 (A) 1 (B) 10 (C) 100 (D) 1000 2. 在标准大气压下200C时空气的密度为 (A) kg/m3 (A) 1.2 (B) 12 (C) 120 (D) 1200 3. 温度升高时，水的粘性 (A) 。 (A) 变小 (B) 变大 (C) 不变 (D) 不能确定
EXIT
17. 理想流体假设认为流体 (C) 。 (A) 不可压缩 (B) 粘性系数是常数 (C) 无粘性 (D) 符合 牛顿内摩擦定律 18. 不可压缩流体的特征是 (B) 。
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实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来 描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的 困难，往往也难于求解。因此，进行实验研究
本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再 现，目的是揭示流动的物理本质。
问题的提出：
进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）
CP
1 2
Pp
pvp2
Sp
CF Pm
1 2
C
mCv2vm2Cs
Sm
CF CpCv2Cs
1 2
Pm
mvm2Sm
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
三.相似准则（判据）
相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。
Gm gm lim vp
CF Ca Cl2
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
vy
cv
v, y
vz cvvz,
X cg X , Y cgY , Z cgZ , (c)
t ctt, c , p cp p,
c
将（ｃ）式代入（ａ）式可得:
cv ct
vx t
cv2 cl
(vx
vx x
vy
vx y
vz
vx) z
(d)
ห้องสมุดไป่ตู้
Cg
X
Cp C Cl
1
p x
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
2vx
3
(div x
v)
(a)
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
3、动力相似
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
Fp
Fm
Gp
Gm
Fp Fm
Gp Gm
CF
对于各种同名力，应成同一比例
Fpi Fmi
Fpg Fmg
Fpp Fmp
CF
pi mi pg mg pp mp
在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。
３．相似性第三定理（Π定理）
结论
1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
第九章 相似理论
课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?
本章主要内容： 1.介绍相似概念 2.相似三定理 3.方程分析法 4.因次分析法及定理
解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ： 建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、 边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程）
通过实验寻求流动过程的规律性
X
1
p x
2vx
3
x
(div
v)
(b)
一撇:原形系统
两撇：模型系统
两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：
x cl x, y cl y, z cl z,
vx
cv
v, x
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。
Lp1
A
Lm1
B
Lp2
a
b
Lm 2
原型流动Prototype
模型流动Model
对用边成比例:
Lp1 Lm1
Lp2 Lm2
CL
对应角相等： p m p m
运动相似的系统，对应点的加速度也相似。
lim vp
v p
Ca
ap am
tp 0 t p lim vm
vm lim tp
Cv Ct
Cl Ct2
t tm 0
m
t tp 0
tm 0
m
Ｃｖ，Ｃｔ均为常数，则Ｃａ也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。
相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似
在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。
§９-２ 相似理论 1.
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
2.试验数据如何整理？
3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。
§９－１
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
§９-３ 方程分析法
两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分 方程式，而且边界条件和初始条件相似。
对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统， 均满足N——S方程（以ｘ方向为例）
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。
所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。
由此可以推导出，两系统之间存在密度相似 和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。
密度相似
lim mp
mp
Gp g p
C
p m
v tp 0
p
lim mm
mm lim vp
本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再 现，目的是揭示流动的物理本质。
问题的提出：
进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）
CP
1 2
Pp
pvp2
Sp
CF Pm
1 2
C
mCv2vm2Cs
Sm
CF CpCv2Cs
1 2
Pm
mvm2Sm
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
三.相似准则（判据）
相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。
Gm gm lim vp
CF Ca Cl2
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
vy
cv
v, y
vz cvvz,
X cg X , Y cgY , Z cgZ , (c)
t ctt, c , p cp p,
c
将（ｃ）式代入（ａ）式可得:
cv ct
vx t
cv2 cl
(vx
vx x
vy
vx y
vz
vx) z
(d)
ห้องสมุดไป่ตู้
Cg
X
Cp C Cl
1
p x
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
2vx
3
(div x
v)
(a)
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
3、动力相似
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
Fp
Fm
Gp
Gm
Fp Fm
Gp Gm
CF
对于各种同名力，应成同一比例
Fpi Fmi
Fpg Fmg
Fpp Fmp
CF
pi mi pg mg pp mp
在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。
３．相似性第三定理（Π定理）
结论
1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
第九章 相似理论
课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?
本章主要内容： 1.介绍相似概念 2.相似三定理 3.方程分析法 4.因次分析法及定理
解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ： 建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、 边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程）
通过实验寻求流动过程的规律性
X
1
p x
2vx
3
x
(div
v)
(b)
一撇:原形系统
两撇：模型系统
两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：
x cl x, y cl y, z cl z,
vx
cv
v, x
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。
Lp1
A
Lm1
B
Lp2
a
b
Lm 2
原型流动Prototype
模型流动Model
对用边成比例:
Lp1 Lm1
Lp2 Lm2
CL
对应角相等： p m p m
运动相似的系统，对应点的加速度也相似。
lim vp
v p
Ca
ap am
tp 0 t p lim vm
vm lim tp
Cv Ct
Cl Ct2
t tm 0
m
t tp 0
tm 0
m
Ｃｖ，Ｃｔ均为常数，则Ｃａ也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。
相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似
在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。
§９-２ 相似理论 1.
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
2.试验数据如何整理？
3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。
§９－１
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
§９-３ 方程分析法
两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分 方程式，而且边界条件和初始条件相似。
对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统， 均满足N——S方程（以ｘ方向为例）
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。
所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。
由此可以推导出，两系统之间存在密度相似 和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。
密度相似
lim mp
mp
Gp g p
C
p m
v tp 0
p
lim mm
mm lim vp