流体力学第九章 相似理论[精]
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实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来 描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的 困难，往往也难于求解。因此，进行实验研究
本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再 现，目的是揭示流动的物理本质。
问题的提出：
进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）
3、动力相似
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
Fp
Fm
Gp
Gm
Fp Fm
Gp Gm
CF
对于各种同名力，应成同一比例
Fpi Fmi
Fpg Fmg
Fpp Fmp
CF
pi mi pg mg pp mp
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。
Lp1
A
Lm1
B
Lp2
a
b
Lm 2
原型流动Prototype
模型流动Model
对用边成比例:
Lp1 Lm1
Lp2 Lm2
CL
对应角相等： p m p m
３．相似性第三定理（Π定理）
结论
1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似
在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。
§９-２ 相似理论 1.
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
X
1
p x
2vx
3
x
(div
v)
(b)
一撇:原形系统
两撇：模型系统
两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：
x cl x, y cl y, z cl z,
vx
cv
v, x
CP
1 2
Pp
pvp2
Sp
CF Pm
1 2
C
mCv2vm2Cs
Sm
CF CpCv2Cs
1 2
Pm
mvm2Sm
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
三.相似准则（判据）
相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。
cv2 cl
(vx
vx x
vy
vx y
vz
vx) z
(d)
Cg
X
Cp C Cl
1
p x
vy
cv
v, y
vz cvvz,
X cg X , Y cgY , Z cgZ , (c)
t ctt, c , p cp p,
c
将（ｃ）式代入（ａ）式可得:
cv ct
vx t
2.试验数据如何整理？
3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。
§９－１
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
Gm gm lim vp
CF Ca Cl2
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
运动相似的系统，对应点的加速度也相似。
lim vp
v p
Ca
ap am
tp 0 t p lim vm
vm lim tp
Cv Ct
Cl Ct2
t tm 0
m
t tp 0
tm 0
m
Ｃｖ，Ｃｔ均为常数，则Ｃａ也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
2vx
3
(div x
v)
(a)
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
第九章 相似理论
课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?
本章主要内容： 1.介绍相似概念 2.相似三定理 3.方程分析法 4.因次分析法及定理
解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ： 建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、 边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程）
通过实验寻求流动过程的规律性
（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
§９-３ 方程分析法
两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分 方程式，而且边界条件和初始条件相似。
对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统， 均满足N——S方程（以ｘ方向为例）
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。
所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。
由此可以推导出，两系统之间存在密度相似 和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。
密度相似
lim mp
mp
Gp g p
C
p m
v tp 0
p
lim mm
mm lim vp
本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论
模型试验是对真实流动现象在实验室内的再 现，目的是揭示流动的物理本质。
问题的提出：
进行实验研究，需要解决什么问题？
1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）
3、动力相似
在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例
Fp
Fm
Gp
Gm
Fp Fm
Gp Gm
CF
对于各种同名力，应成同一比例
Fpi Fmi
Fpg Fmg
Fpp Fmp
CF
pi mi pg mg pp mp
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应 点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边 之间的夹角应相等。
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对应边成比例，对应角相等。
Lp1
A
Lm1
B
Lp2
a
b
Lm 2
原型流动Prototype
模型流动Model
对用边成比例:
Lp1 Lm1
Lp2 Lm2
CL
对应角相等： p m p m
３．相似性第三定理（Π定理）
结论
1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。
2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以应用到原形流动中去。
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似
在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实 物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这 些关系就是由相似准则推导出来的。
§９-２ 相似理论 1.
彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似 准则。
2. 相似性第二定理（逆定理）
若流动现象的相似准则在数值上相等，则这 些现象必定相似。
X
1
p x
2vx
3
x
(div
v)
(b)
一撇:原形系统
两撇：模型系统
两系统流动相似，所有同类物理量成比例， 对应的相似常数表示如下：
x cl x, y cl y, z cl z,
vx
cv
v, x
CP
1 2
Pp
pvp2
Sp
CF Pm
1 2
C
mCv2vm2Cs
Sm
CF CpCv2Cs
1 2
Pm
mvm2Sm
两流动现象中，若几何相似，运动相似，动力 相似，则两流动现象相似。
例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动 相似，动力相似，则两流动现象相似。
三.相似准则（判据）
相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。
cv2 cl
(vx
vx x
vy
vx y
vz
vx) z
(d)
Cg
X
Cp C Cl
1
p x
vy
cv
v, y
vz cvvz,
X cg X , Y cgY , Z cgZ , (c)
t ctt, c , p cp p,
c
将（ｃ）式代入（ａ）式可得:
cv ct
vx t
2.试验数据如何整理？
3.试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）
解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究 的基本问题。
§９－１
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
Gm gm lim vp
CF Ca Cl2
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
运动相似的系统，对应点的加速度也相似。
lim vp
v p
Ca
ap am
tp 0 t p lim vm
vm lim tp
Cv Ct
Cl Ct2
t tm 0
m
t tp 0
tm 0
m
Ｃｖ，Ｃｔ均为常数，则Ｃａ也为常数，即运动 相似的系统中，加速度也相似。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
2vx
3
(div x
v)
(a)
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
第九章 相似理论
课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验?
本章主要内容： 1.介绍相似概念 2.相似三定理 3.方程分析法 4.因次分析法及定理
解决实际中流体力学问题，通常有两种途径 ： 建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、 边界条件对微分方程求解（例如解N-S方程）
通过实验寻求流动过程的规律性
（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
§９-３ 方程分析法
两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分 方程式，而且边界条件和初始条件相似。
对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统， 均满足N——S方程（以ｘ方向为例）
动力相似包括运动相似，而运动相似又包括 几何相似。
所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物 理量相似。
由此可以推导出，两系统之间存在密度相似 和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。
密度相似
lim mp
mp
Gp g p
C
p m
v tp 0
p
lim mm
mm lim vp