泛函条件极值

§6.3 泛函的条件极值

一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）

求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB

所围成面积最大的曲线？

AB 弧长：dx y L b

a ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b

a dx x y S （2） 边界条件：()()0,0==

b y a y （3）

在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。

二、一般泛函条件极值的E-L 方程

其中[][]()()2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2

0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη

从而构成一元函数

()[]()∫++=+=b

a dx y y x F y J '',,εηεηεηεϕ ()L dx y y x G b

a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函

()()()[]∫+++++=Φb

a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。

泛函()λε,Φ取极值，即需()

0,0=Φ=εελεd d

()

()0'''',''''''''''0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⋅−++⋅−+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a

y b

a y

b a y b a y b a y b a y b a y b a y b

a

y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε

λεε

由变分引理得

0''=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛++−y y y y G dx d G F dx d F λ， λ为常数，限制条件0'≠+y y G dx

d G 。 例题：泛函[]()∫=

b a dx x y y J ，约束条件dx y L b

a ∫+=2'1，且()()0,0==

b y a y ，求泛函

的极值函数。 ()2'1,y G x y F +==Q

代入公式（5）可得

0'1'0012=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⋅+y y dx d λλ 整理得 1'1'2=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜

⎝⎛+y y dx d λ 左右两边对x 积分 c x y y −=+2'

1'

λ，整理得 ()()2

2'c x c x y −−−±

=λ，积分得 ()()()d c x d dx c x c x y b a +−−±=+−−−±=∫2222λλ，即

()()222λ=−+−d y c x ， c 、d 为常数。