统计学：第八章相关与回归分析
统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
《应用统计学》第八章相关和回归分析
《应用统计学》第八章相关和回归分析相关和回归分析是统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系以及预测因变量的值。
本章将介绍相关和回归分析的原理和应用。
相关分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过计算相关系数来衡量变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个连续变量的相关分析，而斯皮尔曼相关系数适用于两个有序变量的相关分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的统计方法。
通过建立回归模型来预测因变量的值。
回归模型可以是线性模型、非线性模型或者多元回归模型。
线性回归模型的表达式为Y=a+bX，其中Y为因变量，X为自变量，a和b为参数。
回归分析有两个主要目的，一是预测因变量的值，二是研究自变量对因变量的影响程度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析、多元线性回归分析和逻辑回归分析等。
相关和回归分析在实际应用中有着广泛的应用。
在社会科学研究中，相关和回归分析可以用来研究变量之间的关系，如收入和教育水平的相关性。
在医学研究中，相关和回归分析可以用来探索疾病与一些特定因素之间的关系，如高血压和体重的相关性。
在商业领域中，相关和回归分析可以用来分析销售量与广告投资的关系，预测未来的销售量。
需要注意的是，相关和回归分析只是描述性分析方法，并不能确定因果关系。
除了变量之间的线性关系，还可能存在其他非线性的关系。
此外，相关和回归分析只能用于连续变量的分析，不能用于分类型变量的分析。
在进行相关和回归分析时，需要注意几个问题。
首先是样本的选择和数据的收集，确保样本具有代表性，并获得准确和可靠的数据。
其次是确保数据满足相关和回归分析的假设前提。
例如，线性回归模型要求因变量与自变量之间呈线性关系，并且误差项满足正态分布和独立性。
最后是正确选择和解释统计指标，如相关系数和回归系数。
总之，相关和回归分析是应用统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系和预测因变量的值。
第8章相关回归分析
※相关关系和函数关系有区别也有联系： 1、实际现象中，函数关系往往通过相关关系表现 出来。 2、在研究相关关系时，常常使用函数关系的形式 来表现，它是相关分析的工具。
（二）相关关系的种类 1、按相关关系涉及的因素多少划分 （1）一元（单）相关：两个因素之间的相关。 （2）多元（复）相关：三个及三个以上因素之间
2、相关系数的计算： （1）基本计算公式（“积差法”公式）
r
2 xy
xy
式中：r 相关系数
自变量x数列的标准差 x
自变量y数列的标准差 y
2 xy
两个变量数列的协方差
由
(x x)2
x
n
y
( y y)2 n
2 xy
(x
x )( y
y)
n
相关系数的基本计算公式可变化为：
r
2xy x y
3、回归分析的种类 （1）按自变量的多少分
①简单（一元）回归：自变量只有一个 。 [例] y = a+bx 一元回归方程
②复（多元）回归：自变量为2个或2个以上。 [例] y=0+ 1x1+ 2x2+…+ nxn
（2）按回归方程式的特征分 ①线性回归：因变量为自变量的线性函数。 [例] y = a+bx 一元线性回归方程※ ②非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。
3、相关系数的特点及应用
（1）相关系数的取值范围为：r 1 1 r 1 （2）当γ为正值时，两变量呈正相关；当γ为负值 时，两变量呈负相关。 （3）相关系数γ的绝对值愈大，表示两变量之间 相关程度愈密切； γ＝﹢1为完全正相关； γ＝﹣1为 完全负相关。 （4）相关系数γ的绝对值愈小，愈接近0，表示两 变量之间相关程度愈低，当 γ＝0时，两变量完全没 有直线相关。
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
2015年《统计学》第八章 相关与回归分析习题及满分答案
2015年《统计学》第八章相关与回归分析习题及满分答案一、单选题1.相关分析研究的是（ A ）A、变量间相互关系的密切程度B、变量之间因果关系C、变量之间严格的相依关系D、变量之间的线性关系2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（A ）。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（B）。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系4．相关系数等于零表明两变量（B）。
A.是严格的函数关系B.不存在相关关系C.不存在线性相关关系D.存在曲线线性相关关系5．相关关系的主要特征是（B）。
A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系6．时间数列自身相关是指（ C ）。
A、两变量在不同时间上的依存关系B、两变量静态的依存关系C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系D、一个变量的数值与时间之间的依存关系7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（D）。
A、不存在相关关系B、相关程度很低C、相关程度很高D、完全负相关8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（C）。
A、无相关B、存在正相关C、存在负相关D、无法判断是否相关9．相关分析对资料的要求是（A）。
A.两变量均为随机的B.两变量均不是随机的C、自变量是随机的，因变量不是随机的D、自变量不是随机的，因变量是随机的10．回归分析中简单回归是指（D）。
A.时间数列自身回归B.两个变量之间的回归C.变量之间的线性回归D.两个变量之间的线性回归11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为10 00时，其生产成本为30000元，其中不随产量变化的成本为6000元，则成本总额对产量的回归方程为（ A ）A. y=6000+24xB. y=6+0.24xC. y=24000+6xD. y=24+6000x12.直线回归方程中，若回归系数为负，则（B） A.表明现象正相关B.表明现象负相关C.表明相关程度很弱D.不能说明相关方向和程度二、多项选择题1．下列属于相关关系的有（ABD ）。
第8章相关和回归分析52页PPT
7.2 一元线性回归
7.2.1 标准的一元线性回归模型 7.2.2一元线性回归模型的估计 7.2.3一元线性回归模型的检验 7.2.4一元线性回归模型的预测
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统计学 STATISTICS
一元线性回归模型
1. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方 程称为回归模型
表示
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y
离差的分解 (图示)
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
} yˆ y
yˆbˆ0 +bˆ1x
y
x
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离差平方和的分解
(三个平方和的关系)
n
n
n
yiy2 y ˆiy2+ yiy ˆ2
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统计学 STATISTICS
相关关系(类型)
• 按相关程度划分：
完全相关、不完全相关和不相关
• 按相关方向划分：
正相关和负相关
• 按相关形式划分：
线性相关和非线性相关
• 按变量多少划分
单相关、复相关和偏相关
• 按相关性质划分
真实相关和虚假相关
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统计学 STATISTICS
1.
总体回归参数 b
和
0
b
是未知的，必须利用样本数
1
据去估计
2.
用样本统计量
bˆ 0
和
bˆ
代替回归方程中的未知参
1
数b 0和 b 1，就得到了估计的回归方程
3.一元线性回归中估计的回归方程为
统计学原理第八章相关与回归分析
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
2010-7-23
销售额
12
第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
2010-7-23
4
第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
2010-7-23 14
第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
2010-7-23
15
第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
2010-7-23
8
统计学各章练习——相关与回归分析
第八章 相关与回归分析一、名词1、相关关系：是现象间确实存在的，但是不完全确定的，一种非严格的依存关系。
2、回归分析：是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，这种处理具有相关关系变量之间的统计方法。
3、相关系数：是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。
4、估计标准误差：就是回归分析的估计值与观测值（实际值）之间的平均误差大小的指标。
二、填空1.在自然界和社会现象中，现象之间的相互依存关系可以分为两种，一种是（函数关系），一种是（相关关系）。
2.相关关系按相关程度可分为（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关性质可分为（正相关）和（负相关）；按相关形式可分为（直线相关）和（曲线相关）；按影响因素多少可分为（单相关）和（复相关）。
3.互为因果关系的两个变量x 和Y ，可编制两个回归方程，一个是（y 倚x 回归方程）回归方程；另一个是（x 倚y 回归方程）回归方程。
4.相关分析是（回归分析）的基础，回归分析是（相关分析）的继续。
5.在回归分析中，因变量是（随自变量而变化的量），自变量是（主动变化的量）。
6.建立一元直线回归方程的条件是：两个变量之间确实存在（相关关系），而且其（相关的密切程度）必须是显著的。
一元直线回归方程的基本形式为：（Yc ＝a+bx ）。
7.估计标准误可以说明回归方程的（代表性大小）；说明回归估计值的（准确程度）；说明两个变量x 和Y 之间关系的（密切程度）。
8.当相关系数(r)越大时，估计标准误差S Y 就（越小），这时相关密切程度就（越高），回归直线的代表性就（大）；当r 越小时，S Y 就（越大），这时相关密切程度就（越低），回归直线的代表性就（小）。
三、判断1.正相关是指两个变量之间的变化方向都是上升的趋势，而负相关是指两个变量之间的变化方向都是下降的趋势。
（×）2.负相关是指两个量之间的变化方向相反，即一个呈下降（上升）而另一个呈上升（下降）趋势。
第八章 相关与回归分析
基本概念
统计学上采用回归分析 统计学上采用回归分析 （regression analysis）研究呈 ） 因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变 因果关系的相关变量间的关系。 表示结果的变量称为依变量。 量，表示结果的变量称为依变量。 研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回 研究“一因一果” 归分析称为一元回归分析 一元回归分析； 归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果” 研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回 归分析称为多元回归分析 多元回归分析。 归分析称为多元回归分析。 直线回归分析与 一元回归分析又分为直线回归分析 曲线回归分析两 一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两 多元回归分析又分为多元线性回归分析 多元线性回归分析与 种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性 回归分析两种 两种。 回归分析两种。
ˆ Y = 33.73+0.516X
历史背景
高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更 而是稍矮于其父代水平， 高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均 身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。 身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。 Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归” 将这种趋向于种族稳定的现象称之 “回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统 回归” 回归 计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数” ”“回归系数 计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计 学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系， 学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研 究儿童年龄与体重的关系等。 究儿童年龄与体重的关系等。
回归分析的任务
回归分析的任务是揭示出呈因果关系的 相关变量间的联系形式，建立它们之间的回 相关变量间的联系形式， 归方程，利用所建立的回归方程，由自变量 归方程，利用所建立的回归方程， （原因）来预测、控制依变量（结果）。 原因）来预测、控制依变量（结果）。
第八章相关与回归分析Correlation and Regression Analysis
象的相关关系必须借助于统计学中的相关与回归分析方法。
Chap 08-4
相关关系的类型
从相关关系涉及的变量数量看：单相关和复相关 一个变量对另一变量的相关关系，称为单相关； 一个变量对两个以上变量的相关关系时，称为复相关； 从变量相关关系的表现形式看：线性相关和非线性相关 从变量相关关系变化的方向看：正相关和负相关 从变量相关的程度看：完全相关〔函数关系〕、不完全相
或:
r
n xtyt xt yt
[n ( xt2)( xt)2]n [( yt2)( yt)2]
Chap 08-7
2 简单线性相关与回归分析
2.1 简单线性相关系数及检验 2.2 总体回归函数与样本回归函数 2.3 回归系数的估计 2.4 简单线性回归模型的检验 2.5 简单线性回归模型预测
Chap 08-8
相关系数
总体相关系数〔 population correlation coefficient〕 ρ 是反映两变量之间线性相关程度的 一种特征值，表现为一个常数。
关、不相关
Chap 08-5
相关分析与回归分析
而样本回归函数中 的和 是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。
是当 x 等于 0 时 y 的平均估计值 S越小说明实际观测点与所拟合的样本回归线的离差程度越小，即样本回归线具有较强的代表性，反之，S越大说明实际观测点与所拟 合的样本回归线的离差程度越大，即回归线的代表性越差。
Chap 08-1
本节学习目标
通过本节的学习，你应该能够:
理解和掌握相关分析和回归分析的原理 估计一元线性回归模型，并对模型进行检验 利用计算机软件估计多元线性回归模型，并对模型进行
统计学原理第八章相关与回归分析
答案： 9x ? 17 ? kx 可以转化为 (9 ? k)x ? 17 即: x ? 17 ,x 为正整数 ,则 k ? 8或-8 9? k
测一测 3: 【中】 m 为整数，关于 x 的方程 x ? 6 ? mx 的解为正整数，求 m ? _____ 答案： 由原方程得： x ? 6 ， x 是正整数，所以 m ? 1 只能为 6 的正约数，
a ? ____ b ? ____
答案： ?2a ? 12?x ? 5 ? ab . 要使 x 有无穷多个解，则 2a ? 12 ? 0 ab ? 5 ? 0
得到 a ? 6;b ? 5 6
测一测 2： 【中】
已知关于 x 的方程 2a ?x ? 1?? ?5 ? a?x ? 3b 有无数多个解，那么
m?1 m ? 1 ? 1,2,3,6 所以 m ? 0,1, 2,5
2. 两个一元一次方程同解问题
例题 2：⑴ 【易】若方程 ax ? 2x ? 9 与方程 2x ? 1 ? 5 的解相同，则 a 的值为 _________
【答案】 D
第一个方程的解为 x ? 1 ，将 x ? 1 代入到第二个方程中得： 2 ? a ? 1 =0 ，解得 a ? 5 2
答案：原方程可以转化为 ?3 ? m?x ? 4 ? n
⑴ 当 m ? 3,n为任意值时，方程有唯一解；
⑵ 当 m ? 3,n ? 4时，方程有无数解；
⑶ 当 m ? 3, n ? ? 4时，无解
测 一 测 1 ：【 中 】 若 关 于 x 的 方 程 a ?2x ? b?? 12x ? 5 有 无 穷 多 个 解 。 求
a 当 a ? 0,b ? 0时，方程无解
当 a ? 0, b ? 0. 方程的解为任意数 .
统计学第八章 相关与回归分析PPT课件
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9
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
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1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1）完全相关：当一种现象的数量变化完全
5、按相关性质划分
分为“真实相关”和“虚假相关”： （1）当两种现象间的相关确实具有内在的联 系时，称之为“真实相关”。例如消费与收入 的相关关系等。 （2）当两种现象间的相关只是表面存在，实 质没有内在联系时，称之为“虚假相关”。 判断依据是实质性科学提供的知识。
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函数关系是指变量之间存在着严格确定的依
存关系，在这种关系中，当一个或几个变
量取一定量的值时，另一变量有确定值与
之相对应，并且这种关系可以用一个数学
表达式反映出来。例如：某种产品的总成
本S与该产品的产量Q以及该产品的单位成
本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是一
种函数关系。通常把作为影响因素的变量
称为自变量，把发生相应变化的变量称为
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一、函数关系与相关关系
▪ 客观现象总是普遍联系和相互依存的， 客观现象间的数量联系存在两种不同 类型：函数关系和相关关系。
▪ 把握三个问题：
▪ 1、函数关系；
▪ 2、相关关系；
▪ 3、二者关系。
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1、函数关系
因变量。在本例中，S是因变量，P与Q则
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
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5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
统计学基础-第八章-相关与回归分析
统计学基础第八章相关与回归分析【教学目的】1.掌握相关系数的测定和性质2。
明确相关分析与回归分析的特点3.建立回归直线方程，掌握估计标准误差的计算【教学重点】1。
相关关系、相关分析和回归分析的概念2。
相关系数计算3.回归方程的建立和依此进行估计和预测【教学难点】1.相关分析和回归分析的区别2.相关系数的计算3。
回归系数的计算4。
估计标准误的计算【教学时数】教学学时为8课时【教学内容参考】第一节相关关系一、相关关系的含义宇宙中任何现象都不是孤立地存在的，而是普遍联系和相互制约的。
这种现象间的相互联系、相互制约的关系即为相关关系。
相关关系因其依存程度的不同而表现出相关程度的差别。
有些现象间存在着严格的数据依存关系，比如，在价格不变的条件下销售额量之间的关系，圆的面积与半径之间的关系等等，均具有显著的一一对应关系。
这些关系可由数学中的函数关系来确切的描述，因而也可以认为是一种完全相关关系.有些现象间的依存关系则没有那么严格。
当一种现象的数量发生变化时，另一种现象的数量却在一定的范围内发生变化，比如身高与体重的关系就是如此。
一般来说,身高越高，体重越重,但二者之间的关系并非严格意义上的对应关系,身高1.75米的人，对应的体重会有多个数值，因为影响体重的因素不只身高而已，它还会受遗传、饮食习惯等因素的制约和影响.社会经济现象中大多存在这种非确定的相关关系。
在统计学中,这些在社会经济现象之间普遍存在的数量依存关系，都成为相关关系。
在本章,我们主要介绍那些能用函数关系来描述的具有经济统计意义的相关关系。
二、相关关系的特点1。
现象之间确实存在数量上的依存关系如果一个现象发生数量上的变化，则另一个现象也会发生数量上的变化.在相互依存的两个变量中，可以根据研究目的，把其中的一个变量确定为自变量，把另一个对应变量确定为因变量。
例如，把身高作为自变量，则体重就是因变量.2。
现象之间数量上的关系是不确定的相关关系的全称是统计相关关系，它属于变量之间的一种不完全确定的关系。
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
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2、相关关系
▪ 相关关系是指变量之间存在一定的相依 关系，但又不是确定的和严格依存的。 这类关系中，当一个或几个相互联系的 变量取一定数值时，与之相对应的变量 就会有若干个数值与之相对应，从而表 现出一定的波动性。例如商品流转规模 与流通费用的关系，家庭收入与消费支 出的关系，工业劳动生产率与产品成本 的关系等都属于相关关系。在统计中所 研究的就是这种相关关系。
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1）完全相关：当一种现象的数量变化完全
由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长L决定于它的半径R，即L=2∏R。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
（3）在某一变量与多个变量相关时， 当假定其他变量不变，其中两个变量的 相关关系称为偏相关。例如在假定家庭 收入水平不变的条件下，市场价格水平 与家庭的消费支出的关系就是一种偏相 关。
5、按相关性质划分
分为“真实相关”和“虚假相关”： （1）当两种现象间的相关确实具有内在的联 系时，称之为“真实相关”。例如消费与收入 的相关关系等。 （2）当两种现象间的相关只是表面存在，实 质没有内在联系时，称之为“虚假相关”。
▪ 把握三个问题： ▪ 1、函数关系； ▪ 2、相关关系； ▪ 3、二者关系。
1、函数关系
函数关系是指变量之间存在着严格确定的依 存关系，在这种关系中，当一个或几个变 量取一定量的值时，另一变量有确定值与 之相对应，并且这种关系可以用一个数学 表达式反映出来。例如：某种产品的总成 本S与该产品的产量Q以及该产品的单位成 本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是一 种函数关系。通常把作为影响因素的变量 称为自变量，把发生相应变化的变量称为 因变量。在本例中，S是因变量，P与Q则 是自变量。
3、二者关系
▪ 上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
Байду номын сангаас 3、按相关形式划分
▪ 可以分为线性相关和非线性相关：
▪ （1）当一个变量发生变动，另一个变量随 之发生大致均等的变动(增加或减少)，从图 形上看，其观测点的分布近似地表现为直 线形式，就是线性相关。
▪ （2）而当一个变量发生变动，另一个变量 也随之发生变动(增加或减少)，但是这种变 动不是均等的，从图形上看，其观察点的 分布表现为各种不同的曲线形式，这种相 关关系称为非线性相关。
▪ （2）回归分析：根据相关关系的具体形 态，选择一个合适的数学模型来近似表 达变量间的平均变化关系。
2、二者的联系
▪ 二者有着密切的联系，它们具有共同的研究对 象，在具体运用时需要互相补充。具体：
▪ （1）相关分析需要依靠回归分析表明现象数 量相关的具体形式；
▪ （2）回归分析需要依靠相关分析来表明现象 数量变化的相关程度，只有变量之间存在着高 度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形 式才有意义。因此，在一些统计学的相关书籍 中，回归分析和相关分析也合并称为相关关系 分析或广义的相关分析。
1、按相关程度划分
（2）不相关：当两个现象彼此互不影响，其 数量变化各自独立时，称这两个现象之间的 关系为不相关或零相关。例如：学生的学习 成绩与其身高一般认为是不相关的。
（3）不完全相关：若两个现象之间的关系介 于完全相关和不相关之间，就称为不完全相 关，一般的相关现象都是指这种不完全相关 ，这是相关分析的研究对象。
3、二者的区别
在研究目的和具体的研究方法上是有明显区别 的，两者的主要区别在于：
（1）相关分析研究变量间相关方向、程度，不 能指出变量间相互关系的具体形式，也无法从 一个变量的变化推测另一个变量的变化情况； 而回归分析能确切地指出变量之间相互关系的 具体形式，它可根据回归模型从已知量估计和
2、按相关方向划分
可分为正相关和负相关： （1）两个相关现象间，当一个变量的数值增 加(或减少)时，另一个变量的数值也随之增加( 或减少)，这种相关称为正相关。例如家庭消费 支出随着收入的增加而增加等。 （2）当一个变量的数值增加(或减少)时，而另 一个变量的数值相反地呈减少(或增加)趋势变 化，称为负相关。例如劳动生产率愈高，单位 产品成本愈低。
第八章 相关与回归分析
▪ 本章内容：理解相关关系概念、 分类，相关分析与回归分析的区别 联系；掌握一元线性回归分析，学 会用最小二乘法估计回归参数，学 会计算估计标准误差、可决系数； 掌握单相关关系分析，学会相关系 数的计算。
第八章 相关与回归分析
▪ 本章分三节： ▪ 第一节 相关与回归分析的基本概
判断依据是实质性科学提供的知识。
三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
1、相关分析与回归分析的 概念
▪ 二者是研究现象尖相关关系的基本方法。
▪ （1）相关分析（狭义）指用一个指标表 明现象间相互依存关系的密切程度。
念 ▪ 第二节 一元线性回归分析 ▪ 第三节 相关分析
第一节 相关与回归分析的 基本概念
▪ 本节需要把握四个问题： ▪ 一、函数关系与相关关系； ▪ 二、相关关系的种类； ▪ 三、相关分析与回归分析； ▪ 四、相关表和相关图。
一、函数关系与相关关系
▪ 客观现象总是普遍联系和相互依存的， 客观现象间的数量联系存在两种不同 类型：函数关系和相关关系。
4、按变量多少划分
分为单相关、复相关和偏相关：
（1）单相关又称一元相关，是指两个变量之 间的相关关系，即仅限于一个变量与另一个变 量之间的依存关系。
（2）复相关又称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间的相关关系。例如家庭的消费支 出与家庭收入水平及市场价格水平之间的关系 便是一种复相关。
4、按变量多少划分