统计学：第八章相关与回归分析
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第八章 相关与回归分析
▪ 本章内容：理解相关关系概念、 分类，相关分析与回归分析的区别 联系；掌握一元线性回归分析，学 会用最小二乘法估计回归参数，学 会计算估计标准误差、可决系数； 掌握单相关关系分析，学会相关系 数的计算。
第八章 相关与回归分析
▪ 本章分三节： ▪ 第一节 相关与回归分析的基本概
4、按变量多少划分
分为单相关、复相关和偏相关：
（1）单相关又称一元相关，是指两个变量之 间的相关关系，即仅限于一个变量与另一个变 量之间的依存关系。
（2）复相关又称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间的相关关系。例如家庭的消费支 出与家庭收入水平及市场价格水平之间的关系 便是一种复相关。
4、按变量多少划分
3、按相关形式划分
▪ 可以ห้องสมุดไป่ตู้为线性相关和非线性相关：
▪ （1）当一个变量发生变动，另一个变量随 之发生大致均等的变动(增加或减少)，从图 形上看，其观测点的分布近似地表现为直 线形式，就是线性相关。
▪ （2）而当一个变量发生变动，另一个变量 也随之发生变动(增加或减少)，但是这种变 动不是均等的，从图形上看，其观察点的 分布表现为各种不同的曲线形式，这种相 关关系称为非线性相关。
念 ▪ 第二节 一元线性回归分析 ▪ 第三节 相关分析
第一节 相关与回归分析的 基本概念
▪ 本节需要把握四个问题： ▪ 一、函数关系与相关关系； ▪ 二、相关关系的种类； ▪ 三、相关分析与回归分析； ▪ 四、相关表和相关图。
一、函数关系与相关关系
▪ 客观现象总是普遍联系和相互依存的， 客观现象间的数量联系存在两种不同 类型：函数关系和相关关系。
3、二者的区别
在研究目的和具体的研究方法上是有明显区别 的，两者的主要区别在于：
（1）相关分析研究变量间相关方向、程度，不 能指出变量间相互关系的具体形式，也无法从 一个变量的变化推测另一个变量的变化情况； 而回归分析能确切地指出变量之间相互关系的 具体形式，它可根据回归模型从已知量估计和
3、二者关系
▪ 上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
（3）在某一变量与多个变量相关时， 当假定其他变量不变，其中两个变量的 相关关系称为偏相关。例如在假定家庭 收入水平不变的条件下，市场价格水平 与家庭的消费支出的关系就是一种偏相 关。
5、按相关性质划分
分为“真实相关”和“虚假相关”： （1）当两种现象间的相关确实具有内在的联 系时，称之为“真实相关”。例如消费与收入 的相关关系等。 （2）当两种现象间的相关只是表面存在，实 质没有内在联系时，称之为“虚假相关”。
2、相关关系
▪ 相关关系是指变量之间存在一定的相依 关系，但又不是确定的和严格依存的。 这类关系中，当一个或几个相互联系的 变量取一定数值时，与之相对应的变量 就会有若干个数值与之相对应，从而表 现出一定的波动性。例如商品流转规模 与流通费用的关系，家庭收入与消费支 出的关系，工业劳动生产率与产品成本 的关系等都属于相关关系。在统计中所 研究的就是这种相关关系。
▪ （2）回归分析：根据相关关系的具体形 态，选择一个合适的数学模型来近似表 达变量间的平均变化关系。
2、二者的联系
▪ 二者有着密切的联系，它们具有共同的研究对 象，在具体运用时需要互相补充。具体：
▪ （1）相关分析需要依靠回归分析表明现象数 量相关的具体形式；
▪ （2）回归分析需要依靠相关分析来表明现象 数量变化的相关程度，只有变量之间存在着高 度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形 式才有意义。因此，在一些统计学的相关书籍 中，回归分析和相关分析也合并称为相关关系 分析或广义的相关分析。
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1）完全相关：当一种现象的数量变化完全
由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长L决定于它的半径R，即L=2∏R。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
▪ 把握三个问题： ▪ 1、函数关系； ▪ 2、相关关系； ▪ 3、二者关系。
1、函数关系
函数关系是指变量之间存在着严格确定的依 存关系，在这种关系中，当一个或几个变 量取一定量的值时，另一变量有确定值与 之相对应，并且这种关系可以用一个数学 表达式反映出来。例如：某种产品的总成 本S与该产品的产量Q以及该产品的单位成 本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是一 种函数关系。通常把作为影响因素的变量 称为自变量，把发生相应变化的变量称为 因变量。在本例中，S是因变量，P与Q则 是自变量。
判断依据是实质性科学提供的知识。
三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
1、相关分析与回归分析的 概念
▪ 二者是研究现象尖相关关系的基本方法。
▪ （1）相关分析（狭义）指用一个指标表 明现象间相互依存关系的密切程度。
2、按相关方向划分
可分为正相关和负相关： （1）两个相关现象间，当一个变量的数值增 加(或减少)时，另一个变量的数值也随之增加( 或减少)，这种相关称为正相关。例如家庭消费 支出随着收入的增加而增加等。 （2）当一个变量的数值增加(或减少)时，而另 一个变量的数值相反地呈减少(或增加)趋势变 化，称为负相关。例如劳动生产率愈高，单位 产品成本愈低。
1、按相关程度划分
（2）不相关：当两个现象彼此互不影响，其 数量变化各自独立时，称这两个现象之间的 关系为不相关或零相关。例如：学生的学习 成绩与其身高一般认为是不相关的。
（3）不完全相关：若两个现象之间的关系介 于完全相关和不相关之间，就称为不完全相 关，一般的相关现象都是指这种不完全相关 ，这是相关分析的研究对象。
▪ 本章内容：理解相关关系概念、 分类，相关分析与回归分析的区别 联系；掌握一元线性回归分析，学 会用最小二乘法估计回归参数，学 会计算估计标准误差、可决系数； 掌握单相关关系分析，学会相关系 数的计算。
第八章 相关与回归分析
▪ 本章分三节： ▪ 第一节 相关与回归分析的基本概
4、按变量多少划分
分为单相关、复相关和偏相关：
（1）单相关又称一元相关，是指两个变量之 间的相关关系，即仅限于一个变量与另一个变 量之间的依存关系。
（2）复相关又称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间的相关关系。例如家庭的消费支 出与家庭收入水平及市场价格水平之间的关系 便是一种复相关。
4、按变量多少划分
3、按相关形式划分
▪ 可以ห้องสมุดไป่ตู้为线性相关和非线性相关：
▪ （1）当一个变量发生变动，另一个变量随 之发生大致均等的变动(增加或减少)，从图 形上看，其观测点的分布近似地表现为直 线形式，就是线性相关。
▪ （2）而当一个变量发生变动，另一个变量 也随之发生变动(增加或减少)，但是这种变 动不是均等的，从图形上看，其观察点的 分布表现为各种不同的曲线形式，这种相 关关系称为非线性相关。
念 ▪ 第二节 一元线性回归分析 ▪ 第三节 相关分析
第一节 相关与回归分析的 基本概念
▪ 本节需要把握四个问题： ▪ 一、函数关系与相关关系； ▪ 二、相关关系的种类； ▪ 三、相关分析与回归分析； ▪ 四、相关表和相关图。
一、函数关系与相关关系
▪ 客观现象总是普遍联系和相互依存的， 客观现象间的数量联系存在两种不同 类型：函数关系和相关关系。
3、二者的区别
在研究目的和具体的研究方法上是有明显区别 的，两者的主要区别在于：
（1）相关分析研究变量间相关方向、程度，不 能指出变量间相互关系的具体形式，也无法从 一个变量的变化推测另一个变量的变化情况； 而回归分析能确切地指出变量之间相互关系的 具体形式，它可根据回归模型从已知量估计和
3、二者关系
▪ 上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
（3）在某一变量与多个变量相关时， 当假定其他变量不变，其中两个变量的 相关关系称为偏相关。例如在假定家庭 收入水平不变的条件下，市场价格水平 与家庭的消费支出的关系就是一种偏相 关。
5、按相关性质划分
分为“真实相关”和“虚假相关”： （1）当两种现象间的相关确实具有内在的联 系时，称之为“真实相关”。例如消费与收入 的相关关系等。 （2）当两种现象间的相关只是表面存在，实 质没有内在联系时，称之为“虚假相关”。
2、相关关系
▪ 相关关系是指变量之间存在一定的相依 关系，但又不是确定的和严格依存的。 这类关系中，当一个或几个相互联系的 变量取一定数值时，与之相对应的变量 就会有若干个数值与之相对应，从而表 现出一定的波动性。例如商品流转规模 与流通费用的关系，家庭收入与消费支 出的关系，工业劳动生产率与产品成本 的关系等都属于相关关系。在统计中所 研究的就是这种相关关系。
▪ （2）回归分析：根据相关关系的具体形 态，选择一个合适的数学模型来近似表 达变量间的平均变化关系。
2、二者的联系
▪ 二者有着密切的联系，它们具有共同的研究对 象，在具体运用时需要互相补充。具体：
▪ （1）相关分析需要依靠回归分析表明现象数 量相关的具体形式；
▪ （2）回归分析需要依靠相关分析来表明现象 数量变化的相关程度，只有变量之间存在着高 度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形 式才有意义。因此，在一些统计学的相关书籍 中，回归分析和相关分析也合并称为相关关系 分析或广义的相关分析。
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1）完全相关：当一种现象的数量变化完全
由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长L决定于它的半径R，即L=2∏R。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
▪ 把握三个问题： ▪ 1、函数关系； ▪ 2、相关关系； ▪ 3、二者关系。
1、函数关系
函数关系是指变量之间存在着严格确定的依 存关系，在这种关系中，当一个或几个变 量取一定量的值时，另一变量有确定值与 之相对应，并且这种关系可以用一个数学 表达式反映出来。例如：某种产品的总成 本S与该产品的产量Q以及该产品的单位成 本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是一 种函数关系。通常把作为影响因素的变量 称为自变量，把发生相应变化的变量称为 因变量。在本例中，S是因变量，P与Q则 是自变量。
判断依据是实质性科学提供的知识。
三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
1、相关分析与回归分析的 概念
▪ 二者是研究现象尖相关关系的基本方法。
▪ （1）相关分析（狭义）指用一个指标表 明现象间相互依存关系的密切程度。
2、按相关方向划分
可分为正相关和负相关： （1）两个相关现象间，当一个变量的数值增 加(或减少)时，另一个变量的数值也随之增加( 或减少)，这种相关称为正相关。例如家庭消费 支出随着收入的增加而增加等。 （2）当一个变量的数值增加(或减少)时，而另 一个变量的数值相反地呈减少(或增加)趋势变 化，称为负相关。例如劳动生产率愈高，单位 产品成本愈低。
1、按相关程度划分
（2）不相关：当两个现象彼此互不影响，其 数量变化各自独立时，称这两个现象之间的 关系为不相关或零相关。例如：学生的学习 成绩与其身高一般认为是不相关的。
（3）不完全相关：若两个现象之间的关系介 于完全相关和不相关之间，就称为不完全相 关，一般的相关现象都是指这种不完全相关 ，这是相关分析的研究对象。