学年高中数学直线与方程直线的点斜式方程学案含解析新人教A版必修
直线的点斜式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解析：(1)∵Y//l₂,∴两直线斜率相等且在y 轴上的截距不相等 .
∴m²-2=-1 且2m≠1,∴m=±1.
(2)∵I₁⊥l₂,∴(2m-1)×(-2)=-
.
1,
小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?
1.直线的点斜式方程 2.直线的斜截式方程
解析：由已知可得直线的点斜式方程为 故选C.
整理得2x-3y=0.
2.已知直线的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为(
A.y=√3x+2
B.y=-√3x+2
C.y=-√3x-2
D.y=√3x-2
解析：直线的倾斜角为60°,则其斜率为 √3,利用斜截式得直线的方程为y= √3x-2.
方程y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其 中 ，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
例2已知直线 l:y=k₁x+b₁,l₂:y=k₂x+
(1)l₁ 1/l₂ 的条件是什么?
b₂ ,试讨论：
(2)l⊥l₂ 的条件是什么?
解：(1) 若l//l₂, 则k=k₂ ,此时l,l₂ 与y 轴的交点不同，即b₁ ≠b₂; 反之，若k₁=k₂, 且b₁≠b₂, 则₁// l₂.
解：直线1经过点P(-2,3),斜率k=tan45°=1, 代入点斜式方程得y-3=x+2.
画图时，只需再找出直线1上的另一点P(x,y₁),
例如，取x =-1, 则y₁=4, 得点P 的坐标为(-1,4), 过P₀,P 两点的直线即为所求，如图所示.
直线的斜截式方程
直线l与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标b 叫做直线l在 y 轴上的截距. 这样，方程y=kx+b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，
高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程学案含解析新人教A版必修065
3．2.1 直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y 0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾y 线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m ，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________． 答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________． 答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－5＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。
人教A版选择性必修第一册2.2.1直线的点斜式方程学案
§2.2直线的方程2．2.1直线的点斜式方程导学目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．解(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB 边所在直线的方程为y ＝1.(2)因为∠A ＝60°，所以k AC ＝tan60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)．因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)．(2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．加固检验1 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y ＝33x 的倾斜角的2倍； (2)经过点P (5，－2)，且与y 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线y ＝33x 的斜率为33， ∴直线y ＝33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y ＋3＝3(x －2)，即3x －y －23－3＝0.(2)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x ＝5.(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. ∵直线过点P (－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y －3＝－(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.二、直线的斜截式方程问题2 直线l 上给定一个点P 0(0，b )和斜率k ，求直线l 的方程．提示 y ＝kx ＋b 知识梳理1．直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．2．把方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y 轴上的截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别：当k ≠0时，y ＝kx ＋b 为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数．故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2，所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.延伸探究 本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12. ∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．加固检验2 已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程． 解 设l ：y ＝－43x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得12·|b |·⎪⎪⎪⎪34b ＝6， ∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3 已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解 当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m. 由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23； 由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83， －3m 8·⎝⎛⎭⎫－16m ＝－1无解． 故当m ＝－23时，l 1与l 2平行； 当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟 若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 加固检验3 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)判断直线l 1与l 2是否能平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，显然两直线不平行．当a ≠1时，将方程ax ＋2y ＋6＝0化为y ＝－a 2x －3， 将方程x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝化为y ＝11－ax －a －1. 若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则⎩⎨⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－a －1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(2)当l 1⊥l 2时，a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23. 即当a ＝23时，l 1⊥l 2.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线★lx 资源-[答案]C★lx 资源-[解析]易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9C.274D ．－274★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为() A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2★lx 资源-[答案]D★lx 资源-[解析]∵α＝60°，∴k ＝tan60°＝3，∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4．若直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.。
黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2019-2020学年数学新人教A版必修2学案：3.2.1 直线的点斜式方程 Word版含答案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:3.2.1直线的点斜式方程一、学习目标 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、 使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。
3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。
四、知识链接:1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 五、学习过程：A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。
A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1） （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？ B问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y （3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）.l l lα︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
3.2.1_直线的点斜式方程_学案(人教A版必修2)
3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程【课标要求】1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．新知导学温馨提示：(1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线．(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0.2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b .(2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的横坐标a .温馨提示(1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系．(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当斜率为0时，y ＝b 不是一次函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？提示 一定有点斜式方程．探究点2 若直线在x 轴、y 轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？提示 135°.探究点3 斜率为k 且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？提示 相同．都是y ＝kx 的形式.类型一 直线的点斜式方程【例1】 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路探索] 求出斜率，代入点斜式方程．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.[规律方法] 求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．【活学活用1】 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为________． 解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0类型二 直线的斜截式方程【例2】 求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[思路探索] 根据两直线的平行(或垂直)关系求出斜率后，再设所求方程的斜截式，由截距之和求得纵截距．解 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【活学活用2】 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程．(2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0.法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5，又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b .∵l 过点A (2，－3)，∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1，∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.类型三 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[思路探索] (1)化为点斜式，求定点；(2)化为mf (x ，y )＋g (x ，y )＝0.证明 法一 根据恒等式的意义求解．直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．法二 直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．【活学活用3】 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.易错辨析 因忽视截距所致的错误【示例】 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？[错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多．[正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1. [防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立.课堂达标 1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )．A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( )．A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－3答案 D3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．答案 y ＝4x －114．过点(1,3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1,3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝15．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定两直线的位置关系.。
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式方程》教案（新人教A版必修2）
数学：3.2《直线的点斜式、斜截式⽅程》教案（新⼈教A 版必修2）课题：直线的点斜式、斜截式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程。
（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系.2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。
教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤例3．如果直线l 沿x 轴负⽅向平移3个单位，再沿y 轴正⽅向平移1个单位后，⼜回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －31)归纳⼩结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围是什么？（3）求⼀条直线的⽅程，要知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题课后记:课题：直线的两点式和截距式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）掌握直线⽅程的两点式的形式特点及适⽤范围；（2）了解直线⽅程截距式的形式特点及适⽤范围。
2、过程与⽅法让学⽣在应⽤旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的⽐较、分析、应⽤获得新知识的特点。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学⽣⽤联系的观点看问题。
教学重点：直线⽅程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解1）到⽬前为⽌，我们所学过的直线⽅程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2）要求⼀条直线的⽅程，必须知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题课后记:课题：直线的⼀般式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）明确直线⽅程⼀般式的形式特征；（2）会把直线⽅程的⼀般式化为斜截式，进⽽求斜率和截距；（3）会把直线⽅程的点斜式、两点式化为⼀般式。
高中数学 3.2.1直线的点斜式方程教案 新人教版A版必修2
例2：已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？
巩固练习：
4．写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是 ，在y轴上的截距是－2
（2）斜率是－2，在y轴上的截距是4
（3）斜率是－1，在y轴上的截距是1
5．判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）l1:y= x+3, l2: y= x-2
（2）l1:y= x, l2:y=
（3）l1:y=3, l2x=0
课堂小结：本节课你学到了什么？请认真总结写在下面。
本节作业：教材第100页第1题（1பைடு நூலகம்（2）（3），第5题
自助餐
1．分别用点斜式和斜截式写出：斜率是2，在x轴上的截距是4的直线方程.
(2)经过点（1，3）和（2，5）的直线PQ的斜率是( )
A．2 B.-2 C. D.-
(3)斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值是( )
A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3
我们能否用给定的条件将直线上所有点的坐标（x,y）满足的关系表示出来呢？
2．直线y=mx+2m+1恒过一定点,则此点是
二、直线的点斜式方程
1／。／。。。。。 1.点斜式方程是如何得到的？
2.直线的点斜式方程形式是
X轴所在直线的方程是
Y轴所在直线的方程是
3.判断：直角坐标系内的所有直线都有点斜式方程.（ ）
试举例说明.
例1:直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角 =45,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.
2.2.1 直线的点斜式方程 教案-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.2.1 直线的点斜式方程教学设计一、教学目标1. 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程；2. 了解斜截式方程与一次函数的关系. 二、教学重难点 1. 教学重点 直线的点斜式方程. 2. 教学难点直线的点斜式、斜截式方程的应用. 三、教学过程 （一）新课导入问题1 怎样确定一条直线？（要求学生自主思考，举手回答，教师总结）除了两点确定一条直线，给定一点和一个方向也可以唯一确定一条直线. 这样，在平面直角坐标系中，给定一个点000()P x y ，和斜率k （或倾斜角），就能唯一确定一条直线. 也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x ，y )与点0P 的坐标00()x y ，和斜率k 之间的关系是完全确定的. 那么，这一关系如何表示呢？下面我们来研究这个问题. （二）探索新知如下图，直线l 经过点000()P x y ，，且斜率为k . 设()P x y ，是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-.由上述推导过程可知：（1）直线l 上每一个点的坐标(x ，y )都满足关系式00()y y k x x -=-； （2）反过来，坐标满足关系式00()y y k x x -=-的每一个点都在直线l 上.验证（2）：事实上，若点111()P x y ，的横纵坐标11x y ，满足关系式00()y y k x x -=-，则1010()y y k x x -=-.当10x x =时，10y y =，这时点1P 与0P 重合，显然有点1P 在直线l 上；当10x x ≠时，有1010y y k x x -=-，这表明过点1P ，0P 的直线1l 的斜率为k . 因为直线l ，1l 的斜率都为k ，且都过点0P ，所以它们重合. 所以，点1P 在直线l 上.由（1）（2）可得：坐标满足关系式00()y y k x x -=-的点一定在直线l 上；直线l 上任意一点的坐标一定满足关系式00()y y k x x -=-. 我们把方程00()y y k x x -=-称为过点000()P x y ，，斜率为k 的直线l 的方程.定义：方程00()y y k x x -=-由直线上一个定点00()x y ，及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.问题2 （1）当直线l 的倾斜角为0°时，直线l 的方程是什么？为什么？ （2）当直线l 的倾斜角为90°时，直线l 的方程如何表示？为什么？ （要求学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导、总结）如下图，当直线l 的倾斜角为0°时，tan00︒=，即0k =，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是00y y -=，即0y y =.如下图，当直线l 的倾斜角为90°时，由于tan90︒无意义，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示. 又因为这时直线l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=，即0x x =.例1 直线l 经过点0(23)P -，，且倾斜角45α=︒，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .解：直线l 经过点0(23)P -，，斜率tan451k =︒=，代入点斜式方程得32y x -=+. 画图时，只需再找出直线l 上的另一点111()P x y ，，例如，取11x =-，则14y =，得点1P 的坐标为(14)-，，过0P ，1P 两点的直线即为所求，如下图所示.如果斜率为k 的直线l 过点0(0)P b ，，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得(0)y b k x -=-，即y kx b =+.我们把直线l 与y 轴的交点(0)b ，的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距. 这样，方程y kx b =+由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，我们把方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k 和b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.例2 已知直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，，试讨论：（1）12l l 的条件是什么？（2）12l l ⊥的条件是什么？解：（1）若12l l ，则12k k =，此时12l l ，与y 轴的交点不同，即12b b ≠；反之，若12k k =，且12b b ≠，则12l l .（2）若12l l ⊥，则121k k =-；反之，若121k k =-，则12l l ⊥.由例2得到，对于直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，， 1212l l k k ⇔=，且12b b ≠；12121l l k k ⇔⊥=-.（三）课堂练习1.已知直线的方程为21y x +=--，则( ) A.该直线过点()1,2-，斜率为1- B.该直线过点()1,2-，斜率为1 C.该直线过点()1,2--，斜率为1- D.该直线过点()1,2--，斜率为1答案：C解析：直线的方程可化为点斜式(2)[(1)]y x --=---，故直线过点(1,2)--，斜率为1-.故选C.2.经过点(3,2)-，倾斜角为60°的直线方程是( ) A ．23(3)y x +=-B ．323)y x -=-C ．23(3)y x -=+D ．323)y x +=- 答案：C解析：tan 603k =°23(3)y x -=+.故选C. 3.已知直线l 过点()3,0-，且与直线12y x +=垂直，则直线l 的方程为( ) A.1(3)2y x =--B.1(3)2y x =-+C.1(3)2y x =-D.1(3)2y x =+答案：B解析：因为直线12y x +=的斜率为2，所以直线l 的斜率为12-.又直线l 过点()3,0-，故所求直线的方程为()132y x =-+，故选B. 4.已知直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过点()5,6P ，则直线l 的方程为________________. 答案：5x = 解析：直线1y x =+的倾斜角是45°，且直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，∴直线l 的倾斜角是90°.又直线l 过点()5,6P ，∴直线l 的方程为5x =.5.已知点()33A ，和直线35:42l y x =-. （1）求过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； （2）求过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程. 答案：（1）因为直线l 的方程为3542y x =-，所以该直线的斜率34k =，所以过点()3,3A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程为33(3)4y x -=-.（2）易知与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以过点()3,3A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程为43(3)3y x -=--.（四）小结作业 小结：1. 直线的点斜式方程；2. 直线的斜截式方程； 作业： 四、板书设计2.2.1 直线的点斜式方程1. 直线的点斜式方程；2. 直线的斜截式方程；3. 两条直线的位置关系.。
直线的点斜式方程+学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
课题： 2.1.2直线的点斜式方程课型：新授课教学目标：理解并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程及适用范围,注意斜率不存在的情况.学科素养：逻辑推理(直线的点斜式的推导过程).数学运算(根据题目条件求直线的点斜式与斜截式方程)重点：1.直线的点斜式方程和斜截式方程2.斜截式形式的两条直线平行与垂直的条件难点：注意截距与距离的区别与联系知识回顾：1.(1)直线的倾斜角的定义(2)倾斜角的取值范围∝∈[00,1800) (3)斜率的定义新知讲授1.直线的点斜式方程如图，直线ｌ经过点P。
(x o，y o)，且斜率为k.设P(x，y)是直线ｌ上不同于点P。
的任意一点，因为直线ｌ的斜率为k，由斜率公式得k=y−y0x−x0即y−y0=k(x−x0)它由直线上一定点P。
(x o，y o)及斜率k确定注意：直线ｌ的倾斜角为00时，过点P。
(x o，y o)的直线方程为：y=y0直线ｌ的倾斜角为900时，过点P。
(x o，y o)的直线方程为：x=x0 2. 直线的斜截式方程如果斜率为k的直线ｌ过点P0(0，b),根据直线的点斜式方程，得y−b=k(x−0)即y=kx+ b，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
说明：1.直线在y轴上的截距的定义， 2.截距与距离的区别3.直线l1: y=k1x+ b1直线l2: y=k2x+ b2（1）l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2（2） l1⊥l2⇔k1k2=−1例题讲解例1（1）直线ｌ经过点P。
(-2，3)，且倾斜角∝为450，求直线ｌ的点斜式方程，并画出直线ｌ（2）直线ｌ斜率是−2，在y轴上的截距为4，求直线ｌ的斜截式方程。
例2 求满足下列条件的实数m的值（1）直线l1: y=2x+ 3m与直线l2: y=(m2+1)x+ 3平行（2）直线l1: y=−2x+ 3与直线l2: y=(2m−1)x− 5垂直课堂练习课本61-62页1，2，3，4题课后小结1. 直线的点斜式方程与斜截式方程2. 直线l1: y=k1x+ b1与直线l2: y=k2x+ b2平行与垂直的条件课后作业：小活页反思：。
直线的点斜式方程 高中数学新教材人教A版
课堂检测
3．写出下列直线的斜截式方程;
(1)斜率是
3
，在y轴上的截距是−2;
2
3
=
−2
2
(2)斜率是−2 ，在y轴上的截距是4.
= −2 + 4
课堂检测
4.判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)1 : =
(2)1 : =
1
1
+ 3，2 ：y = − 2；
2
2
5
3
，2 ： = − ；
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 = −1.
注意：只有斜率
相等不能保证直
线平行，还要说
明它们过两个不
同的点，否则有
可能重合.
直线的斜截式方程
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存
在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需
3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学
运算)
学习重难点
重点:直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.
难点:用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜
率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.
直线的点斜式方程
我们知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．这样，在平面
(1)直线l上每一个点的坐标(x，y)都
满足关系式 − 0 = − 0 ;
(2)坐标满足关系式 − 0 =
− 0 的每一个点都在直线l上.
若点1 1 , 1 的坐标1 ，1 满足关系式 − 0 = − 0 ,则
高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第22课时直线的点斜式方程A．直线经过点(－3，4)，斜率为2B．直线经过点(4，－3)，斜率为2C．直线经过点(3，－4)，斜率为2D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2答案 C解析直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2．2．经过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝33(x＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3) 答案 C解析 直线的斜率k ＝tan60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 答案 C解析 直线在y 轴上的截距为3的直线方程可以设为y ＝kx ＋3．将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k ＋3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3．4．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )答案 B解析 根据斜截式方程，得其斜率与在y 轴上的截距同号，故选B ．5．已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，l 2：y ＝－2x ＋1，l 3：y ＝－n x －n ．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8．又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2．∴m＋n ＝－10．故选A ．6．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( )答案 D解析 逐一判定即可，对于选项A ，由l 1的图象知a>0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A 错误；对于选项B ，由l 1的图象知a>0，b<0，由l 2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B 错误；对于选项C ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C 错误；对于选项D ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b>0，故D 正确．7．求斜率为4，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求与x ，y 轴的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b ，0，B(0，b)， ∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b 2＋b 2＝53|b|．∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝34x±3，即：3x －4y±12＝0．8．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限． 证明 方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)， 即y ＝35a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＋25，∴它表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25的直线． ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25在第一象限， ∴直线l 不论a 取何值，总过第一象限．一、选择题1．直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点( )A ．(－1，2)B ．(1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1) 答案 B解析 根据直线点斜式的定义可知，直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点(1，2)． 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 C解析 ∵x－2y －2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析 解法一：(1)当a>0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角且过原点，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a>0，A ，B ，C ，D 都不成立；(2)当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，所以A ，B ，C ，D 都不成立；(3)当a<0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角且过原点，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距a<0．C 正确．解法二(排除法)：直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，排除B 、D ，A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．从而得C 正确．4．下列叙述中正确的是( )A ．点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线B ．y －y 1x －x 1＝k 表示过点P(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程 C ．斜截式y ＝kx ＋b 适用于不平行于x 轴的任何直线 D ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB| 答案 A解析 对于选项A ，点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，所以正确；对于选项B ，显然P(x 1，y 1)不满足方程，不正确；对于选项C ，斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线，所以不正确；对于选项D ，直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|不正确，因为截距是b ，其值可正、可负、可为零．故选A ．5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．二、填空题6．已知直线l 在y 轴上的截距为1，且垂直于直线y ＝12x ，则l 的方程是________．答案 y ＝－2x ＋1解析 设垂直于直线y ＝12x 的直线l 的方程为y ＝－2x ＋m ．因为直线l 在y 轴上的截距为1，所以m ＝1，所以直线l 的方程是y ＝－2x ＋1．7．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M(－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°．若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x ＋3＝0；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．即x －3y ＋3＝0．综上所述，所求直线l′的方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0．8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2，2]． 三、解答题9．求过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线方程．解 当m ＝2时，过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x ＝2． 当m≠2时，直线的斜率为k ＝0－1m －2＝－1m －2．又直线过点N(2，1)，∴直线的点斜式方程为y －1＝－1m －2(x －2)．综上，当m ＝2时，所求的直线方程为x ＝2． 当m≠2时，所求的直线方程为y －1＝－1m －2(x －2)．10．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程．解 AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 的倾斜角α为30°或120°． 当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线的倾斜角为120°， 即其所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－3x ＋2－33， ∠A 平分线的倾斜角为30°，即其所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33．。
高中数学(3.2.1直线的点斜式方程)示范教案新人教A版必修2
3.2直线的方程直线的点斜式方程整体设计教课剖析直线方程的点斜式给出了依据已知一个点和斜率求直线方程的方法和门路. 在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的. 从一次函数y=kx ＋ b(k ≠ 0) 引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线能够从研究方程及方程的特点下手.在推导直线方程的点斜式时，依据直线这一结论，先猜想确立一条直线的条件，再依据猜想获得的条件求出直线的方程.三维目标1. 掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，认识直线方程的斜截式是点斜式的特例；培育学生思想的谨慎性和互相合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2. 指引学生依据直线这一结论商讨确立一条直线的条件，并会利用商讨出的条件求出直线的方程 . 培育学生形成谨慎的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特点及合用范围 , 培育和提高学生联系、对应、转变等辩证思想能力 .要点难点教课要点 : 指引学生依据直线这一结论商讨确立一条直线的条件，并会利用商讨出的条件求出直线的方程 .教课难点 : 在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特点及合用范围.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. 方程 y=kx ＋ b 与直线 l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适合板书. 它们之间存在着一一对应关系, 即（1）直线 l 上随意一点P(x 1,y 1) 的坐标是方程y=kx ＋ b 的解 .(2)(x 1,y 1) 是方程 y=kx+b 的解点P(x1,y1)在直线l上.这样仿佛直线能用方程表示, 这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程( 宣告课题).思路 2. 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，此刻，请同学们作一下回首：一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，它是以知足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的点组成的 . 因为函数式 y=kx+b 也能够看作二元一次方程 , 所以我们能够说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系 . 这节课我们就来学习直线的方程 ( 宣告课题 ). 推动新课新知研究提出问题①假如把直线当成结论，那么确立一条直线需要几个条件？如何依据所给条件求出直线的方程？②已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 P 1(x 1,y 1) ，如何求直线l 的方程 ?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率 k 不存在，则直线方程如何表示？⑤ k =y y 1与 y-y 1=k(x-x 1) 表示同向来线吗？x x 1⑥已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点（０，ｂ） ，如何求直线l 的方程？议论结果 : ①确立一条直线需要两个条件:a. 确立一条直线只需知道k 、b 即可；b. 确立一条直线只需知道直线l 上两个不一样的已知点 .②设 P(x ， y) 为 l 上随意一点，由经过两点的直线的斜率公式, 得 k=yy 1, 化简 , 得 y －x x 111y=k(x － x ).③方程导出的条件是直线 l 的斜率 k 存在 .④ a .x=0 ； b.x=x 1.⑤启迪学生回答 : 方程 k=yy 1表示的直线l 缺乏一个点 P 1(x 1,y 1), 而方程 y － y 1=k(x － x 1)x x 1表示的直线 l 才是整条直线 . ⑥ y =kx+b. 应用示例思路 1例 1一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α =45° , 求这条直线方程 , 并画出图形 .图 1解 : 这条直线经过点 P 1(-2,3),斜率是 k=tan45 ° =1. 代入点斜式方程, 得 y-3=x+2, 即x-y+5=0,这就是所求的直线方程 , 图形如图 1 所示.评论 : 此例是点斜式方程的直接运用, 要修业生娴熟掌握, 并具备必定的作图能力 .变式训练求直线 y=-3 (x-2) 绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转30°所得的直线方程 .解： 设直线 y=- 3 (x-2) 的倾斜角为α，则 tan α =- 3 ，又∵α∈［ 0° ,180 ° ) ，∴α =120°.∴所求的直线的倾斜角为 120° -30 ° =90° . ∴直线方程为 x=2.例 2 假如设两条直线l 1和 l 2的方程分别是 l :y=k x+b ,l :y=k x+b ，试议论 :111222（ 1）当 l 1∥ l 2 时，两条直线在 y 轴上的截距显然不一样，但哪些量是相等的？为何？（ 2） l 1⊥ l 2 的条件是什么？活动 : 学生思虑： 假如α 1=α 2，则 tan α 1=tan α 2 必定成立吗？何时不可立？由此可知： 假如 l 1 ∥l ，当此中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必然不存在. 反之，问：假如 2b 1 ≠b 2 且 k 1=k 2，则 l 1 与 l 2 的地点关系是如何的？由学生回答，要点说明α 1=α 2 得出 tan α1=tan α 2 的依照 .解: （ 1）当直线 l 1与 l 2有斜截式方程l :y=k x+b ,l :y=k x+b 时，直线 l ∥ l2k =k 且 b11122211 21≠ b 2. (2)l 1⊥ l 2 k 1 k 2 =-1.变式训练判断以下直线的地点关系:(1)l 1:y=1x+3,l 2:y=1x-2;22 (2)l :y= 53x,l :y=-x.1253答案： (1) 平行； (2) 垂直 .思路 2例 1已知直线 l：y=4x 和点 P(6 ，4) ，过点 P 引向来线 l与 l 1交于点 Q ，与 x 轴正半轴交1于点 R ，当△ OQR 的面积最小时，求直线 l 的方程 .活动 : 因为直线 l 过定点 P(6 ，4) ，所以只需求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线 l 的方程 .解： 因为过点 P(6 ， 4) 的直线方程为 x=6 和 y － 4=k(x － 6),当 l 的方程为 x=6 时，△ OQR 的面积为 S=72；当 l 的方程为 y － 4=k(x － 6) 时，有 R(6k 4,0) ， Q （6k4 , 24k 16 ) ，kk k 41 × 6k4×24k 16 8(3k2) 2此时△ OQR 的面积为 S=kk 4=4).2k(k变形为 (S －72)k 2＋ (96 － 4S)k －32=0(S ≠72).因为上述方程根的鉴别式Δ≥0，所以得 S ≥ 40.当且仅当 k=－ 1 时， S 有最小值 40.所以，直线 l 的方程为 y － 4=－(x － 6) ，即 x ＋ y － 10=0.评论： 本例是一道相关函数最值的综合题 . 如何恰入选用自变量，成立面积函数是解答本题的要点 . 如何求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜依据学生的实质状况进行启发和指导 .变式训练如图 2，要在土地 ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精准到1 m 2）（单位： m ） .图 2解：成立如图直角坐标系， 在线段 AB 上任取一点 P 分别向 CD 、DE 作垂线， 划得一矩形土地 .∵AB 方程为xx=1, 则设 P(x,20-2x)(0 ≤x ≤ 30),30202x ) ］ 3则 S 矩形 =(100-x) ［ 80-(20-3=- 2(x-5)2+6 000+50(0 ≤ x ≤ 30),33当 x=5 时， y=50，即 P （ 5，50）时， (S 矩形 ) max =6 017(m 2).33例 2 设△ ABC 的极点 A(1 ，3) ，边 AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x － 2y ＋1=0，y=1，求△ ABC 中 AB 、 AC 各边所在直线的方程 .活动 : 为了搞清△ ABC 中各相关元素的地点状况，我们第一依据已知条件，画出简图 3, 帮助思虑问题 .解: 如图 3, 设 AC 的中点为 F ， AC 边上的中线 BF ： y=1.图 3AB 边的中点为 E ， AB 边上中线 CE ： x － 2y ＋ 1=0.m 1 n 3设 C 点坐标为 (m ， n), 则 F(,2).2又 F 在 AC 中线上 , 则n 3=1,2∴n=-1.又 C 点在中线 CE 上，应该知足 CE 的方程，则 m － 2n ＋ 1=0.∴m=－ 3. ∴C 点为 ( － 3，－ 1).设 B 点为 (a,1), 则 AB 中点 E(1a , 31), 即 E(1a,2).222又 E 在 AB 中线上 , 则1 a-4+1=0. ∴ a=5.2∴B 点为 (5 ， 1).由两点式 , 获得 AB ，AC 所在直线的方程 AC ： x － y ＋ 2=0,AB ： x ＋ 2y － 7=0.评论： 本题思路较为复杂，应使同学们做完后从中意会到两点：(1) 中点分式要灵巧应用；(2) 假如一个点在直线上，则这点的坐标知足这条直线的方程，这一观点一定紧紧地建立起来.变式训练已知点 M （ 1，0），N （－ 1，0）, 点 P 为直线 2x-y-1=0 上的动点，则 |PM| 2+|PN| 2 的最小值为何？解： ∵ P 点在直线 2x-y-1=0 上 , ∴设 P （ x 0,2x 0-1 ） . ∴ |PM| 2+|PN| 2=10(x 0- 2) 2+12 ≥12.55 5∴最小值为12.5知能训练课本本节练习1、２、３、４ .拓展提高已知直线 y=kx ＋ k ＋2 与以 A(0，－ 3) 、B(3 ， 0) 为端点的线段订交，务实数 k 的取值范围 .图 4活动 : 本题要第一画出图形 4，帮助我们搜寻思路，认真研究直线 y=kx ＋ k ＋ 2，我们发现它能够变成 y － 2=k(x ＋ 1) ，这就能够看出， 这是过 ( － 1，2) 点的一组直线 . 设这个定点为 P( －1， 2).解： 我们设 PA 的倾斜角为α 1， PC 的倾斜角为α， PB 的倾斜角为α 2，且α 1＜α＜α 2 .则 k 1=tan α 1＜ k ＜ k 2=tan α 2. 又 k 1=23=-5 ，k 2=2 3 =- 1，11 2则实数 k 的取值范围是 -5 ＜ k ＜ - 1.2讲堂小结经过本节学习，要求大家：1. 掌握由一点和斜率导出直线方程的方法， 掌握直线的点斜式方程， 认识直线方程的斜截式是点斜式的特例 .2. 指引学生依据直线这一结论商讨确立一条直线的条件， 并会利用商讨出的条件求出直线的方程 . 作业 习题 3.2 A组 2、3、5.设计感想直线方程的点斜式给出了依据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和门路. 在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的 .从初中代数中的一次函数y=kx ＋ b(k ≠0) 引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题 . 在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线能够从研究方程及方程的特点下手 .。
人教A版数学必修二3.2.1《直线的点斜式方程》学案
甘肃省永昌县第一中学高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教A 版必修2学习目标：1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学习重点、难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用学习学习过程 一、展示目标 二、自主学习1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。
三、交流互动问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上问题2、直线l经过点00,y x 之间的关系。
的任意一点，请建立yx ,问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）),00y ，斜率为k 的直线l 上吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经 问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标么？y 轴所在直线的方程是什问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于xy 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y x 轴）的直线方程是什么？问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
问题8、观察方程b kx y+=，它的形式具有什么特点？·B问题9、直线b kx y +=在x 轴上的截距是什么？问题10、你如何从直线方程的角度认识一次函数b kx y +=？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数3,3,12+-==-=x y x y x y 图象的特点吗？例2.直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+。
试讨论：（1）12l l 平行的条件是什么？ （2）12l l 垂直的条件是什么？四、达标检测1.过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．(易错题)2.经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程五、归纳总结：教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版
3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解 方法一 由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二 由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程． 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________． 对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________． 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)， 故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时， 设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0； 当a ≠0，且截距互为相反数时， 设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ， 由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析 该直线过原点时， 设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)， 即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________． 答案 3x ＋2y －6＝0解析 由题意知，直线在y 轴上的截距为3， 则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
新课标人教A版必修二第三章 直线与方程 (教案)
第三章直线与方程章末归纳提升α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视．(1)对应关系①α≠90°时，k＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在．(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时,k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0.经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在．已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围．【思路点拨】本题主要考查斜率公式及数形结合思想．根据题意知l介于P A和PB之间，由数形结合知k l≤k PB或k l≥k AP，故由斜率公式求出k P A，k PB即可解决问题．【规范解答】∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，∴k P A ＝2－－－1－－＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12， 当l 由P A 变化到与y 轴平行时，其倾斜角由α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，当l 由与y 轴平行变化到PB 的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12， ∴直线l 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围．【解】 (1)由斜率公式得直线AB 的斜率k AB ＝1－11－－1＝0， 直线BC 的斜率k BC ＝3＋1－12－1＝3，直线AC 的斜率k AC ＝3＋1－12－－1＝33. 故可得AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图所示，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k AC增大到k BC ，故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.示所有的直线．直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式．已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．【思路点拨】 利用A 、B 两点求AB 边的方程―→点斜式求AC 、BC 的方程．【规范解答】 (1)∵A (1,1)，B (5,1)．∴AB ∥x 轴，∴AB 方程为y ＝1.(2)∵∠A ＝60°，∴k AC ＝3，∴AC 方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y ＋1－3＝0.∵∠B ＝45°，∴k BC ＝－1，∴BC 方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0.过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 ( )A ．x ＋y ＝5B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线在两坐标轴上的截距a ，b 都不为零时，可设所求方程为x a＋y b ＝1，将点A (4,1)代入得：4a ＋1b＝1，又a ＝b ，解之得：a ＝b ＝5，所以所求方程为x ＋y －5＝0.当a ＝b ＝0时直线过原点，又过点A (4,1)，此时所求方程为：y ＝14x ，即x －4y ＝0，所以C 对．【答案】 C型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2时，可令A 1B 2－A 2B 1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l 1⊥l 2时，可利用A 1A 2＋B 1B 2＝0直接求参数的值．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1⊥l 2；(2)l 1∥l 2.【思路点拨】 已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解．【规范解答】 法一 当m ＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m ≠0且m ≠2时，直线l 1，l 2的斜率分别为：－1m ，2－m 3.(1)若l 1⊥l 2，则－1m ·2－m 3＝－1，解得m ＝12.(2)若l 1∥l 2，则由－1m ＝2－m 3得m ＝－1或m ＝3.又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝3舍去．故l 1∥l 2时，m ＝－1.法二 (1)∵l 1⊥l 2，∴m －2＋3m ＝0，∴m ＝12.(2)∵l 1∥l 2，∴3－m (m －2)＝0且2m ≠6(m －2)，故m ＝－1.已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求满足下列条件直线l ′的方程．(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．【解】 法一 由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．转化思想是解决对称问题的主要思想方法，其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇到直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．【思路点拨】 本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l 对称，用求对称点的方法求出入射线上一点P 关于l 的对称点，再由两点式写出方程．【规范解答】 法一 由⎩⎨⎧ 3x －2y ＋7＝0，x －2y ＋5＝0得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2，即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l ，可知k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5， 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋5＝－23，32x 0－5－y 0＋7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1713，y 0＝－3213，即P ′点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1713，－3213. 反射光线过M (－1,2)和P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－1713，－3213. 根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23.又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－y ＋y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入直线x －2y ＋5＝0整理得29x －2y ＋33＝0即为所求的直线方程．求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0的对称直线l 2的方程．【解】 解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－2，所以直线l 1与l 相交，且交点为E (3，－2)，E 也在直线l 2上，在直线l 1：2x ＋y －4＝0上取点A (2,0)，设点A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 3×2＋x 02＋4×0＋y 02－1＝0，y 0－0x 0－2＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝45，y 0＝－85，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85. 故由两点式得直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【思路点拨】 分截距为零和不为零两类求解．【规范解答】 ①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x ＋y ＝0.②当a ＝－1时，直线在x 轴上无截距，不符合题意，故当a ≠－1且a ≠2时，由题意得：a －2a ＋1＝a －2，解得：a ＝0.此时直线的方程为：x ＋y ＋2＝0. 综上，所求直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．【解】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．(2)当两条直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx .令y ＝0，得x ＝－1，x ＝－2k .由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.所以所求直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.。
高二数学选一人教A版直线的点斜式方程+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程一、单选题（本大题共3小题，共15分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.倾斜角为，在y轴上的截距为的直线的方程是( )A. B. C. D.2.方程表示( )A. 过点的所有直线B. 过点的所有直线C. 过点且不垂直于x轴的所有直线D. 过点且除去x轴的所有直线3.过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）4.直线必过定点，则该定点的坐标是__________.5.若直线l过点，且平行于过点和的直线，则直线l的斜截式方程为__________. 6.已知直线，若与垂直，则__________.7.已知直线过点且与直线垂直，则的点斜式方程为__________.三、解答题（本大题共8小题，共96分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）8.本小题12分求满足下列条件的直线的点斜式方程.过点，斜率过点，且与x轴垂直;过点，倾斜角是9.本小题12分已知直线求证：直线l恒过一个定点.10.本小题12分求过点，倾斜角为的直线的点斜式方程;求过点，平行于x轴的直线的点斜式方程.11.本小题12分求下列直线的斜截式方程.斜率为，在y轴上的截距为在y轴上的截距为2，且与x轴平行;倾斜角为，与y轴的交点到原点的距离为思路分析找出斜率和截距，直接代入斜截式方程，即可求解.12.本小题12分当a为何值时，直线与直线平行?当a为何值时，直线与直线垂直?13.本小题12分求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线的方程.经过点在y轴上的截距为14.本小题12分如图，在平行四边形OABC中，点，点求AB所在直线的方程;过点C作，交AB于点D，求CD所在直线的方程.15.本小题12分如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴上，线段AB与y轴相交于点D，且求直线AB的方程写成斜截式求点C的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查斜截式方程，是基础题【解答】倾斜角为，，直线的斜截式方程为2.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线点斜式方程和过定点问题，是基础题【解答】解：由方程可知直线过点且直线斜率存在，即可表示为过点且不垂直于x轴的所有直线3.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的点斜式方程，是基础题.由倾斜角求斜率，代入直线的点斜式方程即可得解.【解答】解：由直线的倾斜角为，得到直线的斜率，又直线过，则直线的方程为：故选4.【答案】【解析】【分析】本题考查直线恒过定点，属于基础题.【解答】解：将直线的方程转化为点斜式得，所以该直线过定点5.【答案】【解析】【分析】本题考查直线平行斜率关系、斜截式方程，是基础题【解答】解析由于直线，且直线MN的斜率为，所以直线l的斜率为又直线l过点，所以直线l的方程为，即6.【答案】【解析】【分析】本题考查两直线垂直的判定，是基础题【解答】解析的方程为，它的斜率为，与垂直，，解得7.【答案】【解析】【分析】本题考查直线垂直斜率的关系和点斜式方程，是基础题【解答】解：直线与直线垂直，所以，因为直线过点，8.【答案】解：直线过点，斜率，直线的点斜式方程为与x轴垂直的直线，其斜率不存在，直线的方程为直线的倾斜角是，，又直线过点，直线的点斜式方程为【解析】本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.根据直线的点斜式方程可得；与x轴垂直的直线，其斜率不存在，可得直线方程；利用直线的倾斜角是，求出斜率，再由直线的点斜式方程可得.9.【答案】证明：由得由直线l的点斜式方程可知，直线l恒过定点【解析】本题考查直线恒过定点，属于基础题.得到，可知直线恒过定点10.【答案】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以所求直线的点斜式方程为因为直线平行于x轴，所以直线的斜率，所以所求直线的方程为【解析】本题考查点斜式方程和倾斜角与斜率的关系，是基础题11.【答案】解：由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的斜截式方程为由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的方程为因为直线的倾斜角为，所以斜率为，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距或，故所求直线的斜截式方程为或【解析】本题考查斜截式方程和倾斜角，是基础题12.【答案】解析由题意可知，，，，解得故当时，直线与直线平行.由题意可知，，，，，解得故当时，直线与直线垂直.【解析】本题考查直线平行或垂直的判定，是中档题13.【答案】解析由于直线的斜率为，且倾斜角，所以其倾斜角为由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率由于直线经过点，所以由直线的点斜式方程得因为直线在y轴上的截距为，所以由直线的斜截式方程得【解析】本题考查点斜式方程和斜截式方程，是基础题14.【答案】解析四边形OABC是平行四边形，，所在直线的斜率，所在直线的方程为由知，，所在直线的斜率，所在直线的方程为【解析】本题考查点斜式方程，考查两直线垂直斜率关系，是基础题15.【答案】解析在中，点A的坐标为，点B的坐标为，直线AB的斜率，直线AB的方程为，即由知，，，，直线CD的方程为，令，得，点C的坐标为【解析】本题考查点斜式方程和两直线垂直斜率关系，是基础题。
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学年高中数学直线与方程直线的点斜式方程学案含解析新人教A版必修文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]3．2.1 直线的点斜式方程点斜式、斜截式[如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝y－y0x－x0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.[例1]的直线方程为________________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，即方程为x＋y－3＝0.(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝12，故所求的直线方程为y＝1 2 x.[例2] (1)的直线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l 与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．[解] (1)y＝－33x－3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.[例3](1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎨⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．[活学活用]1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.答案：3 82．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．答案：3[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．[解] 由题设l2的方程可化为y＝－m－23x－23m，则其斜率k2＝－m－2 3，在y轴上的截距b2＝－23m.∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－1mx－6m.由l1∥l2，得⎩⎨⎧－m－23＝－1m，－23m≠－6m，解得m＝－1.∴m的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，解得a＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)( )A．可以表示任何一条直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与坐标轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线答案：D2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( )A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3答案：A3．直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．答案：－24．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y＝－3x＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．解：(1)2x－y－1＝0 (2)x＋3y＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案：C2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0答案：A5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是( )A．平行B．垂直C．重合D．无法判断答案：A二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y－1＝23(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y－2＝23(x＋3)7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．答案：1 5三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB的斜率k AB＝－3－03－?－5?＝－38，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－38(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，k BC＝2＋30－3＝－5 3，k AC＝2－00＋5＝25，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x 轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．解：由题意知，直线l的斜率为32，故设直线l的方程为y＝32x＋b，l在x轴上的截距为－23b，在y轴上的截距为b，所以－23b－b＝1，b＝－3 5，直线l的方程为y＝32x－35，即15x－10y－6＝0.。