八年级数学上册,立方根知识点总结,典型题型归纳,同步练习题

立方根知识点总结、题型归纳及同步练习题

1．立方根的概念和性质

1.1.定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．

1.2.表示方法：一个数a a”，其中a是被开方数，3是根指数．

1.3.拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．

2．开立方

2.1.定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．

2.2.性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；

=

③3=a．

2.3.开立方是一种运算：正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．

3．平方根和立方根的区别和联系

3.1.被开方数的取值范围不同：

在a是非负数，即a≥0；

中，被开方数a是任意数．

3.2.运算后的数量不同

一个正数有两个平方根，负数没有平方根；

而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．

❖ 典型题型：求立方根和开立方

根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．

【例1】-64的立方根是

A ．-4

B ．4

C ．±4

D ．不存在 【答案】A

【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．

【例2

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．±1 【答案】A

【解析】-1-1，故选A ．

【例3】下列计算中，错误的是

A B 34

=-

C 112=

D ．25=- 【答案】D

【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ．

【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125

． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．

（2）因为32

8()5125=，所以8125的立方根是25

．

【例5】求下列各式的值：

（1；（23）

【解析】（123 ❖ 典型题型：利用立方根的知识解方程

只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．

【例6】若a 3=–8，则a =__________．

【答案】–2

【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．

【例7】求下列各式中的x ：

（1）8x 3+125=0； （2）（x +3）3+27=0．

【解析】（1）因为381250x +=，所以38125x =-，所以 （2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，所以33x +=-，所以6x =-．

❖ 典型例题：平方根和立方根的综合应用

在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．

【例8】64的平方根和立方根分别是

A ．8，4

B ．8，±4

C ．±8，±4

D ．±8，4

【答案】D

【解析】因为（±

8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．

【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5.

又∵3a+b-1的立方根是4，所以3a+b-1=64，∴b=50.

∴a+b=55

∴a+b的平方根是55

±

【例10】已知x+12的算术平方根是13，2x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；

（2）求3xy的平方根．

【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．

∴x+12=2

(13)=13，2x+y-6=23=8，

∴x=1，y=12．

（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，

∵36的平方根是±6，

∴3xy的平方根±6.

基础练习

1．-27的立方根是

A．3 B．-3 C．9 D．-9 2．判断下列说法错误的是

A．2是8的立方根B．±4是64的立方根

C．-1

3

是-

1

27

的立方根D．（-4）3的立方根是-4

338

A．2 B．±2 C2D．2

±4．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为A．±4 B．4 C．±2 D．2

5．下列说法正确的是

A．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数一定是零

B．一个数的立方根和这个数同号，零的立方根是零

C．一个数的立方根不是正数就是负数

D．负数没有立方根

6．

7．如果一个数的平方根等于这个数的立方根，那么这个数是__________．

8-7，则a=__________．

9=__________．

10．求下列各数的立方根：

（1）27

216

；（2）6

10-

-．

11．已知4是3a–2的算术平方根，2–15a–b的立方根为–5．

（1）求a和b的值；

（2）求2b–a–4的平方根．

12．求下列各式中的x：

（1）8x3+27=0；

（2）64（x+1）3=27．

13．小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30（长度单位为厘米），现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米？（结果精确到1厘米）