角平分线的性质和判定
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3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
作业：94页习题3,4.
辉县市城北中学
原玉荣
思考题
1. 什么叫角平线？
2 .画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过P 向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
A
D
C
P
O
B
E
命题：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
3. 92页练习
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
角的平分线上。
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D,E. PD=PE.
求证： 点P在∠AOB的平分线上。
用符号语言表示为： ∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠1= ∠2 .
A
D C
P
1
2
O
EB
由上面两个定理可知：到角两边的距离相等的 点，都在这个角的平分线上；反过来，角平分线上 的点到角的两边的距离相等。这两个定理互为逆定 理.
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE.
D
P
C
O
B
E
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA于D ，PE ⊥OB
P
于E, ∴PD=PE.
1
O
2
B
E
交换定理的题设和结论得到的命题为：
角平分线的判定
定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM 上（已知）
∴PD=PE
A
（等在）角平分线上的点到角的两边的距离D相
F
同理 PE=PF.
N PM
∴ PD=PE=PF.
B
C
即点P到边AB、BC、CA的距离相等 E
试一试
试证明：三角形的三条角平分线交于一 点.
（提示：可证明两条角平分线的交点一定 在第三条角平分线上. ）
A
练一练 12
1.填空：
1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_Dwenku.baidu.comE____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
作业：94页习题3,4.
辉县市城北中学
原玉荣
思考题
1. 什么叫角平线？
2 .画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过P 向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
A
D
C
P
O
B
E
命题：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
3. 92页练习
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
角的平分线上。
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D,E. PD=PE.
求证： 点P在∠AOB的平分线上。
用符号语言表示为： ∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠1= ∠2 .
A
D C
P
1
2
O
EB
由上面两个定理可知：到角两边的距离相等的 点，都在这个角的平分线上；反过来，角平分线上 的点到角的两边的距离相等。这两个定理互为逆定 理.
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE.
D
P
C
O
B
E
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA于D ，PE ⊥OB
P
于E, ∴PD=PE.
1
O
2
B
E
交换定理的题设和结论得到的命题为：
角平分线的判定
定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM 上（已知）
∴PD=PE
A
（等在）角平分线上的点到角的两边的距离D相
F
同理 PE=PF.
N PM
∴ PD=PE=PF.
B
C
即点P到边AB、BC、CA的距离相等 E
试一试
试证明：三角形的三条角平分线交于一 点.
（提示：可证明两条角平分线的交点一定 在第三条角平分线上. ）
A
练一练 12
1.填空：
1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_Dwenku.baidu.comE____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)