北京四中初二添加辅助线构造全等三角形

添加辅助线构造全等三角形

编稿：范兴亚审稿：赵云洁责编:邵剑英

一．本周内容：

在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。

二．例题详解

1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等

1．已知：如图AB=AD，CB=CD，

(1)求证：∠B=∠D．

(2)若AE=AF

试猜想CE与CF的大小关系并证明．

分析：

(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题中要证明∠B=∠D．在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了∠B=∠D。

如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠B=∠D更为简单

(2)猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到∠EAC=∠FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。

证明：(1)方法1、连结AC，证明△ABC≌△ADC，进而∠B=∠D。

方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，∠ABD=∠ADB．同理，∠CBD=∠CDB．

所以，∠ABD-∠CBD=∠ADB-∠CDB，即∠B=∠D。

(2)由(1)得∠B=∠D，又因为BE=DF，CB=CD,故△BCE≌△CDF，进而CE=CF。

通过例1我们应该初步体会添加辅助线的必要性，例1(1)(2)两个小问，从添加辅助线证明一次全等得角相等，到添加辅助线证明二次全等线段等，我们感觉到了问题层次的递进。特别是例1(1)中如果B、C、D共线的时候我们可以得到等边对等角的结论。为例2使用做铺垫。

练习：

(1)已知：如图AB=CD，AD=BC，

求证：∠A=∠C．

分析：根据已知条件AB=CD，AD=BC，连结公共边BD(AC)，可以发现三角形ABD全等于三角形CBD(可以发现三角形ABC 全等于三角形ADC)，在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似。

证明：连结AC(BD)，证明△ABC≌△ADC(△ABD≌△CDB)。

(2)己知：如图，∠B=∠C，求证：AB=AC

分析：可以不添加辅助线把三角形ABC和ACB看成不同的三角形，证明全等。但是作AD垂直BC与点D，可以发现三角形ABD全等于三角形ACD，证明显的更加自然。

证明：方法1：易证△ABC≌△ACB，进而AB=AC。

方法2：作AD⊥BC垂足为点D，证明△ABD≌△ACD，进而证明AB=AC 小结：上述例题和练习体现了“见山开道，遇水搭桥”的辅助线添加方法，分析题目的条件和结论，发现只需要添加公共边就可以达到构造全等三角形，进而证明线段(角)相等的结沦。

2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

2．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。

求证：AC=BF。

分析：欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中

法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH

∵ D为BC中点

∴ BD=DC

在△ADC和△HDB中

∴△ADC≌△HDB(SAS)

∴ AC=BH, ∠H=∠HAC

∵ EA=EF

∴∠HAE=∠AFE

又∵∠BFH=∠AFE

∴ BH=BF

∴ BF=AC

法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等。

小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中法三：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。证明△CDH和△BDF全等。

证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。

∵ D为BC中点

∴ BD=CD

在△BFD和△CHD中

∴△BFD≌△CHD(SAS)

∴∠H=∠BFH

∵ AE=FE

∴∠HAC=∠AFE

又∵∠AFE=∠BFH

∴∠H=∠HAC

∴ CH=CA

∴ BF=AC

法四：过C点作CH平行BF与AD的延长线相交于点H，证明△CDH和△BDF全等。

小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。