河南省郑州市高一上学期期末考试数学考试题

2017-2018学年上期期末考试
高一数学试题卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}3,2{=A ，}5,{a B =，若集合B A 中有3个元素，则=a （ ） A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ．2或3
2.已知点)3,2(),1,2(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．022=+-y x B ．042=-+y x C ．022=-+y x D ．012=+-y x
3.函数)23ln(1
1
)(x x x f -+-=
的定义域为（ ） A ． )23,1[ B ． )23,1( C ． ]23,1[ D ． ),2
3(+∞ 4.已知R y x ∈,且0>>y x ，则（ ）
A ．
011>-y x B ．33y x < C. 0)3
1
()31(<-y x D ．0lg lg >+y x 5.若直线01:=--y x l 始终平分圆0342:2
2
=-+-+y ax y x M 的周长，则a 的值为（ ）
A ． -2
B ．-1 C. 2 D ．4
6.已知函数x
x
e
e x
f )1
()(-=（ 71828.2≈e ），则)(x f （ ）
A ．是偶函数，且在R 上是增函数
B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C. 是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大面的面积是（ ）
A ．5
B ．3 C.
2
5
3 D ．53 8.如图，在四边形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，2==DC AD ，2=CB ，动点P
从点A 出发，按照B C D A →→→路径沿边运动，设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y ，则函数)(x f y =的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
9.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。

“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AOB 的半径为3，圆心角为0
90，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ． π3
B ． π6 C. π9 D ．π27 10.已知函数⎩⎨
⎧≥<+-=2,log 2
,34)(2
x x x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． )4
3,0( B ． ]1,0( C. )2
3
,1( D ．]2
3,0(
11.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是AED ∆绕
DE 旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：①//AC 平面DF A '；②平面⊥GF A '平
面BCED ；③动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上；④异面直线E A '与BD 不可能垂直. 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2 C. 3 D ．4
12.已知点),(y x P 是直线042=+-y x 上一动点，直线PB PA ,是圆02:2
2
=++y y x C 的两条切线，B A ,为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ． 2 B ．5 C. 52 D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在空间直角坐标系中，已知)1,2,1(-A ，)5,2,3(B ，P 是AB 的中点，则点P 到坐标原点的距离为 ．
14.给定集合}2,1,2{-=A ，}6,5,2,1{=B ，定义一种新运算：
},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=⊕且或，试用列举法写出=⊕B A ．
15.已知点)0,3(-A ，)2,1(B ，若圆)0()4()3(:2
2
2
>=-+-r r y x C 与以线段AB 为直径的圆相外切，则实数r 的值是 ．
16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函
数，例如：3]1.2[-=-，3]1.3[=，已知函数3
1
212)(1-+=+x
x x f ，则函数][x y =的值域是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合}0)1)((|{=+--=a x a x x A ，}0))(2(|{=--=b x x x B )2(≠b ，
}5321|{<-<=x x C .
（1）若B A =，求b 的值；
（2）若C C A = ，求a 的取值范围.
18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)2,3(-A ，)3,4(B ，
)2,1(--C .
（1）在ABC ∆中，求BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积.
19. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如图所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
20. 已知四边形ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直，DC AD ⊥，DC AB //，
DC AD AB 2
1
=
=.
（1）证明：⊥BC 平面BDE ； （2）M 为线段AD 上的点，且MD AM 21=，N 是线段DE 上一点，且NE DN 2
1
=，求证：//MN 平面BCE .
21. 已知函数)(1
22
2)(R m m x f x x ∈++--
=. （1）当3=m 时，判断并证明函数)(x f 的奇偶性； （2）当1>m 时，判断并证明函数)(x f 在R 上的单调性.
22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆)0(0:2
2
>=++a ay y x M ，直线
027:=--y x l ，且直线l 与圆M 相交于不同的两点B A ,.
（1）若4=a ，求弦AB 的长；
（2）设直线OB OA ,的斜率分别为21,k k ，若6
1
21=
+k k ，求圆M 的方程.
试卷答案
二、填空题
13. 13 14. {}6,5,2- 15. 55- 16. {}1,0,1- 三、解答题
17.解：{}1A a a =-，，{}2,B b =，
（Ⅰ）若2a =，则{}12A =，，
A B =∴11b a =-=.
若12a -=，则3a =，{}23A =，，∴3b =. 综上，b 的值为1或3.
（Ⅱ）∵{|24}C x x =<<，
,A C C A C =∴⊆, ∴24,214a a <<⎧⎨<-<⎩
∴34a <<.
∴a 的取值范围是（3,4） 18.解：(I)直线BC 的斜率32
141
BC k +=
=+. ∴BC 边上的高线斜率1-=k ，
∴BC 边上的高线方程为：()23y x -=-+ 即：10x y ++=， (II) )2,1(),3,4(--C B
BC ∴=
=
由)2,1(),3,4(--C B 得直线BC 的方程为：10x y --=.
A ∴到直线BC 的距离d =
=1
152
ABC S ∆∴=⨯=.
19.解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为()48040152040x x --=-， 由于0x >，且520400x ->，即013x <<，
于是,可得()52040200y x x =--2
40520200,013.x x x =-+-<<
易知，当 6.5x =时，y 有最大值，
所以，只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 20.证明（Ⅰ）
CDEF ABCD 平面平面⊥，CD CDEF ABCD =平面平面 ,
在正方形CDEF 中,ED DC ⊥
∴ABCD ED 平面⊥,ED BC ∴⊥.
取DC 的中点G 连接BG ，1
2
DG DC =
,在四边形ABCD 中， //,AB DC 1
2
AB DC =
, ABGD 四边形∴为平行四边形，
.AB AD =∴1
2
BG DC =
所以,点B 在以DC 为直径的圆上，所以DB BC ⊥, 又
ED BD D =,
所以BDE BC 平面⊥, （Ⅱ）如图,
取DC 的中点G ，连接AG ,在DC 上取点P 使
1
3DP DC =,连接NP 1
3
DN DP DE DC ==， //PN EC ∴,//PN BCE ∴面,
连接MP ，2
3
DM DP G DC DA DG ∴
==为中点，,//MP AG ∴. 又
//,,AB CG AB CG ABCG =∴为平行四边形，
//AG BC ∴,//MP BC ∴,//MP BCE ∴面,
又
MP NP P =，MNP BCE ∴平面//平面.
MNP MN 平面⊂ ,所以MN //平面BCE .
21.解：（Ⅰ）当3m =时，f(x)为R 上的奇函数 证明如下：
()21212121x
x x f x -=-+=++，定义域为R
()()112212211221x x x
x x
x f x f x -----===-=-++-+.
所以，函数()f x 为奇函数.
（Ⅱ）当1m >时，函数()f x 在R 上单调递减， 证明如下：
任取1212,,x x R x x ∈<且，则
()()12
1211111212x x f m x m f x ⎛
⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪+⎝-+⎝-⎭⎭
(
)(
)()
21
121
2(1)2221212121
11
x x x x x x m m m --=
-=+++-+-. 因为12x x <，所以21220x x
->，()()
1221210x x ++>，又10m ->
所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >. 所以，函数()f x 在R 上单调递减.
22.解：（Ⅰ）由题意知，4=a 时圆心M 坐标为()0.2-，半径为2，
圆心到直线距离d =
=
所以弦5
7
4257242=-=AB ;
（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，
,0
0272
2⎩⎨⎧=++=--ay y x y x 联立得()2502840y a y ++=+.
()2
2816500,28,a a ∆=+-⨯>∴>
100
800)28()28(22
,1-+±+-=
a a y 则1212284
500
,.5y y a y y +=-⋅=+ 于是()()121221121212111222
7272(72)(72)
y y y y y x y x k k x x x x y y y y +++=
+==
++++ ()1121212214(1)4221
,491444
6
y y y y y y y a y a ++-=
-++=++=
∴,2=a
所以圆的方程为2
2
20x y y ++=.。