0-1规划非线性规划例

max Z =
n
n
∑
j =1
ω jc j x j
（3-30a） （3-30b）
∑
j =1
a ij x
j
≤bi
xj = 0，1， j = 1，2，…，n （3-30c） 求解以上0-1规划模型，即可选出适合进行投资的项目，在方案实施前，还需 要对优化结果进行分析。如果最优解中某些资源对应的松弛变量较大，资源没有充分利 用，而其他一些资源则起控制性作用，这时可对控制性资源进行分析和调整，如增加其 数量或压缩某些工程的需求量。如果某些重要的工程没被选上，则可以考虑增加其权重 系数。对优化结果进行一定的分析和调整后，可提出工程投资建议，供决策者参考。
（3-31b）
•
（2）建设资金约束：某规划水平年中工程项目的建设资金，不应大于当年的 投资总额，即 n
∑K x
• • •
i =1 T
i it
≤ M t , t = 1,2,..., T
（3-31c）
（3）建设项目约束：每个项目最多投资建设1次，即
∑x
（4）0-1约束：
t =1
it
≤ 1, i = 1, 2 ,..., n
12
12Leabharlann 121212
•
• • • • • • • • • • • • • • • • •
i =1
i =1
i =1
i =1
（2-59a)
i =1
约束条件包括： （1）各类用水户最小供水量限制 工业用户： xji ≥ W’j ， j = 1，2，3； i = 1，2，…，12 农业用户： xji ≥ W’ji ， j = 4，5； i = 1，2，…，12 （2）各类用水户最大需水量限制 工业用户： xji ≤ Wj ， j = 1，2，3； i = 1，2，…，12 农业用户： xji ≤ Wji ， j = 4，5； i = 1，2，…，12 （3）水库水量平衡条件
min Z = ∑∑ Kit xit / (1 + r )t −1
t =1 i =1
T
n
（3-31a）
约束条件包括以下几项： （1）供水能力约束：规划期内新建水源工程的累积供水能力满足城市需水的增长 要求，即
t n i it
•
•
∑ ∑V x
s =1 i =1
≥ W t ,t = 1, 2 ,..., T
Si / cm
•
•
• • • •
土壤基质吸力S与体积含水量θ数据（ 土壤基质吸力S与体积含水量θ数据（例4-21） 21）
1255 0.08 53 0.28 447 0.10 43 0.30 330 0.12 34 0.32 259 0.14 26 0.34 209 0.16 18 0.36 168 0.18 10 0.38 134 0.20 3 0.40 106 0.22 0 0.41
（2-59b) （2-59c) （2-59d) （2-59e)
V i = V i −1 + R i −
5
∑
j =1
x ij − E i − Q i , i = 1, 2 ,..., 12
（2-59f)
式中Vi-1， Vi 分别为第i月初、月末的水库蓄水量， Ei为第i月的水库蒸发、渗漏等损 失水量，Qi为第i月的水库弃水量。由于水库弃水量Qi ≥0，因此约束（2-59f)也可表示 5 为 V i ≤ V i − 1 + R i − ∑ x ij − E i , i = 1, 2 ,..., 12 （2-59f’) j =1 （4）水库蓄水量限制 Vmin ≤ Vi ≤ Vmax ， i＝1，2，…，12 （2-59g) V0 = V12 = Vmax （2-59h) （5）非负条件 xji ≥ W’j ， j = 1，2，…，5； i = 1，2，…，12 （2-59i) 各参数给定后，求解以上模型即可得到供水效益最大的优化供水方案。
表2-16 用 水 工 业 农 业 户 I1 I2 I3 A1 A2 各类用户有关数据（ 各类用户有关数据（例2-19） ）
效益权重系数 月最大需水量 月最小供水量
单位供水效益
备 注
c1 c2 c3 c4i c5i
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
W1 W2 W3 W4i W5i
W1’ W2’ W3’ W4i’ W5i’
max Z =
N
∑
k =1
g k ( xk )
(5-13c) (5-13d)
（7）约束条件 0≤ qk ≤Q，0 ≤ xk ≤ qk， k = 1，2，…，N 建立模型后，可采用逆序法进行递推求解，其基本方程为
f k* ( q k ) = max g k ( x k ) + f k*+1 (q k − x k ) , k = N , N − 1,..., 2 ,1
•
•
例2-2 有限水资源条件下灌区种植结构优化问题：一个灌区耕地面积 1000hm2，可用灌溉水量360万m3。在安排种植计划时考虑两种粮食作物A， B，其灌溉定额分别为3000 m3/ hm2、6000 m3/ hm2，每公顷净收入分别为 4500元/ hm2、6000元/ hm2。问如何安排两种作物的种植面积才能使整个灌 区净收入最大？ 如果灌区灌溉水量不受限制，则优先安排单位面积净收入大的作物，可 以使灌区净收入最大。但在灌溉水量不足的情况下，需要合理安排种植计划， 才能达到最大净收入。 解：以作物A，B的种植面积x1，x2为决策变量。 目标函数：总净收入（万元）最大 max Z = 0.45x1+0.60 x2 约束条件： （1） 耕地面积（hm2） x1 ＋ x2 ≤1000 （2）灌溉水量（万m3） 0.3 x1 ＋ 0.6 x2 ≤ 360 （3） 非负约束 x1， x2 ≥0
i =1,2，…， 12 代表不 同月份
解：以向各类用水户各月的供水量xji为决策变量，其中j=1,2，…，5 分 别对应I1，I2，I3，A1，A2 等5类用水户，i=1,2，…，12 为月份。 目标函数：全年的加权供水效益最大，即
max Z = λ1c1 ∑ x1i + λ 2 c 2 ∑ x 2 i +λ3 c3 ∑ x3i +λ 4 c 4 ∑ c 4 i x 4 i +λ5 c5 ∑ c5 i x5 i
•
•
• • • • • • • • • •
例3-10 一城市根据发展规划，预测了规划期T内年末的需水量比现状需水量增加 Wt（t = 1，2，…，T），同时确定了n个可靠的水源工程，其工程投资和供水量 分别为Ki和Vi（i = 1，2，…，n）。如果第t年的投资总额最大为Mt，如何确定水 源工程的建设次序（假设工程在年初投资，年末建成供水），才能使规划期内各 年的需水要求得到满足，同时工程建设投资的现值最小？ 解：引入0-1变量 1， 水源工程 i 在第 t 年建设 xit = 0， 水源工程 i 不在第 t 年建设 作为决策变量。如果折现率为r，则水源工程 i 在第 t 年建设时的投资现值为 Kit = Ki / (1 + r) t -1 目标函数为总投资现值最小，即
∑
k =1
xk ≤ Q
x k ≥ 0，k = 1，2，…，N
• • • • •
•
如果gk(xk)均为xk的线性函数，则以上模型属于线性规划模型；如果gk(xk)为xk的 非线性函数，则模型属于非线性规划中的可分规划模型。此外，如果把向每一个用户 供水视为一个阶段，则以上问题也可以看作是一个N阶段的决策过程，可以用动态规 划方法来求解。其模型描述如下： （1）阶段变量 k = 1，2，…，N，表示第k个用户。 （2）决策变量 （3）状态变量 第k个用户的供水量xk。 可用于分配给当前及以后阶段各用户的水量，即
qk =
（4）状态转移方程
∑ x , k = 1, 2 ,..., N + 1
i=k i
N
(5-13a)
根据状态变量(5-13a)，可得到状态转移方程为
qk+1 = qk – xk
(5-13b)
• • • • • • • • •
（5）指标函数 （6）目标函数
第k阶段的指标函数为第k个用户的效益gk(xk)。 总效益最大
xk
{
}
(5-13e) 如果用函数或列表形式给出各用户的效益fk(xk)，则可利用动态规划方法求出最供 水方案。假设可供水量Q=500万m3，供给A，B，C三个用户(N=3)，各用户的供水效益 如表5-2所示。 水量是一连续变量，但供水效益是以离散形式给出的，在求解过程中也需要将决策 变量和状态变量离散化（以100万m3为1个单位）。即使供水效益是以连续函数形式给 出，进行离散化求解也往往是比较方便的。以上问题的逆序法求解过程如下。 第一步：阶段3(k=N=3)，将x3=q3的水量分配给用户C，其基本方程为
•
• • • • • • • • • • • •
例3-9 在一流域工程规划中，初步拟定了n项技术可靠的工程项目，工程建设需要人、 财、物等各种资源m种。如果工程j（j = 1，2，…，n）对资源i（i = 1，2，…，m）的 需求量为aij，效益为cj，资源i的可利用量为bi。选择工程项目进行投资，使总效益最大。 1 对工程项目 j 投资 解：引入0-1变量xj = ，定义工程项目 j 的权重系数 0 对工程项目 j 不投资 ωj，则0-1规划模型为
6975 0.05 78 0.24
3365 0.06 64 0.26
θi
Si / cm
θi
•
解：根据最小二乘法原理，以模型（4-1）诸得到的体积含水量θ(S i）与含水量θi 之间 的误差平方和最小为目标函数，即
min f (θ ) = ∑ [θ ( S i ) − θ i ]2
i =1
m
• • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • •
(2-2a)
(2-2b) (2-2c) (2-2d)
用以上目标函数和约束条件构成了灌区作物种植计划优化模型，其求解将在 下节介绍。
• 例2-19 一个年调节水库的主要用途是工业及灌溉供水，其中工业用 水户分为3类（I1，I2，I3），农业用水户分为两类（A1，A2），各类 用水户的单位供水效益、效益权重系数、月最大需水量、月最小保证 供水量见表2-16。水库的有效库容为V，供水期始，末水库均蓄满， 设计典型年各月来水量为Ri（i =1,2，…，12）。确定设计典型年的 供水计划，使供水总数效益最大。
（3-31d） （3-31e）
•
•
xit = 0,1，
i = 1,2,…,n; t = 1,2,…,T
•
• •
求解以上0-1规划模型，即可得到水源工程的合理开发次序。这一问题还 可以利用动态规划方法来解决。
4.7 非线性规划的应用
• • 4.7.1 非线性回归问题
回归分析是试验数据处理的重要方法，回归分析模型中的参数一般通过最小二乘法来 确定。当变量之间存在比较复杂的非线性关系或参数存在一定的限制条件时，不能直接建 立回归模型参数的正规方程组，可以通过一定的非线性优化方法来得到回归参数。 以下以土壤水分特征曲线的拟合为例说明非线性优化方法在非线性回归中的应用，土 壤水分特征曲线反映了土壤基质势与体积含水量之间的关系，在土壤水动力学、非饱和土 力学中有重要的应用。 例4-21 表4-1为某种土壤的基质吸力（基质势的绝对值）S与体积含水量θ的测定数 据，利用Van Genuchten公式 θ(S) = θr + (θs ﹣θr) / [1 + (αS)n] 1-1/n (4-1) 拟合表中的数据。模型（4-1）中θs， θr 分别为土壤饱和含水量、残余含水量，α，n为经验 参数。 表4 - 1
式中m=20为数据个数，参数一般限定在 0≤θr＜ θs ＜1，0 ＜α＜1，n＞1范围 内。利用单纯形调优法进行优化，各参数 的初始值取θs =0.43，θr=0， α=0.015， n=1.5，得到一个初始点，然后按照式 （4-40）确定其余4个初始点（各参数的 变化值分别为0.02，0.02，0.005，0.5）， 通过若干次迭代得到： θs =0.403， θr=0.032， α=0.0286，n=1.59。计算 结果如图4-12所示，表明Van Genuchten 公式能较好地描述该土壤的水分特征曲线， 同时利用单纯形调优法得到的有关参数是 合适的。
•
•
• • • •
例5-2 水资源优化分配问题。某供水系统可供水量为Q，用户数为N，当给第k个 用户供水xk 时所产生的效益为gk(xk )。如何合理分配水量才能使总效益最大？ 以上问题是一静态问题，其数学模型可以表示为
max Z =
N
N
∑
k =1
g k ( xk )
(5-12a) (5-12b) (5-12c)