函数单调性的应用

函数单调性的应用

授课人：刘晓健

教学内容：函数单调性的应用

教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽

象函数问题。

教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。

教学难点：单调性的综合应用。

教学过程：

一 ．教材预知

1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ，

（3） ，（4） ，（5） 。

2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。

3. 若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当

f(x)在[a, b]上递增时，y max = ,y min = ;当f(x)在[a, b]上递减时, y max = ,y min = 。

二．基础自测

1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ）

A. f(x) + g(x) 为减函数

B. f(x) - g(x)为增函数 C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x) g(x) 是增函数 2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ）

A. (-∞,-1 )

B. ( 0,+∞)

C.(-1,0 )

D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞)

3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值

为 。

三．例题精选

类型一 函数的最值问题

例1：函数f(x)= ax 2-2ax+2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a, b 的值.

解题过程（略）

点评：二次函数在某个区间[a ,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。

即时突破：已知函数f(x)= -4x 2+4ax-4a-a 2在[0,1]内有最大值-5，求a 的值。 类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例2：已知函数f(x)=x-a /x+a /2在( 1,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围。 解题过程（略）

点评：已知函数f(x)在区间A 上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x 1 0（减）成立的条件。

即时突破：(1) 已知函数f(x)= x 2-2（1-m ）x+2的单调减区间是(-∞,4]，求实数m 的值。

(2)已知函数f(x)= x 2-2（1-m ）x+2在区间(-∞,4]上是减函数，求实数m 的取值范围。

类型三 利用函数的单调性解不等式

例3．已知f(x)是定义在R 上的函数，并且对任意x, y ，都有f(x+ y)=f(x)+f(y)-1成立，当x>0时，f(x)>1,

（1）证明f (x)在R 上是增函数;

（2）若f(4)=5,求f(2)的值;

（3）若f(4)=5，解不等式f (3 m 2-m-2)<3.

解题过程（略）

点评：本例中的（3）要解不等式，就必须寻找关于m 的不等式，即依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系。

即时突破：已知函数f(x)的定义域为（-1，1），且满足下列条件：

（1）f(x)=- f(-x);

（2）f(x)在定义域上单调递增；

（3）f (1-a)=- f(1-a2)<0

求实数a的取值范围。

四．课堂小结：

函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时有着非常广泛的应用，应重点掌握下列三个方面的问题：

（1）利用函数的单调性比较函数值的大小。

（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化。

（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值。