电磁感应中的单杆和双杆问题(习题,答案)

电磁感应中“滑轨”问题归类例析
一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路
例1、如图所示，MN PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为 B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中， M P
间接有一阻值为 R 的电阻•一根与导轨接触良好、阻值为 R / 2的金属导线ab 垂直导轨放置
(1)
若在外力作用下以速度 v 向右匀速滑动，试求 ab 两点间的电势差。

- “
(2)
若无外力作用，以初速度 v 向右滑动，试求运动
过程中产生的热量、通过 ab 电量以
及ab 发生的位移x 。

例4、光滑U 型金属框架宽为L ,足够长，其上放一质量为 m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为
3、杆与电源连接组成回路 例5、如图所示，长平行导轨
PQ MN 光滑，相距I 0.5 m 处在同一水平面中，磁感应强度
B =0.8T 的匀强磁场竖直向下
穿过导轨面.横跨在导轨上的直导线 ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =0.8 Q,导轨电阻不计.导轨间通过开关 S 将电动势E =1.5V 、 内电阻r =0.2 Q 的电池接在M P 两端，试计算分析：
度、速度如何变化?
(2)在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度u =7.5m/s 沿导轨向 右运动？试描述这时电路中的能量转化情况(通过具体的数据计算说明)
例2、如右图所示，一平面框架与水平面成 37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电
阻R o = 1 Q,框架的其他部分电阻不计，框架足够长 .垂直于框平面的方向存在向上的匀 强磁场，磁感应强度 B = 2T.ab 为金属杆，其长度为 L = 0.4 m ，质量m= 0.8 kg ，电阻r
=0.5 Q,棒与框架的动摩擦因数卩=
0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，
上端电阻 R )产生的热量 Q = 0.375J(已知 sin37 ° = 0.6，cos37° =0.8 ; g 取 10m /s2)求: ⑴杆ab 的最大速度； (2)从开始到速度最大的过程中
ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过
ab 的电荷量.
关键：在于能量观，通过做功求位移。

2、杆与电容器连接组成回路
例3、如图所示，竖直放置的光滑平行金属导轨，相距L ,导轨一端接有一个电容器，电容量为C,匀 厂耳！^ 强磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B,质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动.现让ab 从高h 处
XXX
由静止下滑，不考虑空气阻力，也不考虑任何部分的电阻和自感作用 .求金属棒下落的时间？ 问金属
棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？ C 的电容器，现给棒一个初速 速度。

V 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终 L 1— _X X
(1)在开关S 刚闭合的初始时刻，导线
ab 的加速度多大？随后 ab 的加速
“双杆”滑切割磁感线型
1、双杆所在轨道宽度相同一一常用动量守恒求稳定速度
例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd, 构成矩形回路，如图所示•两根导体棒的质量皆为m电阻皆为R,回路中其余部分的电阻可不计•在整个导轨平面内都有
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行•开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的
初速度V o •若两导体棒在运动中始终不接触，求：
(1) 在运动中产生的焦耳热最多是多少.
(2) 当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少?
例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T
的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离1= 0.20m。

两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50 Q。

在t=0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少?
2、双杆所在轨道宽度不同一一常用动量定理找速度关系
例8.如图所示，光滑导轨三-=、&匚等高平行放置，巨了间宽度为FY间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高-是质量均为叱的金属棒，现让•二从离水平轨道，；高处由静止下滑，设导轨足够
长。

试求：(1) •匚•、…：棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

E
例9、如图所示，abcd和a/b/c/d为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。

ab、a'b'间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。

设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。

现给导体棒ef 一个初速度w,沿导轨向左
运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少?
a/
用在棒1上，从静止开始拉动棒 1,同时由静止开始释放棒 的作用，试求：
(1 )水平拉力F 的大小；
(2 )棒1最终匀速运动的速度 V 1的大小。

三、轨道滑模型
2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。

忽略感应电流之间
例12、如图所示，abcd 为质量m 的U 形导轨，ab 与cd 平行，放在光滑绝缘的水平面上,
另有一根质量为 m 的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒右边靠着绝缘 竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱
e 、f, U 形导轨处于匀强磁场中，磁场
以通过e 、f 的OO 为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左， 磁感应强度大小都为 B,导轨的bc 段长度为L ,金属棒PQ 的电阻R,其余电 阻均可不计，金属棒PQ 与导轨间的动摩擦因数为卩， 在导轨上作用一个方向 向右，大小
F ==mg 的水平拉力，让U 形导轨从静止开始运动.设导轨足够长.求:
(1)
导轨在运动过程中的最大速度
U
m
⑵ 若导轨从开始运动到达到最大速度U
m
的过程中，流过PQ 棒的总电量为q ,则系统增加
的内能为多少 ？
四、绳连的“双杆滑动”问题
例13.两金属杆ab 和cd 长均为I ,电阻均为R ，质量分别为M 和m , M>m ,用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软 导线将它们连成闭合回路， 并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，
如图4所示，整个装置处在一与
回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为
B ,若金属杆ab 正好匀速向下运动，求运动速度
例10.图中qdC i d i 和a 2b 2C 2d 2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨
所在的平面(纸面)向里。

导轨的
a i
b l 段与段是竖直的•距离为小11 , C 1
d l 段与Q
d
2段也是竖直的，距离为
12。

X i y i 与X 2 y 2为两根用不可伸
长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m i 和山2 ,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。

两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R 。

F 为作用于金属杆 X i y i 上的竖直向上的恒力。

已知两杆运动到图示位置时，已匀速 向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

3、磁场方向与导轨平面不垂直
例11、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨, ae 和cf 是平行的 足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。

在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒 1，在倾斜导轨上有与导
轨垂直且水平的导体棒 2,两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。

已知磁场的磁感应强度为 B ,导轨间距为L ，
倾斜导轨与水平面夹角为
e ，导体棒1和2质量均为m 电阻均为R 。

不计导轨电阻和一切摩擦。

现用一水平恒力
F 作
例14 ( 2006年高考重庆卷第21题)两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。

质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为卩导轨电阻不计，回路总电阻为2R。

整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。

当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V i沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。

重力加速度为g。

以下说法正确的是( )
A. ab杆所受拉力F的大小为卩mg+ 一上
B. cd杆所受摩擦力为零
C. 回路中的电流强度为-亠・
2恥g
D. 卩与Vi大小的关系为卩=「一」
例15 ( 2006年高考广东卷第20题)如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“ U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为w的匀质金属杆：和二，开始时两根
金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。

设两导轨面相距为H,导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的
m
电阻为r。

现有一质量为 -的不带电小球以水平向右的速度撞击杆亠-的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点C点与杆L亠初始位置相距为S。

求：(1)回路内感应电流的最大值；(2)整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量;
(3) 当杆〔与杆：的速度比为•：时，「亠受到的安培力大小。

正确解析：棒加速下落过程，电容器有充电电流，安培力不为 0.
得x 辔
R
2B L
解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析 金属杆的运动及受力的变化情况。

(1)杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度 v ,
D
2. 2
BLv
mgsin
mg cos 0
匹r
2
克服安培力等于产生的总电能即，
W Q 2Q 0 2Q 0 1.5J ,
由动能定
理：
1 2
mgss in W mgscos
mv 0
-mv 2
W 得s
-
mg (sin cos )
答案
例1 解析：(1) ab 运动切割磁感线产生感应电动势
E ,所以ab 相当于电源，与外电阻 R 构成回路
UU=
BLv
2 BLv
3
(2)若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止
动能全部转化为电热，Q 丄
mv 2。

2
由动量定理得：Ft mv 即BILt mv , q It . q
mv BL
BLx
-R 2
-
R 2
mv BL
例2,
解得
v
mg(sin R 0 、 cos )( r)
2
B 2L 2
25m s 2
Q ab (21。

) r
⑵0)
2
R o 2
通过ab 的电荷量 q | t
BLs R
，代入数据得q = 2 C
例3, 请问解答是否正确?
解析：1=0,安培力为0,自由下落
a
例4 解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时， 要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在,
ab 棒受到安培力的作用而减速，临界为当
ab 棒电动势等于电容器的电压时以稳定速度
v 匀速运动时，有：
BLv=q/C
而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BILt=-BLq=mv-mv 0
ab 向右运动的速度为 u 时，感应电动势 E Blv ，根据右手定则，ab 上的感
应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反.电路中的电流（顺时针方向，
I —一—）将减小（小
R r
于|o =1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小•尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势 E 随速度
的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势
E '与电池电动势 E 相等时，电
路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时 ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动.
设最终达到的最大速度为 u m 根据上述分析可知：E Bl m 0
所以
E 1.5
—— -------------- m/s=3.75m/s .
m
Bl 0.8 0.5
（2）如果
ab 以恒定速度 7.5m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势
1
E
Blv 0.8 0.5 7.5V =3V
由于E > E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为:
F BII 0.8 0.5 1.5N =O .6N
电容器充电电流
Q C U CBL v I t t
t
由牛顿运动定律 mg BIL ma CBIa
加速度
a
mg 为定值，杆匀加速下落,
T,~2
m cB L
1 2
h 2at,
解得t
2h(m
CB 2L 2
)
落地速度为
v
、2ah
2mgh
~2~2
CB 2I
2
由上述二式可求得:
mV 。

m B 2
L 2
C
解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁感应现象，由
a 到
b 的电流10
1.5A ，ab
R r
受安培力水平向右，此时瞬时加速度
a。

F o
BI o L
6m/ s 2
E E 3 1.5
R r
0.8 A=1.5A
0.2
直导线ab 中的电流由 b 到a ，根据左手定则，磁场对 ab 有水平向左的安培力作用
大小为
ab 运动起来且将发生电磁感应现象.
所以要使ab 以恒定速度v 7.5 m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 F 0.6 N 作用于ab .
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ① 作用于ab 的恒力（F ）的功率：P Fv 0.6 7.5W =4.5W ② 电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：
' 2 2
P I （R r ） 1.5
（0.8 0.2）W =2.25W
③逆时针方向的电流| ',从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起 来.电池吸收能量的功率：
P I E 1.5 1.5W=2.25W
由上看出，P P ' p"，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变） 例6 解析：ab 棒向cd 棒运动时，磁通量变小，产生感应电流.
ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动， cd
棒则在安培力作用下作加速运动. 在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速.临 界状态下：两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度
v 作匀速运动.
（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有
mv 0 2mv
根据能量守恒，整个过程中产生
1 2 1 2 1 2 的总热量Q
mv 0 (2m)v mv 0
2 2
4
杆乙移动距离v 2 △ t ，回路面积改变
S [(x v 2 t) v 1 t] t lx (v 1 v 2)l t
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势
回路中的电流i E ，杆甲的运动方程F Bli ma
2R
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反,
所以两杆的动量（t 0时为0）等于外力F 的冲量
Ft mv 1 mv 2。

(2) 设ab 棒的速度变为初速度的 3/4时，cd 棒的速度为v 1
，则由动量守恒可知:
3 mv 0 m v 0
4
mv-i 。

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为:
3
E (— v 0 v 1) BL ，I
4
2R 。

此时cd 棒所
受的安培力：F
IBL ，所以cd 棒的加速度为 a
由以上各式，可得
2 2
B L v 0
a
4mR
例7解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为 速度分别为 v 1和v 2，经过很短的时间△ t ， 杆甲移动距离v 1^t ，
例8【解析】下滑进入磁场后切割磁感线，在.电路中产生感应电流，.&、：.(各受不同的磁场力作用而分别作 变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时, 速滑动。

(1) 自由下滑，机械能守恒:
由于串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 丄 亠，故它们的磁场力为:
在磁场力作用下，圧：、c ；各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当」， f -'时，电路中感应电流为零
(-—')，安培力为零，■；■•、：■「运动趋于稳定，此时有：'上
受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得:
(2)根据系统的总能量守恒可得：
联立以上各式解得v 1
1
[-Fl ^(F ma)] 2 m B 2F
V2
¥
2 m
2R
2 2
(F ma)]，
B I
代入数据得v 1
8.15m/s
v 2 1.85m/s
二上、加;不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀
联立以上各式解得:
<2^
a = —io — %
例9解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒
ef 的速度减小到V i ,导体棒gh 的速度增大到 v ，
则有 2BLv - BLv =O ，即 V 2=2v i
对导体棒ef 由动量定理得:
2BL I t 2mv 1 2mv 0
对导体棒gh 由动量定理得:
BL I t mv 2
1
由以上各式可得： V 1
— V0
V 2
3 ，
2 V o 3
因杆的运
动, 积减少，从而磁通量也减少。

由法拉第电磁感应定律, 势的大小
E B(l 2 l 1)v
回路中的电流
例10.【解析】设杆向上运动的速度为 V ， 两杆与导轨构成的回路的面 回路中的感应电动
电流沿顺时针方向。

两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆 培力为
X l y i
的安
1 Bl 1I
方向向上，作用于杆X 2y 2的安培力
f 2 BI 2I
方向向下。

当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有
F mg m 2g
解以上各式，得
F (g m 2)g B(l 2 I 1)
F (m 1 m 2)g
V
2
2 IR 2 2 B (I 2 I 1
)
作用于两杆的重力的功率的大小
P (m 1 m 2)gv
⑧
电阻上的热功率
I 2R ⑨
⑦、⑧、⑨式，可得
F (m m 2)g ---- R(m 1 m )2)g
Q
由
⑥、 B 2
(l 2 h)2
F (g mh)g
B(l2 h)
BIL 2 棒匀速：BIL mg tan 例11 解析(1)1棒匀速：F
解得：F mgta n
(2)两棒同时达匀速状态，设经历时间为t,过程中平
均感应电流为「，据动量定理，
(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为 强度为丨1，QPb (回路中的平均感应电动势为 E ，则
E 1
J
t SLB, I 1
,q I 1t ， 得 S R 史。

设系统增加的内能为
BL
E ，由功能关系得
1 2
mgqR
3 2 2
mgR
FS
一-V -
E ，则 E
2
BL
2B 4
L
4
回路中的感应电动势： E E 1 E 2 2Blv
电磁感应中的双杆运动问题 例14
【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断
对 1 棒：Ft B 「Lt mv i 0 ；对 2 棒：mgsin t B 「L cos t mv 2 0 联立解得：v 2 v 1 cos
匀速运动后，有： E BLv 1 BLv 2 cos , |
解得:
2R
例12。

解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为u 2mgRta n
1 B 2L 2
(1 _cos 2 )
m。

导轨在水平方向上受到外力
F 、水平向左的安培力 F 和
滑动摩擦力F 2，则
F 1 F 2
0，F 1
BIL, I E BLV m ，即 F 1
R
2 2
B L v
m
R
PQ 棒为研究对象，PQ 静止，
在竖直方向上受重力
mg 、竖直向上的支持力
N 和安培力F 3，则
F a mg, F 3 F n F 2
得 F 2 (mg
2 2
B L v m 口
-)，将F 1和F 2代入解得
R
2 2
(1
)(g 飞『)，得 V -
mgR
~2~2
B 2L 2
S,在这段过程中，经过的时间为
t,PQ 棒中的平均电流
例13【解析】设磁场垂直纸面向里， ab 杆匀速向下运动时,
感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图
cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。

cd 杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的 5所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后
ab 和
回路中的电流为：I
E Blv 2R R
ab 受安培力向上，cd 受安培力向下，大小都为: F BIl
设软导线对两杆的拉力为 T ,由力的平衡条件: 对 ab 有: T + F = Mg
对 cd 有：T = mg + F
2|2
所以有：2B 1 v (M
R
m)g ，解得：v
(M m)gR 2B 2
12
一 E
因为ab 杆做匀速运动， 所以受力平衡，有
「+ 1，其中」■ ’ - , ■'-：/二二： 玄，厂
八：，
所以 二：，所以F=卩mg+ _二 ,A 正确;
因为cd 杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以 cd 杆受摩擦力大小为』 「七，或者，因为cd 杆所受安培力作为
因为只有ab 杆产生动生电动势（cd 杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为 ，C 错误;
本题答案为AD
【点评】ab 杆和cd 杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为 ab 杆切割磁感线而cd 杆不切割磁感线，所以
J —"匕卩］，而不是 E = 旳，电流是-云- ，而不是
2R
例15【解析】设撞击后小球反弹的速度为
V
-，金属杆=的速度为•二，根据动量守恒定律,
根据平抛运动的分解，有
对轨道的压力，所以cd 杆受摩擦力大小为
八3
二；，总之，B 错误;
，所以D 正确。

感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即
根据B
，得 土“
由以上2式解得二一 ' '
②代入①得
回路内感应电动势的最大值为；;• ■' ,电阻为三二〕匸产,所以回路内感应电流的最大值为\
（2）因为在安培力的作用下，金属杆 一|做减速运动，金属杆亠匕做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电
爲诰二0+丄
流为0，根据能量守恒定律，
⑤
叫3
（3 ）设金属杆
二速度大小分别为 二、七，根据动量守恒定律，「一1
「一 一 "二，又］
1
，所以
3
1
v
\ = ~^}
= -v ai
J 、L-产生的感应电动势在回路中方向相反，所以感应电动势
当然r
受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。

其中；'是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律,
_2
桝严2辭，所以* = 詐，代入⑤式得
1
—m
Q=--'
金属杆’-速度方向都向右，根据右手定则判断
电流为 -二，安培力为匚：-，所以厂-受到的安培力大小为 F=：
-"
巾1二=（坯十£
③
【点评】金属杆‘1、厂亠两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总
F二妣（町-耳）
电动势是这两个电动势之差，即 L 打「LU, 电流是应，方向为金属杆中感应电流的方向，
因为「丄比I产生的感应电动势大，安培力是，方向都和速度方向相反（都向左）。