2007年上海市高考数学试卷(理科)及解析

2007年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）

1．（4分）函数的定义域为．

2．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．3．（4分）函数的反函数f﹣1（x）=

4．（4分）方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是．

5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．

6．（4分）函数的最小正周期是T=

7．（4分）有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为

8．（4分）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为

顶点的抛物线方程为

9．（4分）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；

③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是．

10．（4分）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件．

11．（4分）已知圆的方程x2+（y﹣1）2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．

二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）

12．（4分）已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）

A．p=﹣4，q=5 B．p=﹣4，q=3 C．p=4，q=5 D．p=4，q=3

13．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．

14．（4分）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

15．（4分）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；

B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；

C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；

D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立

三、解答题（共6小题，满分90分）

16．（15分）体积为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．

17．（15分）在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．

18．（15分）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳

能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）

（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

19．（15分）已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

20．（15分）若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n﹣1…a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．

（1）已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{b n}的每一项

（2）已知{c n}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{c n}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．

21．（15分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线

称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，

（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

2007年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）

1．（4分）（2007•上海）函数的定义域为{x|x＜4且x≠3} ．【分析】欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．

【解答】解：由，解得：x＜4且x≠3

故答案为：{x|x＜4且x≠3}

2．（4分）（2007•上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．

【分析】两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值．

【解答】解：∵两直线平行，

∴，

故答案为﹣．

3．（4分）（2007•上海）函数的反函数f﹣1（x）=

【分析】本题考查反函数相关概念、求反函数的方法等相关知识．

将函数的解析式看做方程，解出x，然后利用与函数的值域确定反函数的定义域即可．

【解答】解：由解得：

即：