初中数学分类讨论专题

分类讨论专题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；

（3）分类讨论应逐级有序进行．

（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.

综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类：

1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限

等.

2.几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3.综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.

代数类

考点1 与数与式有关的分类讨论

1.化简：|x-1|+|x-2|

2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。

(1)求a的取值范围；

(2)试用a表示|α|+|β|。

3. 代数式

a a

b b ab ab ||||||

++的所有可能的值有（ ） A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 无数个

考点2 与方程有关的分类讨论

4. 解方程：①（a -2）x =b -1 ②试解关于x 的方程111

=--x )x (

5. 关于x 的方程2

2

(21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（）

A ．4k ≤ B.104

k k ≤

≠或 C.k<14 D. k≥14

6. 已知关于x 的方程2

2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围

（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.

考点3 函数部分

7. 一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（ ）。

A. 14

B. -6

C. -4或21

D. -6或14

8. 设一次函数21y

ax a 的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。

9. 比较一次函数1

2y x 与二次函数2

2

12

y x 的函数值y 1与y 2的大小。

10. 图9是二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【变式】就b 的取值范围，讨论.直线)1(<+=b b x y 与此图象有公共点的个数

图9

几何类

一、与等腰三角形有关的分类讨论

考点4 与角有关的分类讨论

1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________

考点5 与边有关的分类讨论

1.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.

考点6 与高有关的分类讨论

1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.

30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿3.为美化环境，计划在某小区内用2

地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

4.如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.

Q

P

考点7 综合应用

1. 在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2），试在x 轴上确定点P ，使△AOP

为等腰三角形，求符合条件的点P 的坐标

2. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连

接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是

3. 直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点. (1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；（2）当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？

b

a

x

A

O

A （－2，2）

y

x

o

二、与圆有关的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.

考点8 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论

1. 已知点P 到⊙O 的最近距离为3cm ，最远距离为13cm ，求⊙O 的半径.

考点9 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论

1. A 、B 是⊙O 上的两点，且∠AOB=136o ，C 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠ACB

的度数是___________.

考点10 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

1. 已知横截面直径为100cm 的圆形下水道，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最

大深度.

考点11 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论

1. ⊙O 的直径AB=2，过点A 有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD 的度数.

y

x

P

O T 1 1